次级CIR强度模型及其在逆向风险中的应用

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英文标题：
《A subordinated CIR intensity model with application to Wrong-Way risk
  CVA》
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作者：
Cheikh Mbaye and Fr\\\'ed\\\'eric Vrins
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Credit Valuation Adjustment (CVA) pricing models need to be both flexible and tractable. The survival probability has to be known in closed form (for calibration purposes), the model should be able to fit any valid Credit Default Swap (CDS) curve, should lead to large volatilities (in line with CDS options) and finally should be able to feature significant Wrong-Way Risk (WWR) impact. The Cox-Ingersoll-Ross model (CIR) combined with independent positive jumps and deterministic shift (JCIR++) is a very good candidate : the variance (and thus covariance with exposure, i.e. WWR) can be increased with the jumps, whereas the calibration constraint is achieved via the shift. In practice however, there is a strong limit on the model parameters that can be chosen, and thus on the resulting WWR impact. This is because only non-negative shifts are allowed for consistency reasons, whereas the upwards jumps of the JCIR++ need to be compensated by a downward shift. To limit this problem, we consider the two-side jump model recently introduced by Mendoza-Arriaga \\& Linetsky, built by time-changing CIR intensities. In a multivariate setup like CVA, time-changing the intensity partly kills the potential correlation with the exposure process and destroys WWR impact. Moreover, it can introduce a forward looking effect that can lead to arbitrage opportunities. In this paper, we use the time-changed CIR process in a way that the above issues are avoided. We show that the resulting process allows to introduce a large WWR effect compared to the JCIR++ model. The computation cost of the resulting Monte Carlo framework is reduced by using an adaptive control variate procedure.
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中文摘要：
信用估值调整（CVA）定价模型需要既灵活又易于处理。生存概率必须以封闭形式已知（出于校准目的），该模型应能够拟合任何有效的信用违约掉期（CDS）曲线，应导致较大的波动性（与CDS期权一致），并最终应能够表现出显著的错向风险（WWR）影响。Cox-Ingersoll-Ross模型（CIR）结合了独立的正跳跃和确定性偏移（JCIR++），是一个很好的候选者：方差（以及与曝光的协方差，即WWR）可以随着跳跃而增加，而校准约束是通过偏移实现的。然而，在实践中，对可选择的模型参数以及由此产生的WWR影响有很大的限制。这是因为出于一致性原因，只允许非负移位，而JCIR++的向上跳跃需要通过向下移位进行补偿。为了限制这个问题，我们考虑了最近由门多萨·阿里加（Mendoza Arriaga）和莱因茨基（Linetsky）引入的双边跳跃模型，该模型是由随时间变化的CIR强度建立的。在CVA等多变量设置中，时间改变强度部分消除了与暴露过程的潜在相关性，并破坏了WWR影响。此外，它可以引入前瞻性效应，从而带来套利机会。在本文中，我们使用时变CIR过程来避免上述问题。我们表明，与JCIR++模型相比，生成的过程允许引入较大的WWR效应。通过使用自适应控制变量程序，降低了蒙特卡罗框架的计算成本。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> A_subordinated_CIR_intensity_model_with_application_to_Wrong-Way_risk_CVA.pdf (541.42 KB)

2022-6-2 22:34:32 上传

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关键词：CIR Mathematical Quantitative volatilities Multivariate

次级CIR强度模型及其在Rong Way risk CVACheikh Mbaye Fr'ed'eric Vrins中的应用*卢万金融中心（LFIN）和CORE+卢万天主教大学，BelgiumAbstractCredit Valuation Adjustment（CVA）定价模型需要灵活且易于处理。生存概率必须以封闭形式已知（出于校准目的），该模型应能够拟合任何有效的信用违约掉期（CDS）曲线，应导致较大的波动性（与CDS期权一致），并且最终应能够表现出显著的错向风险（WWR）影响。Cox-Ingersoll-Ross模型（CIR）结合了独立的正跳跃和确定性偏移（JCIR++），是一个很好的候选者：方差（以及与曝光的协方差，即WWR）可以随着跳跃而增加，而校准约束是通过偏移来实现的。然而，在实践中，对可选择的模型参数以及由此产生的WWR影响有很大的限制。这是因为出于一致性原因，只允许非负迁移，而JCIR++的向上跳跃需要通过向下移动来补偿。为了限制这个问题，我们考虑了门多萨·阿里加（Mendoza Arriaga）和莱因茨基（Linetsky）最近引入的双边跳跃模型，该模型是由随时间变化的CIR强度建立的。在CVA等多变量设置中，时间改变*《罗马之音》34，B-1348 Louvain la Neuve，比利时。电子邮件：frederic。vrins@uclouvain.be.+运筹学和计量经济学中心。强度部分消除了与暴露过程的潜在相关性，并破坏了SWWR影响。此外，它可以带来前瞻性的影响，从而带来巨大的机遇。本文采用时变CIR过程，避免了上述问题。我们表明，与JCIR++模型相比，结果过程允许引入较大的WWR影响。

