信用理论在交易对手信用风险回溯测试中的应用

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英文标题：
《The Credibility Theory applied to backtesting Counterparty Credit Risk》
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作者：
Matteo Formenti
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Credibility theory provides tools to obtain better estimates by combining individual data with sample information. We apply the Credibility theory to a Uniform distribution that is used in testing the reliability of forecasting an interest rate for long term horizons. Such empirical exercise is asked by Regulators (CRR, 2013) in validating an Internal Model Method for Counterparty Credit Risk. The main results is that risk managers consider more reliable the output of a test with limited sample size when the Credibility is applied to define a confidence interval.
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中文摘要：
可信性理论通过将个人数据与样本信息相结合，提供了获得更好估计的工具。我们将可信性理论应用于均匀分布，用于测试长期利率预测的可靠性。监管机构（CRR，2013）在验证交易对手信用风险的内部模型方法时要求进行此类实证练习。主要结果是，当可信度用于定义置信区间时，风险管理者认为样本量有限的测试结果更可靠。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> The_Credibility_Theory_applied_to_backtesting_Counterparty_Credit_Risk.pdf (241.32 KB)

2022-6-4 11:40:30 上传

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关键词：信用风险 信用理论 Quantitative Applications counterparty

信用理论应用于对交易对手信用风险进行回溯测试Matteo FormentiGroup Risk ManagementUniCredit GroupUniversitáCarlo CattaneoSeptember 3，2014AbstractCredition理论提供了通过将个人数据与样本信息相结合来获得更好估计的工具。我们将可信性理论应用于均匀分布，用于测试预测长期利率的可靠性。监管机构（CRR，2013）在验证交易对手信用风险的内部模型方法时要求进行此类实证练习。主要结果是，当可信度用于定义置信区间时，风险管理者认为样本量有限的测试结果更可靠。引言：对可信性理论的简要回顾经典可信性理论是由Mowbray（1914）在定义保险市场中的均衡时首次引入的。可信性定义为计算变量估计值时应用于单个观测值的权重。计算可信加权估计的基本公式为：=[] +(1 - )[h]其中∈ （0,1）是分配给个体观察的可信度权重，以及（1- ）通常被认为是对从个人观察所属样本中提取的观察值可信度的补充。因此，关键是确定个人观察的可靠性，并借助可信度得出更好的估计。请注意，如果观测数据的主体很大，并且在不同时期之间变化不大，那么将更接近一个周期。另一方面，如果样本包含有限的数据，则将接近于零，并且其他信息将被赋予更多权重。

因此，可信性理论可以成为一种可靠的工具，用于评估在有限样本量下计算的估计值，以及应该为已知信息分配多少可信性。可信性可以通过（i）经典可信性来确定，其中是观测值的预期方差与个体方差的函数，或者（ii）由Bühlmann开发的贝叶斯分析，该分析将当前观测值与先验信息相结合。在经典可信性中，目标是获得一个人需要多少数据才能将100%的可信性分配给个人观察。这一数据量通常被称为完全可信性标准或完全可信性标准。为了确定通常由泊松过程建模的频率的完全可信度，可以使用正态近似来估计观测结果偏离平均值的频率。观测值与总体平均值之差在±1863;以内的概率为：=- ≤ ≤ + ]= -≤- ≤ +其中，假设正态近似的最后一个表达式让我们使用标准正态分布表。值得注意的是，（，）是frequencyprocess的平均值和标准偏差。在频率为的泊松情况下，我们有=；=√以及观测到的频率 在预期数±以内=等于：=-≤- ≤ += -√≤- ≤ +√就单位Φ（）的累积分布而言，其中=我们有：假设一个驾驶员样本及其事故频率。

如果保险公司想要定制保险费，可以通过加权（Z）单个事故频率和平均事故频率（1-Z）来确定单个保险费。Bühlmann可信性估计也称为最佳线性最小二乘拟合贝叶斯可信性如果数据量是完全可信性标准，则=1，否则∈ (0,1)).= Φ√- Φ-√= Φ√- (1 - Φ√)= 2Φ√- 1或等效Φ√=. 表1显示了在标准正态分布的平均值±范围内的概率。表1在平均值±k范围内的概率（正态分布）我们可以通过改变分析目标并将概率视为外生来利用上述方程。事实上，可以计算预期频率的数量() 在±范围内的变化平均值是P() 可以根据前面的公式计算得出：=√这是在我们固定P后，根据正常表确定的。求解() 我们得到：Φ√=1 + =式中，y为Φ（y）=, 和是完全可信的标准。表2显示了频率的完全可信性给定P和k的不同值。表2正态分布的完全可信性标准作为泊松分布的近似值现在，如果我们想知道在95%（P=95%）的条件下，需要多少个观测值才能“确定”具有与实际平均值在±5%范围内的另一个观测值（在我们的示例中是一个频率），则P=95%，y=1.960，Φ（1.960）=97.5%，n==..= 完全可信性标准是一个强大的工具，但有一些限制，因为它取决于以下假设：（i）观测值是频率，（ii）频率由泊松过程驱动，（iii）有足够的观测值使用泊松过程的正态近似。

