基于对称化的渐近静态对冲

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英文标题：
《Asymptotic Static Hedge via Symmetrization》
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作者：
Jiro Akahori, Flavia Barsotti, Yuri Imamura
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  This paper is a continuation of Akahori-Barsotti-Imamura (2017) and where the authors i) showed that a payment at a random time, which we call timing risk, is decomposed into an integral of static positions of knock-in type barrier options, ii) proposed an iteration of static hedge of a timing risk by regarding the hedging error by a static hedge strategy of Bowie-Carr type with respect to a barrier option as a timing risk, and iii) showed that the error converges to zero by infinitely many times of iteration under a condition on the integrability of a relevant function. Even though many diffusion models including generic 1-dimensional ones satisfy the required condition, a construction of the iterated static hedge that is applicable to any uniformly elliptic diffusions is postponed to the present paper because of its mathematical difficulty. We solve the problem in this paper by relying on the symmetrization, a technique first introduced in Imamura-Ishigaki-Okumura (2014) and generalized in Akahori-Imamura (2014), and also work on parametrix, a classical technique from perturbation theory to construct a fundamental solution of a partial differential equation. Due to a lack of continuity in the diffusion coefficient, however, a careful study of the integrability of the relevant functions is required. The long lines of proof itself could be a contribution to the parametrix analysis.
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中文摘要：
本文是Akahori Barsotti Imamura（2017）的延续，其中作者i）表明，随机时间付款（我们称之为时间风险）被分解为敲入式障碍期权静态头寸的积分，ii）通过将Bowie-Carr型静态对冲策略对障碍期权的对冲误差视为定时风险，提出了定时风险的静态对冲迭代，以及iii）表明在相关函数可积的条件下，误差通过无限多次迭代收敛到零。尽管包括一般一维扩散模型在内的许多扩散模型都满足所需条件，但由于数学上的困难，本文推迟了适用于任何一致椭圆扩散的迭代静态对冲的构造。本文中，我们通过依赖对称化来解决问题，对称化是在Imamura Ishigaki Okumura（2014）中首次引入并在Akahori Imamura（2014）中推广的一种技术，同时，我们还研究了parametrix，这是摄动理论中的一种经典技术，用于构造偏微分方程的基本解。然而，由于扩散系数缺乏连续性，需要仔细研究相关函数的可积性。长串的证据本身可能有助于参数分析。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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关键词：Differential Quantitative Perturbation Mathematical Continuation

基于对称化的渐近静态对冲*Flavia Barsotti+Yuri Imamura数学科学系风险方法学，集团金融风险商业经济系立命馆大学，日本联合信贷银行，意大利东京理工大学，Japanakahori@se.ritsumei.ac.jp弗拉维亚。Barsotti@unicredit.eu imamuray@rs.tus.ac.jpNovember2015年8月15日摘要本文是[1]的延续，作者i）指出，在arandom时间支付，我们称之为时间风险，被分解为敲入式障碍期权静态头寸的积分，ii）通过Bowie-Carr[5]型静态对冲策略将对冲误差与r e sp to a barrier option作为定时风险进行比较，提出了定时风险的静态对冲迭代，以及iii）表明在相关函数可积的条件下，误差通过多次迭代收敛到零。尽管包括一般一维模型在内的许多扩散模型都满足所需条件，但由于数学上的困难，适用于任何一致椭圆扩散的迭代静态对冲的构建被推迟到了本文。本文中，我们利用对称化来解决这个问题，对称化是一种在【11】中首次引入并在【2】中得到推广的技术，同时我们还研究了参数化，这是一种从微扰理论中获得的经典技术，用于构造部分微分方程的基本解。然而，由于扩散系数缺乏连续性，需要仔细研究相关函数的可积性。

