信用风险模型风险

换句话说，对于不相关的投资组合，参数α可以解释为违约概率的（简单函数）。附录B给出了这一结果的证明。由于二项分布对应于独立的默认值，因此它具有直观的意义。当没有任何关于经验相关性的信息时，最大熵原理会选择它。5.2. 在前一小节中，我们看到了{αi：=αi=1，2，…，N}和{βij=0的丛林模型，（i，j）∈ φ} ，成为二项分布。然后，信用工具的违约概率变为α（的简单函数）。我们可能会问自己，将βij（一个小的β只对一对节点，比如说12，对于任何其他对节点ij不同于12）的最小数量添加到对应于二项分布的丛林模型（只有α）中，会对投资组合产生什么影响，或者换句话说，我们有兴趣围绕二项模型进行微扰扩展，为了找出βij的影响，即看看βij是否可以根据经验参数p和ρ进行解释，对于二项分布，我们可以将α解释为基础p的（简单函数）。该投资组合损失的相应概率分布为：12月2日，2015 MV19˙续˙20150923Pβ（l，l，···，lN）=ZexpαNXi=1li+βll！（14） 我们的问题的答案是ρβ与β成正比，对于较小的β和给定的违约概率，如附录C所示。换句话说，当少量的传染性增加到不相关的信贷组合中时，违约相关性增加（从0开始）。

而增长速度与β成正比，因此对于小规模的传染，系数β可以解释为违约相关性的简单函数，就像对于无传染，α可以解释为违约概率的简单函数一样。同样，我们可以通过对称性看到pβ=pβ。但pβ>pβ=0，增加与β成比例。相反，pβj=pβ=0j，j=3，···，N，因为节点j=3，···，N不受传染的影响。换言之，当加入某种传染时，α不再是p的（简单函数），因为α和β之间存在“混合”，以及它们与p和ρ的关系。我们想强调的是，上述模型并不对应于违约概率已知且彼此相等的信贷组合，{pi=：p | i=1，2，…，N}，并且默认相关性仅为节点12对已知，对于ij 6=12，β=：β和βij=0。如上所述，模型的违约概率如下所述：Pβ（l，l，···，lN）=ZexpαNXi=1li+βll！（15） 并非所有节点都是一样的：具有传染链（如l）的信贷工具，相对于没有传染链（如l）的节点，其违约概率会增加。满足经验条件的概率分布，使得违约概率已知且彼此相等，{pi=：p | i=1，2，…，N}默认相关性仅为节点对12已知，β=：β和βij=0，因为ij 6=12是：pβ（l，l，···，lN）=Zexpα（l+l）+αNXi=3li+βll！（16） 式中，α满足约束hliβ=hliβ=p，不同于满足约束hliβ=··hlNiβ=p所需的α。

对于这种情况，对于较小的β，对12的默认相关性与β成正比也是事实。在模型同时包含α和βij的一般丛林情况下：P（l，l，…，lN）=Zexpxi∈θαili+X（i，j）∈φβijlilj（17） α是违约概率的（简单函数），β是违约相关性的（简单函数）：对于一般的丛林案例，α和β以及它们与p和ρ的关系之间存在“混合”。2015年12月2日MV19（续）201509235.3。蒲公英模型蒲公英模型对应于一个有N+1个借款人的丛林模型，第一个借款人被定义为i=0，被认为是蒲公英的中心，在蒲公英的外表面与所有剩余借款人“连接”，因此i=1，2，···，N时，β0i=：β6=0。任何其他借款人保持不连接，i=1，2，····，N时，βij=0，N&j>i。为简单起见，我们假设αi=：α，对于i=1，2，···，N。蒲公英模型的概率分布为：P（l，l。

