多方程组中常见断点的检验

统计与概率字母78（16），2768–2775。山本，Y.，田中，S.，2015年。常见断裂条件下的因子载荷结构变化测试。《计量经济学杂志》189（1），187–206。附录在整个附录中，我们使用C，C，C。表示一般正常数，无需进一步澄清。此外，我们使用diag（·）来表示生成平方对角矩阵的运算符，其对角线条目等于其输入。证明中的关键要素是强近似定理（SAT）、泛函中心极限定理（FCLT）和广义Hajek-Renyi不等式。我们首先陈述两个技术引理。引理A.1。设{t}t∈Zbe满足假设A2和A7的零均值、Rd值随机向量序列。定义Sk（`）=P`+kt=`+1t，然后，（a）（SAT）k的协方差矩阵-1/2秒（`），Ohmk、 收敛，极限表示为Ohm, 存在布朗运动（W（t））t≥0具有协方差矩阵Ohm 使Pti=1i-W（t）=Oa。s（t1/2-κ） 对于某些κ>0；（b） （FCLT）T-1/2P[T r]T=1T=> Ohm1/2瓦*（r） ，其中W*（r） 是独立维纳过程的Rd值向量，并且“=>” 表示Skorohod拓扑下的弱收敛。上述引理在Qu和Perron（2007）的引理A.1中得到了证明，他们使用了Eberlein（1986）中的定理2以及Corradi（1999）的论点。下面的引理是Hajek-Renyi不等式的推广。引理A.2。假设假设A1、A2和A5成立。设{bk}k∈Nbe一个正的非递增常数序列，并让{ξtT}表示{XtT∑-1t，Kut}或{ηtηt-在}。然后，对于任何B>0和任何k，k∈ N，k<k，Pr高级大床房≤k≤kkbk公司kXt=1ξtT> B≤CB公司kbk+kXk=k+1（kbk）.证据

如果我们证明{XtT∑，则证明该断言-1t，Kut}和{ηtηt-In}满足Bai和Perron（1998）引理A6中的Lmixingale条件，这表明了L-混合序列的HajeK-renyi不等式。我们只考虑{XtT∑-1t，Kut}因为{ηtηt- In}类似，实际上更简单。我们使用符号Et（·）：=E（·| Ft）fort∈ Z、 我们可以写XtT∑-1t，Kut=S（IqΣ-1t，K（∑t，K）1/2）（xtTηt），其中kS（IqΣ-1t，K（∑t，K）1/2）K≤C根据假设A5和术语（xtTηt）是Ft可测量的。因此，必须证明存在非负常数{ψj}j≥0这样，对于所有≥ 1和j≥ 0,Et公司-jxtT公司 ηt- ExtT公司 ηt≤ Cψj，（A.1）以及ψj→ 0作为j→ ∞ andP公司∞j=1j1+θψj<∞ 对于某些θ>0。为了显示（A.1），我们编写了xtT ηt=zt公司 ηt，Д（t/t） ηt，t-1/2重量 ηt观察E[zt ηt]=0和E[ηt]=0。根据Minkowski的不等式Et公司-j（xtT ηt）-E（xtT ηt）≤Et公司-j（zt ηt）+^1（吨/吨）Et公司-j（ηt）+T-1/2Et公司-j（重量 ηt）-E（重量 ηt）=: Bai和Perron（1998）的A+A+A引理A6得到了一个具有上确界takenover的Hajek-Renyi不等式[k，∞] 而不是像在这个引理的评估中那个样，上确界占据了一个有限的范围【k，k】。然而，他们的论点可以很容易地扩展到这里所考虑的情况。A-1对于A和A，应用Ibragimov（1962）的混合不等式得出≤ 2(√2 + 1)α1/2-1/φjkzt ηtkφ和A≤ 2(√2 + 1)α1/2-1/φjkηtkφ，（A.2），其中φ：=4+δ，δ在假设A2中定义。对于A项，我们分别考虑两种情况：（i）t<j和（ii）t≥ j、 给定t≥ 1、首先，我们考虑案例（i），即t-j<0。