通过使用自适应控制变量程序，减少了蒙特卡罗框架的计算成本。关键词：违约强度、时变差异、从属关系、信用价值调整（CVA）、错向风险（WWR）。1简介自2008年金融危机以来，监管机构建议金融机构在评估场外交易（OTC）时，特别注意对方信用风险（CCR）。在这种情况下，CCR指的是交易对手在合同到期之前违约的可能性。CCR可以通过建立强有力的担保协议，或通过收取信用价值调整（CVA）来吸收相应的预期损失来进行核算。定价此类调整时的主要挑战之一是考虑风险敞口与交易对手信用质量的潜在依赖性，这一现象通常被称为错误方向风险（WWR）。在这方面，简化模型类中一个流行的框架是考虑由CIR++[3]或JCIR++[5]过程控制的默认强度。本质上，强度被建模为CIR或跳跃扩散CIR（JCIR）动态，以确定性的方式进行移动，以满足给定的CDS期限结构。然而，该模型克服了一个重要的限制：产生的强度过程（包括偏移）需要是积极的。由于易处理性原因，JCIR++模型中的跳跃仅向上，在保持生存概率曲线不变的约束下增加跳跃活动（例如增加隐含的利差波动率）会引入一个越来越负的移位函数。由于出于一致性的原因，负移位应该是规则，这就限制了可以使用的CIR或JCIR参数。这将进一步限制CVA应用中WWR的影响。

限制移位函数出现负值的一种方法是允许向上和向下跳跃，而不影响模型的可跟踪性。在本文中，我们考虑了门多萨·阿里加（Mendoza Arriaga）和莱因茨基（Linetsky）[11]的方法，将违约强度建模为CVA背景下随时间变化的CIR。这提出了几个需要解决的问题。首先，时间变化过程将破坏强度和曝光增量之间的潜在相关性。因此，这将导致WWR影响较弱。其次，时间变化方法也可能通过前瞻性效应引入任意地理机会。最终，即使存在一些以半分析方式处理WWR的技术（参见[6]和[14]），通常也必须依赖蒙特卡罗模拟。众所周知，标准蒙特卡罗方法具有计算强度。此外，由于随机时钟，时间变化模型非常耗时，因为仿真是在随机网格中进行的。我们在本文中的贡献是多方面的。首先，我们提出了一种在CVA背景下使用Mendoza Arriaga和Linetsky的时变模型的方法，以避免相关性破坏和套利机会的出现。这是通过以与强度“同步”的方式重建曝光过程，同时保留原始曝光的动态来实现的。其次，我们通过数值实验表明，与JCIR++相比，相应的模型确实能够生成更大的WWR CVA图，而不会面临由负偏移导致的不一致性问题。最后，我们提出了一种基于自适应控制变量的方差缩减技术，以减少计算量。本文的组织结构如下。

在第2节中，我们回顾了信贷风险文献中一些简化形式的强度模型的理论，如差别强度模型及其扩展。在第三部分中，我们介绍了次级模型，并结合风险敞口过程的重构，避免了时间变化可能带来的套利机会。第四部分回顾了差异模型和新从属模型简化形式设置中CVA计算的基本概念。在第5节中，我们介绍了数值实验，包括根据WWR效应和控制变量技术对DiffusionModels和time change model进行比较。最后一节包含一些结论和观点。2差异违约强度模型在定义次级模型之前，我们回顾了信用风险建模文献中使用强度方法对一些现有模型的定义。在本研究中，我们考虑了众所周知的平方根扩散违约强度模型及其扩展的移位版本SSRD【3】和SSRJD【5】。2.1扩散强度市场模型我们考虑固定时间范围T>0和概率空间(Ohm, FT，F，Q），其中F=（FT）0≤t型≤这是向量W=（WB，WV，W）生成的过滤⊥). 在此设置中，QRE表示风险中性概率度量，W的组成部分是风险驱动因素。特别是，WB控制无风险利率r的动态，从而控制银行账户的动态：dBt=rtBtdt，B=1。在Q下，所有可交易资产的价格除以B是两个现金流日期之间的F鞅。第二个布朗运动wvd驱动组合价格过程的动力学dvt=b（Vt）dt+σ（Vt）dWVt，V>0。（1） 我们假设系数b，σ足够规则，以确保存在该SDE的唯一强解。最后，我们将交易对手的违约时间τ建模为随机时间。

