次级CIR强度模型及其在逆向风险中的应用

因此，时变双变量过程（Xθt，Dθt）t≥0是Hθ适应的，c\'adl\'ag，是Hθ半鞅（详见[11]）。在此设置中，根据Dθ的Doob-Meyer分解，我们的时变强度为λHθt=（1）给出的（见[11]中的定理3.3（iii））- Dθt）λθt，λθt=kθ（Xθt），kθ（X）=k（X）+Z（0，∞)1.- A（0，s）e-B（0，s）xν（ds），其中我们设置k（x）=x（如CIR强度模型中），ν（ds）=ωαe-αsds和A、B与（7）中的相同。因此，如果kθ是从R+到R+的函数，X是强度过程，则λθ定义了一个新的强度过程，并可用于使用上述Cox框架定义新的默认时间：τθ：=inft型≥ 0:Ztλθsds≥ E我们有{τθ≤ t}≡ {τ ≤ θt}Q-a.s.，其中dθt=1{τθ≤t} 。在此设置中，新的生存时间t生存概率生存到时间t isPθ（t，t）：=Qτθ>T | HθT= 1{τθ>t}E[Sθt | Fθt]Sθt=1{τθ>t}Gθt（t）Gθt（t）（10），其中Sθt=Q（τθ>t | Fθt）=E-Rtλθsds是时间变化模型中的Az'ema上鞅，Gθt（t）=Q（τθ>t | Fθt）是风险中性生存概率。在一般的多变量设置中，特别是在CVA应用的特定情况下，时间变化方法存在一个问题。实际上，λθ是一种强度，通常可以与其他过程（例如V和B）相关。如果我们把这些布朗运动联系起来，就会出现两个问题。首先，由于时间的变化，强度λθ和（V，B）之间的相关性被部分破坏。事实上，vt和bt取决于WVand WBon[0，t]，而强度λθ取决于Wλon[0，θt]和θt≥ t、 因此，这种方法会随着θ跳跃的强度或大小的增加，对过程λ和（B，V）之间的依赖性产生负面影响。另一个可能更重要的问题与套利机会有关。t处λθ的知识包含Wλ到θt的信息。如果ρ6=0，这将对V产生前瞻性影响。

因此，重要的是使用一个所有过程保持同步的模型，但不改变最初规定的B和V定律。为此，重建新的布朗运动（fWV，fWB）就足够了，以便（B，V）的增量与λθ的增量保持同步。引理3.1.1。设W为布朗运动，tibe为poisson过程Nt的ithjump时间。然后进程fwt：=Nt-1Xi=0Zt-i+1∧tti公司∧tdWθs+（Wθt- WθtNt）（11）是一个Fθ-布朗运动，其行为与在时间网格上采样的W完全相同。证据fw是一个连续的Fθ-局部鞅，fw=0，且每t≥ 0，hfW it=t。根据L'evy的特征化定理，过程（fWt）t≥0是Fθ-布朗运动。因此，V的动态可以等效地描述为：deVt=b（eVt）dt+σ（eVt）dfWV，eV=V。（12）在WB上应用引理3.1.1中相同的程序，时间变化网格上的WB的相应副本为FWB，它将控制无风险利率er的新动态，从而导致DEB=erteBdt，eB=1给出的银行账户数量。评论值得强调的是，保持WVas为暴露过程V（而非WV）的驱动因素不会完全破坏WV，Wλ之间的相关性ρ所产生的WWR影响。原因是，即使λθ和V的微小增量内的瞬时相关性与θ的第一次跳跃是相互独立的，只要ρ6=0，λθ和V之间的相关性对于任何t>0的情况都是非零的。这是因为这些过程依赖于某些时间间隔上布朗运动增量的积分。

特别是在时钟的两次跳跃之间，驱动强度过程λθ变化的布朗增量可以独立于在同一时间段上驱动曝光V的布朗增量，但在给定时间间隔上第一次布朗运动的增量可以依赖于另一时间段上的第二次布朗运动。这解释了两个过程λθ和V可以相互依赖，即使它们增量的瞬时相关性因时间变化而消失。相比之下，λθ和vt之间的相关性低于λθ和vt之间的相关性：通过将驱动V的布朗运动的变化与驱动λθ的布朗运动的变化同步，可以最大化可附加的相关性。例如，设W，B为两个瞬时相关ρ的布朗运动，即dhW，Bit=ρdt，将Bδ定义为Bδt=Bt+δ，其中δ>0。区间[s，t]上W和B增量之间的相关性为ρ，而W和Bδ之间的相关性为ρ（t-（s+δ））+/（t- s） 其绝对值不大于|ρ|。定理3.1.2。ev-andeB驱动的折扣支付是Q证明下的Hθ-鞅。我们知道，V和B驱动的贴现支付是（Q，F）-鞅，因此，由于H假设，它们是（Q，G）-鞅。通过构造，eV和B与F下的V和B具有相同的Fθ动力学（见引理3.1.1）。因此，ev-andeB驱动的折扣支付函数是（Q，Fθ）-鞅。因为τθ是用协过程建模的，所以浸入是成立的，当Fθ随τθ逐渐增大时，它们仍然是鞅。这表明它们是（Q，Gθ）-鞅，因此是（Q，Hθ）-鞅（sinceLθt=t）。如前所述，改变强度的时间会带来前瞻性影响，从而带来套利机会。

