基于对称化的渐近静态对冲

事实上，一般的扩散过程不一定能顺利转化为带漂移的布朗运动。这仅适用于某些特殊情况。此外，敲除/插入区域Dha并不总是相同的形状，即它不能总是被描述为一个区间，因此我们不能利用同胚性质。在本文中，我们通过关注一类特定的敲除/插入区域来考虑多维设置，即那些不同于超半空间的区域。让我们介绍以下符号和设置。确定区域D asD：={x∈ Rd | hx，γi>k}，对于某些γ∈ Rd，其中|γ|=1和k∈ R、 θ是关于D定义为θ（x）=x- 2hγ，xiγ+2kγ=（I- 2γ  γ） x+2kγ。在[1]中，研究了区域为半直线的情况。类似的方法可以推广到考虑双边界的情况。观察到，通过微分同态，微分矩阵可以采取任何形式，因此我们不假设微分/漂移系数中存在任何特殊形式，但均匀椭圆度除外。方法建议是，通过将函数π的多维版本考虑为：π（f）（x）=f（x）1{x，使用等式（10）中报告的相同方法选择函数π∈D}- f（θ（x））1{x6∈D}。（11） 对于delta近似核，我们依赖于文献[1]中介绍的对称化。我们假设X的最小生成元（已转换）由a（X）给出2+b（x）· ≡Xi，jai，j（x）xixj+Xibi（x）xi，（12）其中A和b分别是Rd、d×d-正定矩阵值和Rdvalued上的函数。Letpt（x，y）：=（2π）-d{det▄A（y）t}-e-第2次A（y）-1（x）-y），x-yi，（13）式中▄A（x）=（A（x）x∈ DψA（θ（x））ψx 6∈ D、 （14）和ψ=I-2γ  γ.

观察到这是A相对于[2]中引入的反射θ的对称化。我们现在可以陈述（13）和（5）中分别给出的与函数pt（x，y）和π（·）相关的以下结果。命题3.1（13）中定义的函数pt（x，y）满足（5）中定义的函数π（·）（11）。证明：因为x的ψ=I和x=θ（x）∈ D、 pt（x，θ（y））=（2π）-d{det▄A（θ（y））t}-e-2thA（θ（y））-1（x）-θ（y）），x-θ（y）i=（2π）-d{detψA（y）ψt}-e-第2次A（y）-1ψ（θ（x）-θ（y）），ψ（θ（x）-θ（y））i=（2π）-d{det▄A（y）t}-e-第2次A（y）-1ψ（x-y），ψ（x-y）i=pt（x，y）。因此，ZRdπ（f）（y）pt（x，y）dy=ZRdf（y）1{y∈D} （pt（x，y）- 对于任何有界可测f和x，pt（x，θ（y）））dy=0（15）∈ D、 因此，可以选择（11）的π和（13）的p作为[1]框架的具体示例，但结果表明，可积性条件（6）或（9）可能会失败。公式（15）在经济上可能意味着以下g。核p是基础过程的一种有效转移概率。如果它是真实的，则带pay-o fffπ（f）的期权的τ价格将为零，因此带pay-o fff（θ（x））的期权的静态套期保值工作无误。3.2基础资产价格动态本小节旨在描述描述描述基础资产价格动态假设的数学设置。提供并讨论了参数A和b的具体假设。假设3.2存在正常数m和m，使得m | y|≤ 哈（x）y，易≤ M | y|x、 y型∈ Rd（16），其中aij，bj有任意阶导数，都在上面有界。注意，在第3.2节中，A和b是Lipschitz连续的。特别是考虑到案例a∞:=Xi，jd maxksupx∈研发部|kai，j（x）|！,we havekA（x）- A（y）k≤ 一∞|x个- y |，，（17）其中kMk≡ （TrMM*)此外，对于矩阵M，假设3.2暗示了以下内容（参见。