为了获得更一般的#频率k=10%k=5%k=2.5%k=1%k=0.5%10 24,82%12,56%6,30%2,52%1,26%50 52,05%27,63%14,03%5,64%2,82%100 68,27%38,29%19,74%7,97%3,99%500 97,47%73,64%42,38%17,69%8,90%1000 99,84%88,62%57,08%24,82%12,56%5000 100,00%99,96%92,29%52,05%27,63%10000,00%100,00%98,76%68,27%38,29%#样品k=30%k=20%k=10%k=5%k=1%80,00%18 41 164 65716.42490,00%30 68 271 1.082 27.05595,00%43 96 384 1.537 38.41597,50%56 126 502 2.010 50.23999,00%74 166 663 2.654 66.34999,50%88 197 788 3.152 78.79499,99%168 378 1.514 6.055 151.367方法，Mayerson（1968）在泊松分布不适用时推导出一个通用公式。频率的完全可信度标准为：Φ√=1 + =其中（）; ) 是为样本假设的相应两个分布力矩。Mayersonequation也被用来估计频率的平均大小。假设一个频率的样本独立于平均值为且方差为的分布. 分布的样本平均值可估计为（+ + ··· + )/，样本方差为((∑)/) =()/. 因此，观察到的样本平均值在分布平均值的±范围内的概率为：=[- ≤ ≤ + ]= -√≤- ≤ +√式中，除附加系数（）外，等式与前一等式相同/).根据中心极限定理，样本分布可以近似为大的正态分布。

因此，假设正态分布，以获得观测样本平均值与实际平均值相差小于±的概率P，我们得到=√在求解时，我们得到了从任何分布计算的频率的完全可信性准则== 式中，CV是标准偏差与平均值的比率，是频率大小分布的变异系数，以及是给定概率和范围的完全可信度标准。交易对手信用风险：回溯测试实证案例回溯测试是指将模型的预测与实现值进行定量比较，目标是检测内部模型的潜在弱点估计未来数量，如利率、商品或场外衍生品的市值，用于风险管理目的。CRR（2013）指出，“该机构应使用市场风险因素变动的历史数据进行回溯测试[…]。回溯测试应考虑许多不同的预测时间范围，注意在泊松情况下，在各种初始化日期范围内，并覆盖广泛的市场条件下，额外因素至少减少一年。”（第294 1（a）条）。此外，正如巴塞尔委员会（2010年）所言，“结果的重要性在很大程度上取决于所使用数据的数量和质量”。这就是为什么监管机构鼓励银行使用不重叠的预测间隔收集大量数据集。最后指出，监管机构让银行选择适当的方法进行汇总，然后验证预测的总体质量。使用非重叠数据集的主要结果是，任何用于判断预测时间范围高于一年的质量的测试，对于十年的非重叠日期，其观测值将少于十个。

长期范围内的回溯测试数据集在样本规模上具有内在的局限性，因为模型参数的校准时间至少为三年（按照CRR第292（2）条的要求），并且一些风险因素，如利率、外汇和货币，限制了可用市场数据历史的长度（即1999年1月4日开始的美元外汇）。在这项工作中，我们将可信度理论应用于回溯测试中使用的测试结果，以便在样本有限的情况下定量评估这些结果的可靠性。我们关注统一性测试，如科尔莫戈罗夫·斯米尔诺夫（1948）、贾克·布雷拉（Jarque Brera）或克莱默·冯·米塞斯（Cramer von Mises）（1962）或安德森·达林（Anderson Darling）（1954），因为它们是银行的市场实践。这是因为，在每个模拟日期，将化值与预测分布进行比较，然后将其转换为分位数。通过均匀性检验，用均匀分布检验分位数的时间序列。主要问题是具有5到10个观察值的统一测试的可靠性。先验而言，结果的重要性很低，但根据监管机构的要求，必须考虑可靠性。表3显示了2002年1月至2013年6月期间，采用标准利率模型（即CIR或Black Karasinski）建模的欧元利率曲线的Anderson-Darling统一检验值。表3欧元利率曲线2002年1月至2013年6月长期期限的结果显示样本非常有限，因为一年的时间期限有十一个观察值，而两年只有五个观察值。因此，主要问题是考虑到模型预测的质量，将通过它们来评估这些长期视野的PV值的可靠性。可信度理论可以应用于回溯测试的结果。

