次级CIR强度模型及其在逆向风险中的应用

当使用相同的高斯曝光曲线，但参数如图1（b）所示时，附录中详细说明了类似结果。0e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+050.0060.0065 0.0070 0.0075CIR，ρ=0.8mCVAMC CV（a）CIR（0.02，0.161，0.08，0.03）0e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+050.0052 0.0056 0.0060 0 0.0064CIR，ρ=0.4mCVAMC CV（b）CIR（0.02，0.161，0.08，0.08 03）0e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+050.0060 0.0065 0.0070 0.0075JCIR，ρ=0.8mCVAMC CV（c）CIR（0.02，0.161，0.08，0.03），JCIR（0.07，0.08）0e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+050.0055 0.0060 0.0065JCIR，ρ=0.4mCVAMC CV（d）CIR（0.02，0.161，0.08，0.03），JCIR（0.07，0.08）0 5000 10000 20000 250000.006 0.007 0.008 0.009TC-CIR，ρ=0.8mCVAMC CV（e）CIR（0.02，0.161，0.08，0.03），TC-CIR（0.6，0.512）0 5000 10000 15000 20000 250000.0045 0.0055 0.0065 0.0075TC-CIR，ρ=0.4mCVAMC CV（f）CIR（0.02，0.161，0.08，0.03），TC-CIR（0.6，0.512）图3：控制变量CVA图，3Y高斯曝光，σ=8%。h（t）=5%。我们清楚地观察到，所采用的方差缩减技术允许显著减少标准蒙特卡罗的计算量，作为WWR存在时CVA计算的解决方案。由于Y和选择的控制Z随着|ρ|的减小而更加相关，因此我们观察到，当|ρ|减小时，方差再次减小，并且在这种情况下自适应估计器的收敛速度更快。6结论在简化形式的强度模型中，CIR++过程等模型受到了较多关注。后者包括以确定性方式移位的时间齐次均值回复平方根差，以满足给定的概率项结构。为了增加可达到的波动率，可以在CIR++动力学中添加跳跃。

如果跳跃是独立的和积极的，那么就可以得到所谓的JCIR++模型，它仍然是一个函数。然而，问题是，当跳跃活动增加时，模型隐含的生存概率曲线会减少，因为它们是单侧的。模型曲线与市场曲线的校准通过移位函数实现，后者在跳跃活动增加时减少。因此，为了避免面临“负强度”，可以使用的跳跃活动受到限制。例如，这种特殊性限制了CDS、CDS期权或错误方式风险CVA的风险价值的可实现值。另一种允许两侧跳跃的强度模型是Mendoza Arriaga&Linetsky的时变思想。由于跳跃既可以是正的，也可以是负的，因此与JCIR++相比，当增加跳跃的活动时，模型隐含生存概率曲线的下降速度预计要慢一些。因此，预计面临负移位函数（即“负强度”）的问题不会那么严重，因此可能会产生更大的“波动性影响”。这促使我们将上述模型用于CVA目的。然而，在多变量框架中使用时变强度方法需要特殊的预防措施。在没有具体调整的情况下，时间变化技术部分破坏了强度和暴露之间的潜在相关性，从而对可达到的WWR效果产生负面影响。更重要的是，它具有前瞻性影响，可以创造套利机会。在本文中，我们展示了如何通过以“同步”方式重建曝光动力学，以一致和有效的方式使用时变模型，从而避免上述问题。

通过提出一种基于自适应控制变量的方差缩减技术，解决了时变技术固有的计算问题。最后，数值模拟表明，在给定项结构的校准约束下，与CIR++和JCIR++模型相比，时间变化模型可以产生更大的WWR效应。从风险管理和定价角度来看，分析该模型产生更高CDS利差波动性的能力是另一个重要问题，这有待于未来的工作。7致谢谢赫·姆巴耶的研究由比利时国家银行通过FSRgrant资助。我们要感谢M.Jeanblanc在处理跳跃和时变过程时对浸入特性的讨论。我们也非常感谢G.Pag\'es对自适应控制变量方法的讨论。最后，我们感谢LauraBallotta激发了对这项工作的前一版本的讨论。本文所表达的观点是作者的观点，并不一定反映比利时国家银行的观点。8附录在本节中，我们使用图1（b）的参数集给出推论3.1.3和方差缩减图的证明。证据设Vt=Vse-σ（t-s） +σ（WVt-WVs）。显然，因为V适应FWV，EhVt | FWV∨ FWλsi=EhVt | FWVsi=Vse-σ（t-s） Eheσ（WVt-WVs）i=vs然而，θs>s之后的WVafter增量与fwvs和FWλθs均无关：=FWλθs。