【10，定理1.11，定理1.15】）关于X的跃迁密度。在假设3.2下，与Xqt（X，y）=P（Xt）相关的跃迁密度qt（X，y）∈ dy | X=X）/染料存在，在（X，y）中可连续二次微分，在t中可连续二次微分。此外，存在一个常数Cq>0，对于M>M，转变密度满足以下等式Qt（X，y）≤ Cqt公司-dexp公司{-|x个- y | 4Mt}，（18）|qt（x，y）|≤ Cqt公司-d+1exp{-|x个- y | 4Mt}，（19）和sqs（x，y）=（Lxqs）（x，y）=（L*yqs）（x，y），（20），其中lx是作用于变量x的x的最小生成器（见（12）），L*y是L的伴随，作用于变量y。伴随L*Y可采用以下格式书写：L*y型=2y·A（y）- y·b（y）≡Xi，jai，j（y）易yj+XiXj公司aij公司yj（y）- bi（y）易+Xi，jaij公司易yj（y）-xibi公司yi（y）。注意，我们有Zrd（L*yqs）（x，y）g（y）dy=任何测试函数g的ZRdqs（x，y）Lyg（y）dy（21）∈ C∞（Rd）（参见例[10]）。让我们考虑一下定义为lyz的运算符Lyzde=~A（y）·2，作用于变量z。通过考虑（x，y）∈ Rd×Rd，我们有sps（x，y）=（Lyxpt）（x，y）。（22）3.3套期保值误差公式我们应建立与定理2.1相对应的误差公式。由于缺乏连续性，这需要额外的工作。回想一下H（t，x，y）=（Lx- t） pt（x，y）=（Lx- Lyx）pt（x，y）。引理3.3表示y∈ Rd，qt（x，y）- pt（x，y）=ZtdsZRddz qs（x，z）h（t- s、 z，y）。（23）方程式（23）是parametrix理论的关键（参见例[3]）。

要证明toLemma 3.3有点困难，因为我们已经明确，h（t，z，y）={a（z）-A（y）}·2pt（z，y）+b（z）·pt（z，y）={A（z）-A（y）}·t{A（y）}-1（z- y） {A（y）}-1（z- y）-t{A（y）}-1.pt（z，y）- b（z）·t{A（y）}-1（z- y） pt（z，y）=2t{A（z）-A（y）}{A（y）}-1（z- y） ·{A（y）}-1（z- y） pt（z，y）-2t{A（y）}-1·{A（z）-A（y）}+2b（z） （z）- y）pt（z，y）。（24）我们回忆起（t，z）中的可积性∈ 二阶导数项的[0，T]×rd通常通过经典参数理论中A的连续性来检索（参见[10，第1章，第4节]）。在这里，这成为一个非常幼稚的问题，因为在大多数情况下，SymmetricedDiffusion矩阵a在D、 为了克服这一困难，我们引入了一个必要时尽可能小的参数。设置δ：=2 supx∈Dk[A（x），γ γ] k.（25）那么常数δ控制以下意义上的不连续性：引理3.4对于x∈ D和y∈ 直流，kA（x）-A（y）k≤ 一∞|x个- y |+δ。（26）引理3.4的证明将在附录A.1中给出。因此，如果δ=0，我们就有了▄A的Lipschitz连续性，因此也就有了h的可积性。如果是这种情况，我们可以使用标准理论建立收敛展开式（见[10]、[3]、[1]）。没有连续性，标准方法就不起作用。