证明本身的长线对参数分析有贡献。关键词：静态套期保值、障碍期权、参数化、对称化MSC 2010：PRIMARY 91G20 secondary 91G801简介本论文是我们之前论文的延续【1】，主要通过探索各种数学技术来解决数学难题。让我们首先回顾一下[1]的内容。正如标题所述，本文关注的是如何评估计时风险——一种在随机时间（数学上精确的停止时间）进行的支付。它通过如何静态对冲来回答这个问题。[1]的第一个贡献是*第一作者获得了JSPS KAKENHI授权号23330109、24340022、23654056和25285102的支持。+本文中提出的观点仅为作者的观点，不一定代表Nicredit S.p.a.的观点。第三位作者得到了JSPS KAKENHI赠款编号24840042的支持。表明时间风险被分解为敲入期权静态头寸连续统的积分。这是P.Carr和J.P icron在[8]中所做观察的扩展，其中只处理了停止时间的常数支付，分解是由部分初等积分得到的。一般情况下，需要一个更高级的数学，其中有一个关于delta近似核的参数。在[8]中，假设潜在资产价格是几何布朗运动，则每个敲入期权都由一个静态头寸的空头型期权和看跌期权进行对冲，这是J.Bow ie和P.Carr在[5]中提出的策略。因此，如果允许Bowie-Carr型策略的每个到期日都有一个整数的最小金额，则可以无误地对冲时间风险。静态头寸的积分参见[1]中的Carr-Picron型对冲策略。

一般情况下，Bowie-Carr策略和Carr-Picron策略都会带来套期保值误差。由于误差又是一种时间风险，它被分解为可应用Carr-Picrontype策略的敲入期权静态头寸的积分。[1]的第二个贡献是，声称重复此过程将显著减少错误，并最终收敛到零。上述[1]结果背后的数学是parametrix。参数法是将偏微分方程的基本解构造为收敛级数的经典方法，称为热核展开（见例[10]）。最近，该方法已成功应用于金融和相关领域（如[9][3]等）。与Malliavin微积分中的Watanabe展开式不同，parametrix不需要平滑度，但需要在微分系数中省略。它主要取决于近似核的s二阶微分的可积性，这是通过系数的椭圆度和（H¨older）连续性得到的。参数工作的条件假设为【1】中的假设。尽管许多差异模型（包括通用的一维模型）满足要求的条件，但适用于任何一致椭圆效应的迭代静态对冲的构建被推迟到本论文。本文件的贡献有两个方面。首先，我们提出了一种系统的方法，用于在一般多维差异环境下构建（单一）障碍期权的精确静态对冲策略（而不是一般计时风险，以避免详细的经济讨论），与基于p rice扩张的现有结果（如[13]或[15]）形成对比。

其次，我们给出了一个不连续微分系数的例子，其中parametrix方法可以给出一个热核展开，如果d不连续性是“可控的”，则该展开是收敛的（见定理3.17）。本文描述了一种方法论建议，通过利用parametrix技术和KernelSymmetriation，说明不对称静态套期保值错误的存在和收敛性，这是一种在[11]中首次引入并在[2]中推广的技术。这是针对一大类多维随机资产的动力学，但具有一致的椭圆条件。推导了一阶、二阶和高阶套期保值误差，并报告了它们的整体表示。然后证明了其存在性和渐近收敛性。利润通常被称为半静态对冲。半静态对冲通过简单普通期权中的隐含持仓来代表敲出/敲入期权的对冲：自论文[5]以来，这一主题已被广泛讨论和研究。在这一开创性贡献之后，相关金融文献发展了不同的研究方向。一系列研究集中于将反射原理（即Black-Scholes设置中的关键工具）扩展到“较弱”的对称性（例如，参见[6]）或更一般的设置（例如[12]）。为了提供一个具体的例子，作为一个极端情况，[7]的论文通过构造一个操作符，将（要对冲的期权的）收益映射到一个允许精确半静态对冲公式的函数，在一般一维扩散环境中获得了精确的半静态对冲公式。