以下方程式显示了假设均匀连续分布而非正态近似的完全可信性准则（见表1）。区间（0,1）上的连续均匀分布有以下两个矩：=+=，=(- )=其中a=1，b=0。应用之前的公式得出托里斯克因子利息率2w 1m 3m 6m 1y 18m 2y 2w 1m 3m 6m 1y 18m 2yZEROEUR 0,2%3,3%2,0%9,9%4,6%1,6%2,4%137 136 45 22 11 6 Zeroeur-06M 11,0%0,5%9,4%2,4%9,0,4%0,8%137 136 45 22 11 6 Zeroeur-12M 3,4%3%2,7%1,7%6,4%0,9%1,2%137 45 22 11 6零欧元-24M 6,9%0,5%2,0%1,5%9,7%9,5%12,5%137 136 45 22 11 6零欧元-03Y 4,4%0,4%1,7%1,4%8,7%11,8%11,2%137 136 45 22 11 6 5ZEROEUR-05Y 4,3%1,3%2,5%9,0%12,4%12,2%137 136 45 22 11 6 5ZEROEUR-10Y 4,2%0,7%1,3,1%8,4%7,1%8,5%137 136 45 22 11 6 5ZEROEUR-15Y 6,0%2,8%4,4%11,0%16,4%9,3%10,4%136 45 22 11 6 Zeroeur-20Y 10,4%4,4%7,3%16,2%27,6%11,0%14,8%137 136 45 22 11 6 Zeroeur-30Y 5,5%9,3%12,9%10,6%37,0%7,6%18,8%137 136 45 11 65ZEROEUR-50Y 12,3%7,3%23,8%2,4%35,8%4,9%28,4%137 136 45 22 11 5时间范围样本的时间范围值=√= √√= √3由此，我们从分布平均值P=Φ中得出观测统计值在±范围内的概率√3- Φ-√3= Φ√3- (1 - Φ√3)= 2Φ√3- 表4在平均值±k范围内的概率（均匀分布）然后可以求解，以获得从均匀分布中提取的频率的完全可信性标准：== =其中是依赖于的完全可信度. 表5报告了P和k不同值的。

例如，我们可以推断，从N=6个数据样本计算出的任何平均值估计都有80%的概率在实际平均值±30%的范围内，而对于P=90%和k=10%，具有100%可信度的样本必须有90个观察值。表5均匀分布的完全可信性标准完全可信性标准让我们将定量可信性权重定义为真实样本大小与完全可信性标准的比率：=表6显示了6个月、1年、18个月和2年时间段的可信度，其中以红色显示的权重高于30%。权重大于100%的解释与权重为100%的解释相同。常见的选择是=90%和= 10%. 因此，#频率k=10%k=5%k=2.5%k=1%k=0.5%10 41,61%21,58%10,89%4,37%2,18%50 77,93%45,97%24,05%9,75%4,88%100 91,67%61,35%33,50%13,75%6,90%500 99,99%94,72%66,71%30,15,35%1000,00%99,38%82,91%41,61%21,58%5000,00,00,00%99,78%77,93%45,97%10000 100,00%100,00%100,00%91,67%61,35%#样本k=30%k=20%k=10%k=5%k=1%80,00%6 14 55 2195.47585,00%8 17 69 276 6.90890,00%10 23 90 361 9.01895,00%14 32 128 512 12.80597,50%19 42 167 670 16.74699,00%25 55 221 885 22.11699,99%56 126 505 2.018 50.456P时间范围的值6个月为24%，1年为12%，18个月和2年为2%和1%。表6 6M、1Y、18M和2Y时间段的可信度此外，我们可以使用这些权重构建置信区间，因为我们知道它们来自概率分布，它们是可以解释为置信系数的概率。

具体而言，我们有：Prob（a≤ f（θ，X, … , X）≤ （b）≥ Z其中Z是表6中所示的权重，假设大于100%的权重等于100%，θ是表3中所示的pV值。均匀分布（0,1）的好处是累积密度函数等于概率密度函数，因此可以很容易地获得置信区间：IC=p值*（±Z）表7显示了针对较低置信区间调整的Pv值。我们使用表3中的PV值固定表6中P=90%和k=5%的概率。