多方程组中常见断点的检验

欲了解框架的一般性，请参见Qu和Perron（2007）。接下来，我们考虑一个纯结构变化模型，该模型考虑了中断日期在基本参数中不一定常见的可能性。在具有p×1系数向量的方程系统中，我们可以为每个系数指定一个从1到p的指数，然后将p指数分组为不相交的子集G，游戏打得好 {1，…，p}其中G代表组的总数，因此由gg元素索引的系数共享每个组的相同破裂日期G=1，G和∪Gg=1Gg={1，…，p}。给定集合{Gg}Gg=1，我们定义（g，j）∈ {1，…，G}×{1，…，m+1}，βgj：=Xl∈Ggel公司o βj.（4）在不丧失一般性的情况下，我们假设协方差矩阵的元素∑jhavebreak日期与最后一组G中的元素相同。如果没有回归系数，则涉及平稳和积分变量的模型的一个示例是估计协整向量的动态普通最小二乘法（例如Saikkonen，1991；Stock和Watson，1993）。与协方差矩阵∑j的元素同时变化，则gg只是一个空集。在这里，我们引入了一组基本参数，以适应在我们的框架下广泛的经验应用。有时，研究人员有兴趣的经济模型或经验知识，表明特定的参数组具有共同点。即使没有形成参数组的知识，我们的分析也可以通过将所有基本参数视为单独的组来应用。为了表示区域j和组g的中断日期，我们使用kgjfor（g，j）∈ {1，…，G}×{1，…，m}对于任何G=1，…，kg0=0和kg，m+1=T的约定，G、 此外，将中断日期集合定义为，K：={K，…，KG}，对于G=1，…，KG：=（kg1，…，kgm）。

，G.回归模型可以表示为一个依赖于随时间变化的基本参数的模型，根据集合K：yt=XtTβt，K+ut，（5）其中βt，K：=PGg=1βG，t，Kand E[utut]=σt，kw，其中βG，t，K：=βgj，对于kg，j-1+ 1 ≤ t型≤ kgjand∑t，K：=对于kG，j∑j-1+ 1 ≤ t型≤ kGj，（6）表示（g，j）∈ {1，…，G}×{1，…，m+1}。我们还使用θt，K：=（βt，K，∑t，K）来表示随时间变化的基本参数，这取决于中断日期K的集合。因此，可以对系统（5）施加限制（3），以便在具有常见中断的模型中容纳具有结构中断的更一般模型。在模型（5）中，基本参数、中断日期和中断次数未知，必须进行估计。要选择结构更改的总数，我们可以应用现有的顺序测试程序或信息标准。例如，如果在零假设和替代假设下，每个方程中的断点都是常见的，但可能会改变交叉方程（见下面的示例1），Bai和Perron（1998）提出的顺序测试程序可用于选择系统每个方程中的结构变化数量（有关此类顺序程序的统计特性的讨论，请参见Bai和Perron，1998，第65页）。以类似的方式，Qu和Perron（2007）中的顺序测试程序可以分别应用于系统的方程组。为了处理更复杂的情况，我们也可以使用贝叶斯信息准则或最小描述长度原则，如Kurozumi和Tuvaandroj（2011）、Lee（2000）和Aue，我们假设误差协方差矩阵的不同元素同时变化。结果可以扩展到不同参数具有不同中断日期的情况，尽管需要额外的符号。

为了符号的简单性，我们只考虑在协方差矩阵的所有元素中中断日期是公共的情况。Lee（2011）。由于我们使用了似然框架，因此可以使用遗传算法计算具有相关惩罚的似然函数（例如，见Davis，1991），遗传算法可以始终如一地选择结构断裂的数量，如Lee（2000）和Aue-andLee（2011）。因此，我们接下来的分析侧重于未知的基本参数和中断日期，给出了结构变化的总数。我们使用0上标来表示（2）和（5）中参数的真值。因此，（2）中的真实基本参数和中断日期分别用{（βj，∑j）}m+1j=1和{Tj}mj=1表示，约定为T=0和Tm+1=T，而（5）中的其他参数用{β1j，…，βGj，∑j}m+1j=1和Kg表示：=（kg1，…，kgm），其中kg0和Kg，m+1=T表示g=1，G、 也让K：={K，…，KG}。给定一组中断日期sk，设θt，K：=（βt，K，∑t，K），上标0表示时变真实基本参数θ，其中θ：=（θ，…，θm+1），θj：=（βj，∑j），对于j=1。