该方法后来在[4]中被扩展为“弱反射原理”，可能适用于跳跃过程。建议的方法允许以系统的方式建立屏障选项的精确静态h边策略；讨论了一个具有不连续扩散系数的例子，通过展示参数技术如何在Dirichlet条件下实现精确的热核展开。本文的结构如下：第2节回顾了文献[1]所取得的主要成果。第3节通过后续步骤进行分析，提供并讨论了拟议方法的主要理论结果：在比[1]更一般的数学背景下引入基于对称化的半静态对冲（第3.1小节）；基础资产价格过程的假设（第3.2小节）；对冲误差的积分分解和一阶对冲误差的推导（第3.3小节，定理3.9）；二阶hedgingerror（第3.4小节，定理3.13）；第3.5小节将前几节的基本思想扩展到高阶对冲误差的识别。第4节给出了结论性评论，附录A包含了本文主要理论结果的证明。2渐进静态对冲框架：快速回顾[1]本节的目的是回顾渐进对冲误差识别与扩展的框架以及[1]中取得的主要理论结果。我们首先回顾障碍期权的半静态对冲策略。设X是一个离散过程，τ是X离开域D的第一次退出时间 我们想通过持有两个普通期权来对冲淘汰期权。假设其p ay-o效应由f（XT）1{τ>T}给出，其中f目前是Rd上的有界可测函数。

我们将研究的对冲策略如下：期权的多头头寸，其收益为f（XT）1{XT∈D}，以及带有^f的一个的短位置，其中^f是RDF上的一个可测量函数，使得^f=0在D上。然后，o如果X从未退出D，则套期保值起作用在{τ<T}事件发生时，套期保值者在τ时清算投资组合。成本ise-r（T-τ） E[（f（XT）1{XT∈D}-^f（XT））| fτ]。如果后者也为零，我们可以说静态套期保值工作得很好，但如果不是这样，后者可以理解为静态套期保值的错误。我们还可以通过持有f（XT）1{XT，来考虑敲入薪酬f（XT）1{τ<T}的静态对冲∈Dc}和^f。然后，o如果X从未退出D，则对冲起作用；无对无。o在τ（<T），套期保值者出售pay-o fff^f期权，并购买pay-o fff（XT）1{XT的期权∈D}。那么成本又是e-r（T-τ） E[（f（XT）1{XT∈D}-^f（XT））| fτ]。o到期日T时，薪酬为零：f（XT）对f（XT）1{XT∈D}+f（XT）1{XT∈Dc}。因此，在这两种情况下，在t（<τ）ise处评估的对冲误差-r（T-t） E[E[1{τ<t}π（f）（XT）| fτ]| Ft]，（1）其中π（f）（x）：=f（x）1{x∈D}-^f（x）。换句话说，我们有e[f（XT）1{τ>T}| Ft∧τ] （待对冲的淘汰期权）=E[π（f）（XT）| Ft∧τ] （对冲普通期权）- E[E[1{τ<T}π（f）（XT）| fτ]| Ft]（对冲误差）（2）和[f（XT）1{τ<T}Ft∧τ] （待套期的敲入期权）=E[π⊥（f） （XT）|英尺∧τ] （hed ge的普通期权）+E[E[1{τ<T}π（f）（XT）| fτ]Ft]（对冲误差），（3）其中π⊥（f） （x）：=f（x）1{x∈Dc}+^f（x）。

这里我们假设^f（x）=\\f（x）1{x∈D}，这意味着Dπ（f）=^f，π（f）=π（f），依此类推。本文[1]的第一个主要结果是用s到期的敲入期权与支付函数tf（x）：=ZRd（Lx）的积分来替代对冲误差（1）- t） pt（x，y）π（f）（y）dy，（4），其中lx是作用于变量x的x的微元生成器，p是近似狄拉克δ为t的核→ 0，其属性为∈ DZRdπ（f）（y）pt（x，y）dy=0，或等效地，ZDpt（x，y）f（y）dy=ZDcpt（x，y）^f（y）dy。（5）我们注意到h（t，x，y）的（t，y）中的联合可积性：=（Lx- t） pt（x，y）是一个幼稚的需求，但如果我们可以假设它，那么一切都正常工作。我们假设X有一个光滑的转移密度qt（X，y），qt（X，y）是伴随半群的转移密度。利用参数X中的基本关系，在[1]中建立了以下误差公式。定理2.1（[1]）假设ztzrdqs（x，z）|（S）T-sf（z）| dzds<∞ （6） 对于每个x∈ Rd。