，lN）=Zexpαl+αNXi=1li+βNXi=1lli！（18） 蒲公英模型尽管相互作用，但可以完全求解，其损失的概率分布为：P（`=NXi=1li）=ZN个`（exp（α`）+exp（α+`（α+β）））（19）其中Z由以下公式给出：Z=（1+eα）N+eα（1+eα+β）N（20），并且α、α和β作为经验数据的函数明确给出，p，pandρ：α=（N- 1） 日志1.- 聚丙烯+ N日志p- 第一季度- p- p+q（21）α=对数p- 第一季度- p- p+q（22）β=对数qp公司- 第一季度- p- p+qp- q（23）其中q可从违约相关性的定义中得出：ρ=q- pppp（1- p） pp（1- p） （24）证据可在附录D中找到。为了提供蒲公英模型的直觉，我们计算了一组合理参数的概率分布，N=800，p=p=2.8%，这与全球投机等级债券的历史违约率平均值相对应，根据（穆迪投资者服务2011），以及给定范围的可能违约相关性。结果如图4所示：图表中的概率分布显示出“双峰”模式：一方面，一个峰值，以低损失为中心，与二项分布的相应峰值没有什么不同。另一方面，较小但不明显的第二个峰值，对应于高水平的损失，并与传染引起的雪崩/多米诺骨牌效应相一致。2015年12月2日MV19˙cont˙20150923N=800 p=0.028 p0=0.028 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 20 40 60 80 100损失概率损失（%）ρ=0.00ρ=0.01ρ=0.02ρ=0.04ρ=0.08ρ=0.16ρ=0.32 0 0 0 0.0005 0.001 0.0015 0 5 0 5 10 15 20 30 35 0.08 0.09 0.1图4。蒲公英模型损失的概率分布，对应于不同的违约相关性违约相关性越高，极端损失越高（第二个峰值在图表上进一步向右移动）。

此外，违约相关性越高，首峰损失越低。传染是双向的：违约导致更多违约（相对于二项式案例），非违约导致更多非违约（相对于二项式案例）。从图表中的两个插图可以更具体地看到这两种影响。此外，违约相关性越高，风险价值和预期缺口就越高。下表（99%置信水平）举例说明了这两种风险度量与相应违约相关性的相关性。ρVaR ES0.00 0.041 0.0440.01 0.043 0.0460.02 0.049 0.0550.04 0.069 0.0760.08 0.109 0.1170.16 0.188 0.1980.32 0.344 0.356蒲公英模型可以理解为宏观经济风险因素和传染之间的桥梁。具体而言，在附录D中蒲公英模型的推导过程中，产生了以下方程式：p=（1- p） p（α）+pp（α+β）（25），其中p（α）=1+e-α（26）2015年12月2日MV19˙cont˙20150923对应于二项式（非相互作用）情况下描述的p和α之间的关系。因此，蒲公英的中心节点可以被解释为内生性地产生了“宏观经济状态”，在一小部分时间内，1- p经济保持在“良好”的经济状态，其组成部分的违约概率由p（α）=1+e决定-α、 在p给出的一小部分时间内，经济仍处于“糟糕”的经济状态，其组成部分的违约概率为p（α+β）=1+e-（α+β），其中p（α+β）>p（α），差异由“传染因子”β解释。换句话说，蒲公英模型内生性地生成了一种二元模型的混合物，能够生成双峰分布和违约聚类。5.4.

钻石模型钻石模型定义为：Z=Xl，l，。。。，lNexp公司αNXi=1li+βXi>jlilj（27）钻石模型描述了一组相互作用的积分。例如，ifN=4，节点1可以是银行，节点2可以是水泥生产商，节点3可以是房地产开发商，节点4可以是汽车经销商。水泥生产商、房地产开发商和汽车经销商从银行获得资金，因此第12、13和14对之间存在违约相关性。此外，水泥生产商是房地产开发商的供应商，因此这对23也是相关的。