事实上，当ρ6=0时，按无风险利率贴现的非股息支付资产的价格不会是由（WV，Wλθ）生成的自然过滤中Q下的鞅。这在附录中证明的下一个引理中正式化。引理3.1.3。假设V是关于FWV的鞅，FWV是WV的自然滤波。它也是关于FWV的鞅∨FWλ。我们注意到Wλθ是Wλ的时间变化。例如，假设对于一些∈ [0，t]，我们有s<θs<t。那么，x可能不是FWV∨ FWλθ-鞅。3.2时变CIR++强度模型要定义时变CIR（TC-CIR++）模型，我们需要TC-CIR模型生存概率的闭合形式。为此，我们只需要计算时间变化过程θ的空间变换，就可以应用[11]中提出的思想。L'evy从属函数的拉普拉斯变换：我们的时变跳跃过程θ是aL'evy从属函数，使用L'evy-Khintchine公式可以很容易地找到其拉普拉斯变换[1]。对于任何u∈ R、 θreadsE[e]的拉普拉斯变换-uθt）=E[E-u（t+Jt）]=e-utE[电子]-uJt]。从指数公式出发，给出了复合泊松过程的L′evy-Khintchine公式表示[e]-uJt]=e-tД（u），其中，Д是由Д（u）=ZR{0}（1）给出的L'evy指数- e-us）ωαe-αsds1{s>0}=Z（0，∞)ωα(1 - e-美国）e-αsds。是这样的-uθt]=e-tφ（u），φ（u）=uu+α+ωu+α.已知φ，时变生存概率采用闭合形式pθ（t，t）=1{τθ>t}∞Xn=1e-φ（λn）（T-t） fn（0）Дn（Xθt），其中λn，fn和Дnar在【11】中给出。通过将时变强度过程定义为λθt=kθ（Xθt）+ψθ（t），并确定ψθ，从而得出TC-CIR++模型，使得Pθ（0，t）=Gθ（t）=PM（0，t）。因此ψθ（t）=-ddtlnPM（0，t）Pθ（0，t）。4简化形式设置中的CVA简化形式方法依赖于过滤的变化。

在本节中，我们推导了两种情况下的TCVA公式，其中默认强度由平方根差异或时间变化模型给出。CVA试图衡量由于缺少OTC投资组合的剩余付款而导致的预期损失。其数学表达式在基于无套利设置的风险中性定价框架中给出。设R为（1）和（12）分别给出的交易对手和曝光过程V和V的回收率。关于以下CVA表达式的数学证明，我们参考【10】。4.1 CVA公式在扩散模型中，根据H假设，V和B驱动的支付是G鞅。此外，由于v/B是Q-可积和F-可预测的，假设τ>0和确定性恢复率R，时间t CVA表达式readsCVAt=1{τ>t}BtE(1 - R） V+τBτ{τ≤T}燃气轮机= -1{τ>t}BtStE“（1- R） ZTtV+uBudSu英尺#。（13） 用数值格式离散积分，时间-0CVA的蒙特卡罗估计变为[CVA:=-(1 - R） mmXi=1nXk=1V+，（i）tkB（i）tkS（i）tk，n=Tδ（14），其中S（i）tk=S（i）tk- S（i）tk-右侧是蒙特卡罗近似的结果，取n个长度δ间隔内离散的m个时间积分的样本平均值。在τ独立于贴现风险敞口（即ρ=0）的特定情况下，独立CVA公式由CVA给出⊥= -(1 - R） 中兴通讯V+uBudG（u）。（15） 换言之，CVA仅分别取决于预期贴现暴露EhV+UBUI和现行mrisk中性生存概率曲线G（.）。有关更多详细信息，请参阅[6]。然而，一般来说，后面的表述并不成立，CVA取决于风险敞口和信用价值的联合动态。我们无法达到（15）中所述的简单模式，我们必须考虑信贷和风险敞口之间的依赖关系。