Wehave wt=w+Pt-1l=0uw，t-l、 Minkowski的不平等意味着√T A公司≤Et公司-j（w ηt）-E（w ηt）+t型-1Xl=0Et公司-juw，t-l ηt- Euw，t-l ηt.自kEt以来-j（V）- E（V）k≤ 基特岛-j（V）k对于随机向量V，应用Jensen\'sinequality和Davidson（1994）的推论14.3（α-混合序列的协方差不等式）得出Et公司-j（w ηt）-E（w ηt）≤w ηt≤ Cα1/2-1/φt，（A.3）和0≤ l≤ t型-1.Et公司-juw，t-l ηt- Euw，t-l ηt≤uw，t-l ηt≤ Cα1/2-1/φl.（A.4）同样，利用Ibragimov（1962）的混合不等式，我们可以证明Et公司-j（w ηt）-E（w ηt）≤ 2(√2 + 1)α1/2-1/φj-t型w ηtφ、 （A.5）和0≤ l≤ t型-1.Et公司-juw，t-l ηt- Euw，t-l ηt≤ 2(√2 + 1)α1/2-1/φj-luw，t-l ηtφ、 （A.6）（A.5）和（A.6）右侧的力矩均以假设A2为界。从（A.3）-（A.6）可以看出，当t<j时，我们有≤ 计算机断层扫描-1/2tXl=0分钟{α1/2-1/φl，α1/2-1/φj-l}≤ Cj1/2α1/2-1/φ[j/2]，（A.7），其中最后一个不等式是由于min{α1/2-1/φl，α1/2-1/φj-l}≤ α1/2-每0个1/φ[j/2]≤ l≤ t和那个t-1/2吨≤ t1/2≤ j1/2对于t<j。接下来，我们考虑情况（ii），即0≤ t型- j、 因为wt=wt-j+Pj-1l=0uw，t-l、 Minkowski的品质导致√T A公司≤wt公司-j Et公司-j（ηt）+j-1Xl=0Et公司-juw，t-l ηt- Euw，t-l ηt. （A.8）利用Cauchy-Schwarz和Ibragimov的混合不等式，我们可以证明wt公司-j Et公司-j（ηt）≤wt公司-jEt公司-j（ηt）≤wt公司-jCα1/2-1/φj.（A.9）此外，我们可以写kwt-jk=Pt-js=1E【uwsuws】+2Pt-j-1k=1Pt-j-ks=1E[uwsuw，s+k]，这与戴维森（1994）的推论14.3最为相似-1kwt-jk公司≤ Ct型-jT+t-j-1Xk=1t-j- kTα1/2-1/φk≤ C、 对于A，我们使用事实k^1（t/t）ηtk=E[（Д（t/t）ηt）（Д（t/t）ηt）]=Д（t/t）Д（t/t）E[ηtηt]，这表示kД（t/t） ηtk≤ Ckηtk。A-2同样，应用案例（i）中使用的相同参数，我们可以显示j-1Xl=0Et公司-j（uw，t-l ηt）-E（uw，t-l ηt）≤ Cj公司-1Xl=0min{α1/2-1/φl，α1/2-1/φj-l} 。

（A.10）结合（A.9）-（A.10）中的结果，我们得出≤ Cα1/2-1/φj+T-1/2jα1/2-1/φ【j/2】≤ Cj1/2α1/2-1/φ【j/2】。因此，从上述方程和（A.7）中，我们得到≤ Cj1/2α1/2-1/φ【j/2】用于每个≥ 1、该结果与（A.2）和（A.8）一起得出Et公司-j（xtT ηt）-E（xtT ηt）≤ Cj1/2α1/2-1/φ【j/2】。我们设置ψj=j1/2α1/2-1/φ[j/2]，它仍然显示P∞j=1j1+θψj<∞ 对于某些θ>0。观察α1/2-1/φ[j/2]=O（j-1.-2Δδ）在假设A2下。因此，对于θ<（1- 2δ）/δ，我们可以证明p∞j=1j1+θψj≤ 人物配对关系∞j=1j-1.-1.-2δδ+θ< ∞. 这就完成了证明。在下面的内容中，我们将使用子区间{[τl]的集合-1+1，τl]}Nl=1，τ=0，τN=T作为间隔的一个分区，根据中断日期K和K的集合，使得真实基本参数及其估计在每个子间隔内都是常数，并且N被设置为此类子间隔的最小数目；也就是说，（βt，K，βt，K，∑t，K，∑t，K）=（βτl，K，βτl，K，∑τl，K）对于τl-1+ 1 ≤ t型≤ τl.对于每个参数组g∈ {1，…，G}，我们类似地考虑一个集合{[τG，l-1+1，τgl]}Ngl=1，τ=0，τNg=T作为给定Kg和Kg区间[1，T]的划分，其中GTH组的真实基本参数及其估计值在每个子区间内都是常数，ngi是此类区间的最小数目。因此，对于τg，l，我们有（βg，t，K，βg，t，K）=（βg，τgl，K，βg，τgl，K）-1+ 1 ≤ t型≤ τG，l的τ压盖（∑t，K，∑t，K）=（τG，l，K，∑τG，l，K）-1+ 1 ≤ t型≤ τG，l，而其他基团的基本参数可能会改变。对于τG，l-1+ 1 ≤ t型≤ τG，l带l∈ {1，…，Ng}，我们定义ψl：=（σt，K）-1/2（∑t，K- ∑t，K）（∑t，K）-1/2，（A.11），其中In+ψl=（τG，l，K）-1/2∑τG，l，K（∑τG，l，K）-1/2. 由于ψ是一个n×n对称矩阵，因此存在一个正交矩阵U，使得UψU=diag{λψl1，…，λψln}和U（In+ψ）U=diag{1+λψl1，…，1+λψln}，其中λψl1。