因此，EVt | FWVs∨ FWλθs= Vse公司-σ（t-s） Eheσ（WVt-WVs）| FWλθsi=Vse-σ（t-s） eσ（t-θs）Eheσ（WVθs-WVs）| FWλθsi=Vse-σ（θs-s） Eheσ（WVθs-WVs）| FWλθs在ρ6=0的续集中，Eheσρ[（Wλθs-Wλs）-√1.-ρ（W⊥θs-W⊥s） ]| FWλθsi=eσρ（Wλθs-Wλs）Ee-σ√1.-ρρ（W⊥θs-W⊥s） | FWλθs观察W⊥θs- W⊥sis不独立于FWλθsas该信息集给出了Wλθs的值- Wλs：Wλθs- Wλs=ρWVθs- WVs公司+p1级- ρW⊥θs- W⊥s计算上述条件期望值以评估动量生成函数（MGF）Д-σ√1.-ρρ与正态变量W关联⊥θs-W⊥我们知道它与另一个自变量的加权和的值。更明确地说，我们正在寻找X=p1的MGF- ρ√θs- sz使得X+Y=Wλθs-Wλswith Y=ρ√θs- sZ，Z，ZID标准正常。

可以证明（见eg【13】），给定X+ωZ=c，X=ωZ~ N（|u，|σ）和|σ=ω-2+ ω-2.-1和|u=c|σ/ω。使用ω、ω和c=Wλθs的值- Wλs，Д（t）=e（1-ρ） （Wλθs-Wλs）t+ρ（1）-ρ） （θs-s） t最终，EVt | FWVs∨ FWλθs= Vse公司-σ（θs-s） eσρ（Wλθs-Wλs）e（1-ρ） （Wλθs-Wλs）-σ√1.-ρρ×eρ（1-ρ） （θs-s）-σ√1.-ρρ√= Vseσρh1-(1-ρ） i（Wλθs-Wλs）+σ[（1-ρ)-1] （θs-s） 6=Vs.0e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+050.0054 0.0058 0.0062 0.0066CIR，ρ=0.8mCVA（a）CIR（0.072，0.05，0.045，0.04）0e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+050.0050 0.0054 0.0058 0.0062CIR，ρ=0.4mCVAMC CV（b）CIR（0.072，0.05，0.042 5，0.04）0e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+050.0055 0.0060 0.0065JCIR，ρ=0.8mCVAMC CV（c）CIR（0.072，0.05，0.045，0.04），JCIR（0.07，0.05）0e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+050.0050 0.0054 0.0058 0.0062JCIR，ρ=0.4mCVAMC CV（d）CIR（0.072，0.05，0.045，0.04）），JCIR（0.07，0.05）0 5000 10000 20000 250000.006 0.007 0.008 0.009TC-CIR，ρ=0.8mCVA JCIRMC CV（e）CIR（0.072，0.05，0.045，0.04），TC-CIR（0.4，0.49）0 5000 10000 15000 20000 250000.0045 0.0055 0.0065 0.0075TC-CIR，ρ=0.4mCVAMC CV（f）CIR（0.072，0.05，0.045，0.04），TC-CIR（0.4，0.49）图4：控制变量CVA图，3Y高斯暴露，σ=8%。h（t）=5%。参考文献【1】D.Applebaum。《列维过程与随机微积分》，第二版。剑桥大学出版社，2009年。[2] T.Bielecki、M.Jeanblanc和M.Rutkowski。信用风险建模。技术报告，大阪大学金融与保险研究中心，大阪（日本），2011年。[3] D.Brigo和A.Alfonsi。利用SSRD随机强度和利率模型对信用违约掉期进行校准和期权定价。《金融与随机》，第九卷（1），9:29-42，2005年。[4] D.Brigo和F.Mercurio。利率模型：微笑、通货膨胀和信贷的理论与实践。第二版，施普林格·维拉格，海德堡，2006年。[5] D.Brigo和E.Naoufel。

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