然而，我们有以下估计，这对于获得定理3.6中包含的结果至关重要。引理3.5表示x，y∈ Rd，| h（t，x，y）|≤ 计算机断层扫描-p2Mt（x，y）+（δ1{x∈D}+2Md1{x∈Dc}）Ct-1p2Mt（x，y）1{y/∈D} ，（27），其中C：=2dm-2+dM1+d（4m-1MKa∞+ dKa公司∞+ b∞),C： =2毫米-2+dMd（2m-1MK+2-1d）（28）带δ和a∞如（25）和（17）所述，b∞= 最大值1≤我≤dkbik公司∞,supx公司≥0 | xβe-x |=：Kβ<∞, （29）和p2mt（x，y）=（4πMt）-d/2e-|x个-y |/4Mt，M与假设3.2的（16）中出现的相同。证明：见附录A.2。Leth（t，x，y）：=h（t，x，y）- h（t，x，θ（y）），以下估计值对于获得我们的经济结果也是必不可少的，因此我们将其作为定理单独陈述。定理3.6在假设3.2下，我们有以下不等式。（i） 存在一个常数Csuch，对于t∈ [0，T]和x∈ Rd，ZD | h（t，x，y）| dy≤ZRd | h（t，x，y）| dy≤ Ct型-+ t型-1.e-（k）-hγ，xi）4Mt{x∈D}+1{x6∈D}.（ii）T上存在一个常数C，对于s，T∈ [0，T]，（x，y，z，w）∈Rd×Rd×Rd×Rd和M>M，qs（x，y）| h（t，z，w）|≤ 2qs（x，y）| h（t，z，w）|≤ 铯-dt公司-1exp-|x个- y | 4Ms经验值-|z- w | 4Mt.特别地，它们在（z，y）中是可积的∈ Rd×Rd.（iii）此外，T上存在一个常数Cd，使得ZRdqs（x，z）h（t，z，y）dz≤ 铯-t型-（s+t）-dexp公司-|x个- y | 4M（t+s）,对于任何y∈ Rd。

特别是ZRdqs（x，z）h（t- s、 z，y）dz和henceZRdqs（x，z）h（t- s、 z，y）dz，在（s，y）中可积∈ [0，t]×Rdfor any t∈ [0，T]。证明：见附录A.3。这里的重点是t的单极性-1在（i）中，使用（ii）的可积性和q的高斯估计（18）和（19），通过（iii）中的部分积分来处理估计（i），以及q、 备注3.7我们注意到这里没有（6）的可积性，因此我们无法应用EOREM 2.1。定理3.6的第一个断言表明，我们可以定义一个运算符Ston L∞（D） foreach t>0 byStf（x）=ZDh（t，x，y）f（y）dy，与（4）一样。推论3.8对于f或每t＞0，Stis是L上的一个算子∞（D） 进入L∞（Rd）。证明：它直接来自定理3.6的（i）。通过利用定理3.6数学推导出的引理3.3，我们现在可以说明拟议多维设置下的套期保值误差或公式（积分分解），对应于定理2.1中由[1]提供的公式，如下所示。定理3.9假设f有界。在假设3.2下，公式（7）和（8）通过将符号替换为S而成立：换句话说，对于任何t<t，E[E[1{τ<t}π（f）（XT）| fτ]| Ft]=ZTE[1{τ<S}ST-sf（Xs）| Fτ∧t] ds。（30）证明：见附录A.5.3.4二阶半静态对冲正如我们在上一节中所看到的，对冲误差由带支付功能的敲入期权s的积分表示-sf（Xs）。对于每一个，我们通过π构造静态对冲⊥装货单-sf（Xs），最小金额ds。更准确地说，对于带薪酬的敲入选项-sf对于每一个s，我们都采用了Bowie-Carr类型的策略，即带pay-o-offπ的选项⊥装货单-sf；我们构造了一个由具有p ay-o fffπ的期权组成的投资组合⊥装货单-sf（Xs）={ST-sf（Xs）+ST-sf（θ（Xs））}1{Xs6∈D}，在卷“e”处-r（T-s） ds”表示每个s。

注意π⊥装货单-sf（Xs）在（s，ω）中不可积∈[0，T]×Ohm, 尽管自ST起，每个s的L（P）中都有-sf是有界的。然而，一旦条件化了，我们就重新获得了可积性；引理3.10随机变量E[π⊥装货单-sf（Xs）| Fτ]在（s，ω）中是联合可积的∈ [0，T]×Ohm证明：见附录A.6。让我们考虑一下“投资组合”的价值。在敲入时间τ之前，所有在τ之前到期的期权都会被p ay-o ff0清除。在敲入时间，套期保值者以[π]的价格出售所有期权⊥装货单-sf（Xs）| Fτ]。因此，策略时间t的值应定义为∏2，st：=e-r（T-t） E[E[π⊥装货单-sf（Xs）| Fτ]| Ft∧τ] ，在{t<τ}上等于-r（T-t） E[π⊥装货单-平方英尺（Xs）|英尺]。因为它在s中是可积的∈ [0，T]，投资组合在T时的总价值由zt∏2给出，stds=e-r（T-t） 中兴通讯[π⊥装货单-平方英尺（Xs）|英尺∧τ] ds。（31）备注3.11引理3.10确保了整数顺序的变化，以使组合的整体表达为zt∏2，stds=e-r（T-t） 中兴通讯⊥装货单-sf（Xs）| Fτ]ds | Ft∧τ] ，尤其是ert贴现后，它是一个鞅。这意味着投资组合是无套利的，或者我们应该说，它仍然在经典套利理论的范围内。正如我们在第2节As（2）和（3）中所讨论的，持有π的策略的对冲误差⊥（·）对于敲入期权，对应敲出期权的π（·）策略与on e一致。