然后，将套期保值误差分解为敲入期权的积分：E[1{τ<T}π（f）（XT）| fτ]Ft]=ZTE[1{τ≤s} （（s）T-s（f））（Xs）| fτ∧t] ds。因此，我们分别有以下敲出和敲入期权公式：；E[f（XT）1{τ≥T}|英尺∧τ] =E[π（f）（XT）| Ft∧τ] -中兴通讯[1{τ<s}（（s）T-s（f））（Xs）| fτ∧t] ds，（7）andE[f（XT）1{τ<t}| Ft∧τ] =E[π⊥（f） （XT）|英尺∧τ] +中兴通讯[1{τ<s}（（s）T-s（f））（Xs）| fτ∧t] ds。（8） 由于（8）右侧第二项的被积函数再次是敲入期权的报酬，因此可以重复迭代该公式以获得渐近表达式。我们假设，对于n∈ N、 Z0=s<s<···<sn<TZRdNqT-sn（x，yN）nYj=1 | h（sj- sj公司-1、yj、yj-1） | dyjdsj<∞ （9） 然后，我们可以通过（S）htf（x）=Zt（S）S（S）h递归定义h=2、···、n的运算符-1吨-sf（x）ds。半静态套期保值的以下渐近展开公式在[1]中得到。定理2.2（[1]）和（9），对于n∈ NE[f（XT）1{τ≥T}|英尺∧τ] （分别为[f（XT）1{τ<T}| Ft∧τ] ）=E[π（f）（XT）| Ft∧τ] （分别为E[π⊥f（XT）1{τ<T}| Ft]）n-1Xh=1ZTE[π⊥（（S）hT-s（f））（Xs）| fτ∧t] ds公司中兴通讯[1{τ<s}（（s）nT-s（f））（Xs）| fτ∧t] ds，我们通常理解为pH=1（·····）=0。此外，如果（9）适用于任何n∈ N，数量变为零，为N→ ∞, 那么我们得到pnh=1π⊥（S） hT公司-s（f）（x）在x，P上一致收敛∞h=1π⊥（S） hT公司-s（f）（Xs）可积于（s，ω），与[f（XT）1{τ≥T}|英尺∧τ] （分别为[f（XT）1{τ<T}| Ft∧τ] ）=E[π（f）（XT）| Ft∧τ] （分别为E[π⊥f（XT）1{τ<T}| Ft∧τ])中兴通讯[∞Xh=1π⊥（（S）hT-s（f））（Xs）| fτ∧t] ds。3通过对称化的静态对冲本节通过展示如何消除静态对冲误差的渐近性或借助参数技术和核对称化来处理静态对冲问题。主要的理论结果是在比文献[1]中考虑的更一般的背景下给出的。

分析的中间步骤在单独的小节中介绍和讨论。第3.1小节介绍了在一类相当普遍的多维模型下，基于s y矩阵化的半静态套期保值。第3.2小节对基础资产价格过程及其影响所考虑的假设进行了威胁。对冲误差的积分分解和一阶对冲误差的推导（定理3.9）包含在第3.3小节中。定理3.13第3.4小节给出了二阶h边角误差的结果。第3.5小节展示了如何将前面小节的基本概念扩展到高阶对冲误差的识别。3.1基于对称化的半静态套期保值本小节介绍了在一类相当普遍的多维模型下，基于s y对称化的半静态套期保值。要考虑的一个关键因素是映射f1{x的适当p空气的存在性∈D}7→^f和（5）中的密度p。让我们从一个例子开始。在[1]中，介绍了两种特殊情况：一维情况和基于[2]中介绍的put-call对称的多维情况。一维情况依赖于一维布朗运动的反射原理来提取p和π，它们分别是标准布朗运动的热核和关于边界K的反射：π（f）（x）=f（x）1{x>K}- f（2K- x） 1{x≤K} 。（10） 当在一维情况下工作时，几乎所有的微分都可以平滑地转换为带漂移的布朗运动；由于剔除区域总是可以被描述为一个区间，因此变换只会将其转移到不同的区间。在多维设置下工作时，相同的数据不适用。