，m+1.2.2拟似然框架下的估计与检验我们考虑了模型（5）的拟极大似然估计方法，模型（3）给出了限制条件。给定中断日期K和基本参数θ的集合，高斯拟似然函数定义为lt（K，θ）：=TYt=1f（yt | XtT，θt，K），其中f（yt | XtT，θt，K）：=（2π）n/2∑t，K | 1/2exp-Σ-1/2t，K（yt- XtTβt，K）.为了获得最大似然估计量，我们对修剪参数ν>0的容许划分集施加限制，如下所示：ν：=nK：min1≤g级≤Gmin1≤j≤m+1（kgj- 千克，j-1) ≥ Tνo。这组允许的划分确保了在同一组Kg内的任何中断日期之间有足够的观察值，同时它考虑了不同组的中断日期不被样本量的正分数分隔的可能性。我们提出了一个准似然框架下的常见断裂测试。模型（2）中常见断裂的零假设可以表述为：对于所有g，g，Kg=Kg∈ {1，…，G}，（7）我们的框架通过将协方差矩阵设置为恒等矩阵，包括基于OLS的估计。对于渐近分析，修剪值ν可以是任意的小常数，使得样本量Tν的正分数以速率T发散。另一种假设isH:Kg6=kgg对于某些g，g∈ {1，…，G}。（8） 零假设下的允许划分集可以表示为Ξν，H：={K∈ ν：K=···=KG}。所考虑的测试是简单的准似然比测试，它比较有和没有常见中断限制的似然函数的值。

零假设下的拟最大似然估计，用（eK，eθ）表示，可以从以下具有受限候选中断日期集的最大化问题中获得：（eK，eθ）：=arg max（K，θ）∈Ξν，H×Θlog LT（K，θ）s.t.R（θ）=0，其中eK：=（eK，…，eKG），eKG：=（eK，…，ekm）对于所有g=1，G、 eθ：=（eβ，e∑），其中eβ：=（eβ，…，eβm+1）和e∑：=（e∑，…，e∑m+1）。此外，备选方案下的拟最大似然估计值由以下问题得出：（K，θ）：=arg max（K，θ）∈Ξν×Θlog LT（K，θ）s.t.R（θ）=0，（9）其中^K：=（^K，…，^KG），对于g=1，…，^KG：=（^kg1，…，^kgm），G、 ^θ：=（^β，^∑）带^β：=（^β，…，^βm+1）和∑：=（^∑，…，^∑m+1）。使用估计值^θ，我们可以确定（4）中的^βgjas和（6）中的^θt，K：=（^βt，K，^∑t，K），给出了一组中断日期K。我们确定了常见中断asCBT的准似然比检验：=2{log LT（^K，^θ）-对数LT（eK，eθ）}。对于渐近分析，使用在真参数（K，θ）下计算的对数似然函数进行归一化是有用的，我们认为Cbt=2{`T（^K，^θ）-`T（eK，eθ）}，其中\'T（K，θ）：=对数LT（K，θ）-任何（K，θ）的对数LT（K，θ）∈ Ξν×Θ. 共同断裂试验CBTdepends基于两个对数可能性，有共同断裂假设和无共同断裂假设。无效假设下的中断日期估计sek需要具有公共位置或由样本量的正分数分隔。然而，在没有常见的中断限制的情况下，中断日期估计值^K只允许是不同的，但不一定由组间样本量的正分数分隔。这一点很重要，因为Bai（2000）和Qu及Perron（2007）的建立要求最大化处理渐近不同的元素，并且他们对估计收敛速度的证明依赖于这一前提。