错误方式风险（WWR）是与此依赖性相关的额外风险。4.2时间变化模型中的CVA公式eV/eB是Q-可积的，Fθ-可预测的，假设τθ>0，并使用定理3.1.2，与之前类似，但使用（eV，eB）而不是（V，B）（在Fθ下具有与F下（V，B）相同的动力学），但使用τθ的强度和Az'ema上鞅Sθ，wehaveCVAt=1{τθ>t}eBtE”（1- R） eV+τeBτ{τθ≤T}Hθt#=1{τθ>t}eBtE“（1- R） eV+τeBτ{τθ≤T}(τθ≤ t）∨ Fθt#=-1{τθ>t}eBtSθtE“（1- R） ZTteV+u芽θuFθt#。（16） 因此，可以使用蒙特卡罗模拟的m路径将时变模型中的时间-0 CVA近似为[CVA:=-(1 - R） mmXi=1nXk=1eV+，（i）tkeBtkSθ，（i）tk，n=Tδ。（17） 在τθ独立于贴现风险敞口的特定情况下，我们获得了时变模型CVA中的独立CVA公式⊥= -(1 - R） 中兴通讯“eV+ueBu#dGθ（u）。（18）观察到，通过构造ψ和ψθ，G（t）=Gθ（t）=PM（0，t）。因此，CVA⊥符合校准约束下的任一模型。这意味着⊥= -(1 - R） 中兴通讯V+uBudPM（0，u）=-(1 - R） 中兴通讯“eV+ueBu#dPM（0，u）。（19）5数值实验在本节中，我们首先定义双变量过程（Xθ，eV）的模拟程序.使用标准蒙特卡罗模拟计算CVA，并将移位时变模型在WWR方面的性能与CIR++和JCIR++随机强度模型进行比较。为简单起见，假设回收率R和利率R为常数，并将其设置为零（即R=0，B=eB=1），以转移焦点和处理信贷风险依赖关系。5.1（Xθ，eV）的模拟程序让我们用T={0，δ，2δ，…，T}表示时间T网格，Tθ={0，θδ，θ2δ，…，θT}表示时间θT的网格。要定义网格Tθ，我们定义网格Tθi，i=1。

，n，asTθi：=ni-1[j=1θti-1+jθtini, ni公司=θtiδ, Tθfine：=Tθ[（n[i=1Tθi）模拟网格Tθfine包含Tθ，并且以这样的方式完成（排序后），两个连续点之间的步长不大于选择的时间步长δ，以保持对离散化误差的控制，而与θ的跳跃大小无关。为了模拟Xθ，我们使用Diop方案[7]在Tθfine上模拟（4）中的CIR过程X:’X（i+1）δ=’Xiδ+κ（β-\'\'X+iδ）δ+ηq\'\'X+iδ（Wλ（i+1）δ- Wλiδ），\'X=X，i=0，n- 1、Xθ通过在Tθfine中提取网格Tθ上X的对应值来获得。为了获得EV，我们模拟WVon Tθfine，分别在Tθ和（11）和（12）上提取其对应值。5.2数值结果在本节中，我们比较了上述三种模型在简单前向型高斯曝光和布朗交换桥曝光的WWR影响方面的性能。我们将CIR参数（κ、β、η、x）如[6]中所示进行拟合，并搜索JCIR（直接影响强度）和TC-CIR（影响随机时钟，仅间接影响强度跳跃）的跳跃参数（ω、α），以便ψ≥ 0且WWRimpact为最大值。5.2.1布朗暴露我们将等式（1）中暴露动力学的系数设置为b（Vt）≡ 0，σ（Vt）≡ σ和v=0，这导致vt=σdWVt。此示例说明了3年期远期合约或总回报掉期，不支付股息。在图1中，我们绘制了treeconsidered模型的CVA与相关ρ的函数关系。