最后，2号和3号公司的员工从汽车经销商处购买汽车，因此2号或3号公司的违约会影响4号公司的业务，也会在24号和34号公司之间产生违约相关性。菱形模型的配分函数为：Z=NX`=0N个`经验值(α -β)` +β`（28）相应的损失概率分布为：P（`=NXi=1li）=N个`经验值(α -β)` +β`Z（29）我们可以将经验数据p和ρ与模型参数α和β联系起来，从以下两个方程可以进行数值反演：p=ZNNX`=0N个`` 经验值(α -β)` +β`（30）q=ZN（N- 1） NX`=0N个``(` - 1） 经验值(α -β)` +β`（31）附录E提供了之前声明的证明。2015年12月2日MV19˙cont˙20150923钻石模型清楚地展示了准相变这一荣格模型中最有趣的现象之一。让我们看看当我们顺利改变违约相关性时，钻石模型的损失概率分布是如何变化的，对于在给定水平上确定的违约概率（参数N=20，p=40%，便于目视检查；下面，我们将提供另一个示例，N=50，p=2.8%）：0 0.06 0.12 0.18 0 20 40 60 80 100概率ρ=0%（二项）0 0 0.06 0.12 0.18 0 20 40 60 80 100ρ=10%0 0.06 0.12 0.18 0.18 0 20 40 60 100概率ρ=20%0 0.06 0.12 0.18 0 20 40 60 80100ρ=25%0.06 0.12 0.18 0 20 40 60 80 100概率损失（%）ρ=30%0.06 0.12 0.18 0 20 40 60 80 100损失（%）ρ=40%图5。

准相位转换点以下、周围和上方违约相关性的损失概率分布我们可以看到，当我们在这些违约相关性之间的某个点将ρ从10%平稳更改为20%至30%时，损失概率分布的集体行为会发生突然变化：2015年12月2日MV19˙cont˙20150923违约相关性在10%左右或以下，Diamond模型呈现了一种标准行为，损失以预期值（40%）周围的给定宽度扩散。然而，当默认相关性仅略微增加（比如说增加到25%）时，损失概率分布的不同行为开始出现：损失的概率分布变成双峰分布，如图5所示。默认相关性增加越多，右侧第二个峰值的潜在损失越大。另一个数字示例，这次N=50，p=2.8%（穆迪投资者服务2011）样本中特殊等级债券的平均违约率显示了准相位转换如何显著改变损失概率分布的风险比例，考虑到确定投资组合的经验值的微小变化（违约概率，尤其是违约相关性）：0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 25 50 75 100累积损失概率ρ=2%VaR=15%0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 25 50 75 100ρ=3%VaR=18%0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 25 50 75 100累积损失概率损失（%）ρ=4%VaR=90%0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 25 50 75100损失（%）ρ=5%VaR=94%图6。

违约相关性的累积概率损失分布在准相位转换点以下、周围和上方。从图6中，我们可以看到，在99.9%置信度水平下，如果违约相关性略有增加，风险值会突然跳跃。当模型参数α和β发生变化时，经验变量（违约概率和违约相关性）如何变化，也可以分析上述现象，如图7所示。尽管事实上，对于一个有限的N，不可能有（完全不连续的）相变，但从上面的图中，我们可以看到在模型参数空间中清晰可见的对角线中，存在一种尖锐的、几乎不连续的行为。通过类比，我们将其命名为“准相位”。这是对“相变”概念使用的解释，借用自统计力学。相位转换是指给定变量的突然跳跃，由另一个基础变量的微小变化引起。然而，准相变并不是统计力学中正确定义的相变。例如，物理上等同于丛林模型的Isingmodel的相变不可能在有限的N中发生，在本文中，我们假设N始终是有限的。2015年12月2日MV19˙续˙20150923过渡“到该现象。在凝聚态物理文献中，这样一条以所谓的“临界点”结尾的线的存在是众所周知的。由于经验参数、违约概率和违约相关性以及模型参数α和β之间存在已知关系，分析师可以使用经验参数或模型参数来描述模型的行为。

模型参数在分析此类系统的行为时往往更有用，因为从图7中观察到，经验参数的微小变化总是导致模型参数的微小变化，但相反的情况显然不是这样（在准相变线处）：-10-8.-6.-4.-2 00.05 0.10 0.15 0.20αβ0.00.20.40.60.81.00.1  0.2  0.3  0.4  0.5  0.6  0.7  0.8  0.9-10-8.-6.-4.-2 00.05 0.10 0.15 0.20αβ0.00.20.40.60.81.00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9图7。一组给定模型的违约概率和违约相关性（标准化为0到1之间的值）参数，α和β，N=80。此外，任何信贷组合都是由潜在的基本经济因素（宏观经济和微观经济）驱动的。因此，我们可以理解由此类模型描述的acredit投资组合在时间上的演变，即当基础、基本经济因素发生变化时，模型参数的平稳变化。