因此，我们需要在这个限制性较小的最大化问题下提供收敛率的详细证明（见第3节）。2.3示例鉴于符号相当复杂，可通过示例说明前一小节中解释的框架。示例1（截距变化）：我们考虑截距结构变化的双方程自回归系统，对于j=1，2，y1t=u1j+αy1，t-1+U1和y2t=u2j+αy2，t-1+u2t，用于Tj-1+ 1 ≤ t型≤ Tj，其中（u1t，u2t）具有协方差矩阵∑。在该模型中，除截距外的基本参数均假定为常数，截距在公共中断日期T发生变化。在方程（1）中，我们得到xtT=（1，y1，T-1、y2、t-1） ，βj=（u1j，α1j，u2j，α2j）和E[utut]=σj。选择矩阵S=<sij>是一个6×4矩阵，在条目S、S、sandsand 0处取值1。同样，通过设置R（θ）=α-α, α-α、 vec（∑）-vec（∑）= 0在（3）中，我们对基本参数施加限制，以便在自回归参数和误差协方差矩阵没有变化的情况下考虑部分结构变化模型。另一方面，当我们允许中断日期可能与模型（5）中的两个方程不同时，我们考虑以下系统，对于j=1，2，y1t=u1j+αy1，t-1+u1t，用于k1，j-1+ 1 ≤ t型≤ k1j，y2t=u2j+αy2，t-1+u2t，用于k2，j-1+ 1 ≤ t型≤ k2j。这里，我们将βjintoβ1j=（u1j，α1j，0，0）和β2j=（0，0，u2j，α2j）分开，以便我们可以设置G={1，2}和G={3，4}。对于参数群{β1j}j=1和{（β2j，∑j）}j=1，我们分别有两个可能不同的中断日期和k。

我们解决了检验无效假设H:k=kag而非替代假设H:k6=k的问题。示例2（单方程模型）：考虑单方程模型：y1t=u+αjz1，t+γj（t/t）+ρjT-1/2w1t+u1t，用于Tj-1+ 1 ≤ t型≤ j=1、2、3的tj，其中u1表示误差项，E[u1t]=0，E[u1t]=σj。在本例中，截距以外的基本参数有两种结构变化。在具有中断日期和T的模型（2）下，我们有xtT=（1，z1t，T/T，T-1/2w1t），S=I，βj=（uj，αj，γj，ρj）。形式（3）的限制由函数R（θ）=（u）施加- u, u- u)= 0. 我们考虑对所有系数在不同的中断日期发生变化，而系数ρjan和方差σj在相同的中断日期发生变化的替代方案进行公共中断测试。在这种情况下，我们将βjinto分离为三个向量β1j=（uj，αj，0，0），β2j=（0，0，γj，0）和β3j=（0，0，0，ρj）。对于这些参数组，我们为g=1，…，分配一组中断日期Kg=（kg1，kg2），我们设置G={1，2}，G={3}和G={4}。最后一组K的休息日期也是方差的一个。这个例子表明，我们的框架不仅可以跨系统中的方程，而且可以在方程中容纳公共断点。3渐近结果本节给出了相关的渐近结果。我们首先提供了中断日期和基本参数估计值的收敛速度，考虑到不同基本参数的中断日期可能不会渐近不同。与现有文献中通常假设的条件相比，该条件的限制性要小得多，尤其包括作为特例的常见休息假设。接下来，我们给出了在零假设下常见断裂准似然比检验的极限分布。