定义为递增随机过程∧t：=Rtλsds，（λs）s的首次通过时间≥0≥ 0，高于单位平均指数随机势垒E：τ：=inf{t≥ 0：∧t≥ E} 。（2） 在此设置中，默认强度λ由与WV相关的布朗运动驱动，Wλ：=ρWV+p1- ρW⊥, W⊥⊥ WV，ρ∈ [-1，1]，但阈值E与F无关。在这种简化形式设置中，完整过滤G=（Gt）0≤t型≤通过D=（Dt）0逐步增大F获得≤t型≤T、 默认指标的自然过滤T=1{τ≤t} ：Gt=英尺∨Dt其中Dt：=σ（Du，0≤ u≤ t） 。因此，τ是D-和G-停止时间，但不是F-停止时间。然而，一般来说，τ和V彼此相关（通过WV）。根据D的Doob-Meyer分解，其G强度由λGt=（1）给出- Dt）λt【10】。在F下，强度仅为λ。由于随机时间τ是通过Cox过程构造的，因此表明每个F-局部鞅也是G-局部鞅的H-假设在F和G之间成立，F G（来自【2】和【10】提案5.9.1.1和备注7.5.1.2）。该模型隐含的生存时间t的生存概率由p（t，t）：=Q（τ>t | Gt）=1{τ>t}E[ST | Ft]ST=1{τ>t}Gt（t）Gt（t）（3）给出，其中Gt（t）：=Q（τ>t | Ft）被称为filtrationf中的风险中性生存概率，生存过程ST：=Gt（t）=Q（τ>t | Ft）是Az'ema上鞅[8]了解更多详细信息）。通常G（T）参数化为PM（0，T）=e-RTh（s）ds，其中h>0是在时间0时盛行的危险率曲线。我们使用符号E表示Q下的预期。为了避免套利机会，需要将模型曲线校准到市场曲线，即。

对于所有t>0的情况，确保P（0，t）=G（t）=PM（0，t）。注意，在上述设置中，生存过程采用简单的形式St=e-与这类模型相关的Az'ema超鞅有一个特殊的Doob-Meyer分解：它是递减的，意味着鞅部分消失了。存在鞅部分为非零的其他类型的缺省模型，参见例[9]。2.2 CIR++和JCIR++强度模型定义强度过程λ的一种简便方法是设置λt=k（Xt），其中k是一个给定的正函数，在（0，∞) X遵循Cox-Ingersoll-Ross（CIR）SDEdXt=κ（β- Xt）dt+ηpXtdWλt，X=X>0。（4） 通过这样做，强度过程成为（一个函数）均值回复平方根过程X，具有均值回复速度κ、长期均值β和波动率η，通常为满足Feller约束2κβ>η。为了描述默认强度过程中出现的正跳跃，我们考虑定义为dxt=κ（β）的跳跃扩散CIR模型（JCIR- Xt）dt+ηpXtdWλt+dJt，X=X（5），其中jt：=NtXi=1Yi，t≥ 0，（6）NTI是一个强度ω>0且Y，Y。平均值为1/α，α>0的同分布指数随机变量序列，与泊松过程Nt和W无关。通常的选择是考虑k（x）=x，在这种情况下，强度由方程式（4）和（5）中分别定义的CIR或JCIR动力学驱动。在SDE（4）中添加Wλ的非负跳跃sindependent会增加强度过程的波动性。这两种选择属于一类有效模型：时间t生存概率曲线采用简单的形式pcir（t，t）=1{τ>t}A（t，t）e-B（t，t）Xt（7）和pjcir（t，t）=1{τ>t}A（t，t）e-\'B（t，t）Xt（8），用于某些确定性函数A、B、\'A和\'B（有关更多详细信息，请参阅[4]）。