因此，对于每个到期日s，在t处评估的误差由以下公式给出：在单位误差形式下，Errs2，tds：=e-r（s）-t） E[E[1{τ<s}πST-sf（Xs）| Fτ]| Ft]e-r（T-s） ds=e-r（s）-t） E[E[πST-sf（Xs）| Fτ∧s] | Ft]e-r（T-s） ds。引理3.12成熟度s的误差Errs2，tf在s中是可积的∈ [0，T]和zterrs2，tds=e-r（T-t） ZTZTuE[1{τ<u}Ss-uST公司-平方英尺（Xu）|英尺∧τ] dsdu。（32）证明：见附录A.7。结合（31）和引理3.12，我们得到以下定理3.13，它认为，对于每个t>0，e-r（T-t）-E[f（XT）1{τ>T}| Ft∧τ] +E[πf（XT）| Ft∧τ] -中兴通讯E[π⊥装货单-平方英尺（Xs）|英尺∧τ]= e-r（T-t） ZTZTuE[1{τ≤u} 不锈钢-uST公司-平方英尺（Xu）|英尺∧τ] dsdu= e-r（T-t） E[ZTZTuE[1{τ]≤u} 不锈钢-uST公司-sf（Xu）| Fτ]dsdu | Ft∧τ].（33）在（33）中，左边是空头头寸中的淘汰期权的价值，以及一阶和二阶的静态对冲头寸。因此，公式声称，在时间t评估的hedgengerror等于双积分敲入期权的价格。证明：已在e上进行了d。备注3.14注意，建议的框架比[1]中研究的框架弱；这里我们通过两个参数来确定二阶套期保值，而在[1]中，我们有一个单参数套期保值族。我们之所以用二重积分来表示它，是因为我们缺少了确保阶数变化的可积性。二重可积性来自定理3.6的（iii），借助于部分积分。3.5高阶半静态对冲本小节专门讨论阶数大于2的半静态对冲的不对称性。让我们考虑一下三阶矩作为一个例子。

方程（33）可能表明，三阶半静态对冲可以写成带pay-o fffπ的期权的函数⊥不锈钢-uST公司-sf（Xu）在美国到期∈ （0，T），由s参数化∈ （u，T）的最小金额e-r（T-u） dsdu。一旦e[π]的可积性⊥不锈钢-uST公司-sf（Xu）| Fτ]，在（u，s）中，我们可以说套期保值组合的价值由-r（T-t） ZTZTuE[π⊥不锈钢-uST公司-平方英尺（Xu）|英尺∧τ] dsdu，相当于前束-r（T-t） E[ZTZTuE[π⊥不锈钢-uST公司-sf（Xu）| Fτ]dsdu | Ft∧τ].此外，对于每个（u，s），错误Erru，s3，t应定义为rru，s3，t：=e-r（T-t） E[E[πSs-uST公司-sf（Xs）ds | Fτ∧s] |英尺]。注意，通过显示Erru，s3，tin（u，s）的可积性，通过遵循命题3.12，我们可以写出：ZTZsErrs3，tduds=e-r（T-t） ZTZTuZTsE[1{τ≤u} 不锈钢-uSv公司-不锈钢-vf（Xu）|英尺∧τ] dvdsdu。基于上述观察，我们可以构造n阶静态对冲和相应的误差，对任意n个≥ 3.