最后，我们提供了在非执行替代和局部替代条件下检验的渐近幂分析。我们的结果显示了非平凡的渐近幂。3.1估计值的收敛速度。我们考虑这样一种情况，即我们使用模型（5）生成的观测值{（yt，xtT）}Tt=1以及真实参数值集合（K，θ），获得（9）中的准似然估计（^K，θ）。由于这是所采用设置的特例，因此本小节中给出的结果可适用于在零假设下从模型中获得的估计。为了获得渐近结果，需要进行以下假设。假设：A1。存在一个常数k>0，使得对于所有k>k，矩阵k的最小特征值-1Ps+kt=sxttxtare每s=1，…，从零开始有界，T- k、 A2。定义西格玛代数Ft：=σ（{zs，uws，ηs}s≤t） 对于t∈ Z、 式中ηs：=（σs，K）-1/2美国。（a） 定义ζt：=（zt，uwt），并让zt包括一个常数项。序列{ζt ηt，Ft}t∈Z形成一个大小为的强混合（α-混合）序列-（4+δ）/某些δ的δ∈ （0，1/2）和满意度 ηt]=0和supt∈Zkζt ηtk4+δ<∞. （b） 还假设{ηtηt- 单位：}t∈Z与（a）中的混合和力矩条件相同。（c） 序列{wηt}t∈Zforms a strong mixing sequence as in（a）with supt∈Zkw公司ηtk4+δ<∞ 初始条件为F-可测。A3、真实休息日期的收集Kis包含在《基本法》和《基本法》中=Tλgj对于每（g，j）∈ {1，…，G}×{1，…，m}，其中0<λg1<·····<λgm<1。对于每个参数组g和区域j，存在一个p×1向量δgj和一个n×nmatrixΦjsuch，βg，j+1-βgj=vTδgj和∑j+1-∑j=vTΦj，其中δgj和Φjare均独立于T，且vT>0是满足vT的标量→ 0和√T vT/日志T→ ∞ asT公司→ ∞. 设δj：=PGg=1δgj，对于j=1，m+1。A5。

真基本参数（β，∑）属于紧参数空间Θ：=nθ：max1≤j≤m+1kβjk≤ c、 c类≤ 最小1≤j≤m+1λmin（∑j），max1≤j≤m+1λmax（∑j）≤ co，对于某些常数c<∞, 0<c≤ c<∞, 其中λmin（·）和λmax（·）分别表示矩阵在其参数中的最小和最大特征值。假设A1确保不存在局部共线问题，因此，如果某个子样本中的观测数大于k，则标准可逆性要求成立，而不取决于T。假设A2确定{ζt的依赖结构 ηt}，{ηtηt- In}和{w ηt}以保证它们是短内存进程，并且具有有界的四阶矩。这些假设是为了得到一个泛函中心极限定理和一个广义的H'ajek和R'enyi（1955）型不等式，该不等式允许导出相关的收敛速度。假设A2还规定，平稳回归系数与误差同时不相关，且zt中包含常数项。前者是获得一致估计的标准要求，后者是为了符号简单，因为下面报告的结果是相同的，没有恒定项。需要注意的是，没有对创新与I（1）回归器和误差之间的相关性进行任何假设。因此，我们允许内生（1）回归。假设A3确保λgj-λg，j-1> ν适用于每对群andregime（g，j），因此意味着每个参数组内的渐近不同断裂，但不一定跨组。

假设A4暗示了一个收缩位移渐近框架，即位移的大小随着样本量的增加而收敛到零。这一条件对于发展极限分布理论来估计中断日期是必要的，该理论不依赖于文献中常用的回归系数和误差的精确分布（例如，Bai，1997；Bai和Perron，1998；Bai等人，1998）。假设A5意味着数据由一个具有有限条件均值的模型和具有非退化协方差矩阵的创新生成。即使在平稳回归与误差之间存在相关性的情况下，也可以使用通常的普通最小二乘框架来简单地估计中断日期并测试结构变化（Seeerron和Yamamoto，2015）。如果相关仪器变量可用，也可以使用两阶段最小二乘法（见Hall et al.，2012；Perron and Yamamoto，2014）。当zt中不包括常数项时，与假设A2相反，还需要假设序列{ηt}t∈Z与假设A2（a）中的混合和力矩条件相同。如上所述，中断日期是从一个集合Ξν估计的，该集合要求候选中断日期仅在参数组内由样本量的一部分分隔。因此，我们无法引用Bai（2000）和Qu and Perron（2007）关于估计收敛速度的结果，需要更一般的结果。下面的定理给出了估计的收敛速度的结果。定理1。假设假设A1-A5成立。