只要位移是确定的，以时间依赖的方式移动processX不会影响上述关系，但在校准能力方面提供了充分的灵活性。因此，通常考虑λt=Xt+ψ（t），其中X是CIR或JCIR过程，ψ的选择应确保模型和市场生存概率曲线在开始时重合：P（0，t）=PM（0，t）。根据Xfeatures是否跳转，相应的模型称为CIR++和JCIR++。增加这种变化的主要优点是，我们可以精确地确定风险率的任何期限结构，并推导出债券和欧洲期权的分析公式。特别是，CIR++和JCIR++模型仍然有效，我们只需要通过Ae替换a-在CIR模型中，Rtψ（s）dS，在JCIR模型中，类似地，对于“A”。任何时间t的位移ψ由（对于CIR和JCIR模型）ψ（t）=-ddtlnPM（0，t）P（0，t）。这种方法的缺点是，我们只能通过对模型参数的限制来保证强度的正性，例如ψ≥ 实际上，X可以取非常接近于零的值，因此条件λ≥ 0 Q-a.s.相当于表示ψ≥ 然而，一般来说，ψ必须修正函数P，使其由于移位而粘在目标函数PM（0，）上。给定一组X的模型参数，一般来说，没有什么可以阻止ψ变为负值。但是如果它取负值，那么得到的模型就不是Cox类型，H假设也不再成立。这个问题在实践中非常重要。事实上，CIR模型具有较低的波动率与CDS曲线，增加波动率只会打破Feller条件。使用JCIR可以在不打破Feller约束的情况下增加波动性。

然而，JCIR模型的一种形式要求跳跃独立于扩散部分，因此正性仅适用于向上跳跃。这当然会增加λ的平均值，进而降低PJCIR（这种偏移会迅速变为负值，导致负强度，这与Cox模型不一致）。反过来，设定给定的目标曲线PM（0，.）在非负偏移情况下，仅对跳跃规模/利率施加限制，从而对可实现的波动率施加限制。然而，不能无限制地增加J的活性。通过这样做，校准约束P（0，t）=PM（0，t）确实会向下驱动隐含的移位函数ψ。由于ψ不能取负值，因此在保持模型一致性的同时，可以使用的跳跃率和/或大小有很强的限制。在下一节中，我们将提出一种不受上述问题影响的替代模型。3时间变化强度模型如前所述，JCIR跳跃迅速向下推动ψ的事实是由于跳跃仅为正。如果跳跃可以向两个方向移动，则不会出现这种情况。然而，仅仅在JCIR++中使用对称跳跃是不够的：如果J独立于Wλ，这将破坏X的正性。一种可能性在于将λ建模为标准强度过程（如X）的时变版本。在这方面，我们通过将CIR过程Xtin（4）与跳跃过程θt:=t+Jt（9）进行排序来定义时变CIR（TC-CIR）模型，其中Jis是一个与（6）中定义的W无关的复合毒物过程，但与aPoisson过程tin而不是Nt。也就是说，我们定义了一个新的过程XθXθt=Xθt，其中θ是上面定义的随机时钟。

如果随机时钟特征跳跃，则结果时间变化过程仍然是正的，并且在两个方向上都有跳跃。θ可能是漂移a>0（即θt=at+Jt）的从属项，但我们在这里关注的是情况a=1。这将提供一种增加λ波动性的方法，避免时间变化模型的隐含偏移随着跳跃活动的增加而过快变为负值。由于Xθ不再是一个函数，我们需要应用门多萨·阿里加（Mendoza Arriaga）和莱因茨基（Linetsky）[11]开发的程序来获得生存概率的闭合公式。这种方法是通过Bochner意义上的从属关系来改变CIR违约强度的时间变化。基于考克斯模型，它可以通过相关半群的特征函数展开进行分析处理，从而得出可违约零息票债券的封闭式定价。3.1时变市场模型考虑了相应的时变概率空间(Ohm, FθT，Fθ，Q），FθT=Fθ，Fθ=（FθT）T≥为了引入时变违约市场，我们考虑（2）中定义的违约时间，以确定时变模型的相应强度。让我们用Dθt定义D的相应指标过程：=1{τ≤θt}，t≥ 为了引入时间变化过滤，我们首先需要定义一个逆从属过程（Lt:=inf{s≥ 0：θs>t}，t≥ 0). 设L=（Lt）t≥0为其完成的自然过滤，H=（Ht）t≥0 Ht=Gt的放大过滤∨ Lt.然后，我们确定时间变化过滤Hθ=（Hθt）t≥0乘以Hθt=Hθt。