我们注意到，由于移位约束，JCIR模型的WWR影响略大于CIR模型（由于跳跃），而TC-CIR模型的WWR影响更大。-1-0.5 0.0 0.5 1.00.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008ρCVAρ=0CIRJCIRTC-CIR（a）CIR（0.02，0.161，0.08，0.03），JCIR（0.07，0.08），TC-CIR（0.6，0.512）-1-0.5 0.0 0.5 1.00.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008ρCVAρ=0CIRJCIRTC-CIR（b）CIR（0.072，0.05，0.045，0.04），JCIR（0.07，0.05），TC-CIR（0.4，0.49）图1：CVA图，3Y高斯曝光，σ=8%。危险率为h（t）=5%。5.2.2布朗桥（带漂移）暴露漂移布朗桥通过在（1）b（Vt）中选择获得≡ γ（T-t）-VtT公司-t、 σ（Vt）≡ σ和V=0，因此DVT=γ（T- t）-VtT公司- t型dt+σdwvt，其中γ表示远期曲线所暗示的利率掉期的未来预期金额，σ控制敞口波动性。我们在WWRimpact方面得到了与前一个示例类似的结果。-1-0.5 0.0 0.5 1.00.0020 0.0030 0.0040ρCVAρ=0CIRJCIRTC-CIR（a）CIR（0.02，0.161，0.08，0.03），JCIR（0.07，0.08），TC-CIR（0.6，0.512）-1-0.5 0.0 0.5 1.00.0020 0.0030 0.0040ρCVAρ=0CIRJCIRTC-CIR（b）CIR（0.072，0.05，0.045，0.04），JCIR（0.07，0.05），TC-CIR（0.4，0.49）图2：CVA图，3年掉期风险，（σ，γ）=（8%，0.1%）。危险率为h（t）=5%。5.3自适应控制变量蒙特卡罗估计器应用于TC-CIR++模型的标准蒙特卡罗方法非常耗时。原因是时间步长需要保持相对较小（以限制离散化误差），而模拟范围由θt控制，θt可以比t大得多。为了减少计算量，我们建议采用一种称为自适应控制变量的方差缩减技术。

在本节中，我们简要回顾了控制变量的概念，描述了其自适应实现，然后将其转换到CVA应用程序中。我们的目的是从Y的m i.i.d.观测值中找到E[Y]的估计值。E[Y]的无偏样本均值估计量为^Y：=mPmk=1Yk。控制变量的思想包括通过使用具有已知期望的控制变量Z，找到一个方差比^Y更低的替代无偏估计量Y。考虑随机变量的泛型对（Y，Z），具有i.i.d副本（Yk，Zk），k∈ {1，2，…，m}和定义uk：=Yk- uΞk，Ξk：=Zk- E[Z]。（20） Yu的样本平均估计量kis是E[Y]的一种替代无偏估计量，由^Yu=mmXk=1Yuk=mmXk=1（Yk）给出- Ξk）。对于u=0，其方差等于^Y，但对于u=u，其方差最小*其中u*:=Cov（Y，Ξ）Var（Ξ）=E[Y]E[Ξ]。因为Var（^Yu*) = (1 - Corr（Y，Ξ））Var（^Y），当选择与Y高度相关的控制变量时，这种方法很有趣。然而，在实践中，最佳常数u*需要对其本身进行估计。adaptivecontrol变量对每个索引k使用不同的u值∈ {1，2，…，m}：Vk：=kkXi=1Ξi，Ck：=kkXi=1YiΞi anduk：=CkVk，其中u：=0和uk-1是u的最佳估计量*在步骤k（有关更多详细信息，请参阅[12]）。最后，E[Y]的自适应控制变量估值器由Yu：=mmXk=1Yuk给出-1k=^Y-mmXk=1uk-1Zk+E[Z]mmXk=1uk-1、在我们的CVA应用中，我们感兴趣的是估算CVA，它只不过是Y=-CIR和JCIR模型中的RTV+UDSUI（13）或Y=-RTeV+udSθuin theTC CIR模型（16）。我们取控制变量Z=-RTV+udS⊥uor Z=-RTeV+udSθ，⊥u、 分别，其中S⊥（分别为Sθ，⊥) 是与强度λ（resp。

λθ）用W模拟⊥而不是Wλ。鉴于上述发展，这种选择很有吸引力，因为Z与Y相关（通过曝光过程以及W⊥生存过程的组成部分），而Z的期望是已知的封闭形式，对应于CVA⊥在（19）中给出。在自适应过程中，MPAIR（Yk，Zk）由相应场景上的积分（Y，Z）给出。它们是Y和Z的i.i.d.副本（直至积分计算产生的离散化误差），或者，如果存储V和S的轨迹，则足以存储V（或S）的轨迹，因此在CVA计算中，将第i次曝光的采样路径与π（i）6=i生存过程的采样路径相结合。模拟方案）。最后，我们针对CIR和JCIR模型的自适应CVA估计器得出]CVA=[CVA-CVA公司⊥mmXk=1uk-1+mmXk=1nXj=1uk-1V+，（k）tjS（k）tj（21）分别与（14）和（17）中的[CVAgiven]进行比较。如果将（V，S）替换为（eV，Sθ），则TC-CIR估计器采用类似的形式。在图3中，我们比较了标准蒙特卡罗（MC）和自适应控制变量（CV）得出的95%CVA计算水平的置信区间。我们将此技术应用于三个考虑的模型（CIR、JCIR和TC-CIR）通过使用图1（a）中相同的参数集和高斯曝光。