，λψln是ψl的特征值。在下面的引理中，我们将获得基于子区间的归一化对数似然度的上界。作为简写符号，我们定义为1≤ t型≤ T和1≤ g级≤ Gβt，K：=βt，K- βt，Kandβg，t，K：=βg，t，K- βg，t，K引理A.3。假设假设A1-A5成立。那么，`T（K，θ）≤ CGXg=1NgXl=1‘’g，l（K，θ）+NGXl=1‘’g+1，l（K，θ）+T（K，θ）,A-3其中，对于g=1，G和l=1，Ng，\'\'g，l（K，θ）：=τglXt=τg，l-1+1XtT∑-1t，Kut- （τgl- τg，l-1)βg，τgl，Kβg，τgl，K,\'\'G+1，l（K，θ）：=nXi=1τGlXt=τG，l-1+1（ηtηt- 英寸）- （τGl- τG，l-1） |λψil||λψil |，T（K，θ）：=最大值1≤t型≤Tk公司βt，Kk。证据我们可以写日志f（yt | XtT，θt，K）=-(1/2)log（2π）n+log |∑t，K |+K∑-1/2t，K（ut-XtT公司βt，K）K,这意味着\'T（K，θ）=-TXt=1日志∑t，K- 日志∑t，K+Σ-1/2吨，Kut-（σt，K）-1/2 UT+TXt=1βt，KXtT∑-1t，库特-TXt=1Σ-1/2吨，KXtTβt，K=: A+A+A。对于术语A，我们写日志∑t，K- 日志∑t，K= 日志（σt，K）-1/2∑t，K（∑t，K）-1/2andalso ut=（∑t，K）1/2ηt。由于A仅依赖于KG和KG，因此A=NGXl=1-τGlXt=τG，l-1+1日志In+ψl+ tr公司（英寸+ψl）-1ηtηt- tr公司ηtηt=:NGXl=1A1，l。对于每l=1，NG，我们有日志In+ψl=Pni=1log（1+λψli）和thattr（英寸+ψl）-1ηtηt= tr公司诊断1+λψlini=1UηtηtU,这导致1，l=-τGl- τG，l-1nXi=1log（1+λψli）+tr诊断λψli1+λψlini=1UτGlXt=τG，l-1+1ηtηtU.我们可以证明-对数（1+a）+a/（1+a）≤ -a/（1+a）表示0<a<∞ （例如，见Dragomir，2016）。因此，A1，l≤ -τGl- τG，l-1nXi=1 |λψi | 1+λψli+tr诊断λψli1+λψlini=1UτGlXt=τG，l-1+1（ηtηt- 英寸）U.由于U的对角线元素的最大值PτGlt=τG，l-1+1（ηtηt-英寸）U从上方以kU为界PτGlt=τG，l-1+1（ηtηt- 英寸）英国，kUk=1，我们有A1，l≤nXi=1- （τGl- τG，l-1） |λψli | 1+λψli+|λψli | 1+λψliτGlXt=τG，l-1+1（ηtηt- 英寸）.

（A.12）根据Θ和（A.11）的紧性，我们得到了max1≤我≤n（1+λψli）=kIn+ψlk≤ Cand1+min1≤我≤nλψli=mina∈Rna（In+ψl）aaa≥minb公司∈Rnb∑τGl，Kbbb×米纳∈Rna（∑τGl，K）-1aaa≥ C、 A-4我们有那个C≤ 1+λψli≤ C对于所有i=1，n、 这与（A.12）yieldsA1，l≤ CnXi=1- （τGl- τG，l-1） |λψli |+|λψli|τGlXt=τG，l-1+1（ηtηt- 英寸）.因此≤ CPNGl=1‘‘G+1，l（K，θ）。我们现在考虑A和A。注意βt，K=PGg=1βg，t，K，andA=GXg=1TXt=1βg，t，KXtT∑-1t，Kut。（A.13）同样，给定XtT∑-1t，KXtT=S（xtxtt Σ-1τl，K）S表示τl-1+ 1 ≤ t型≤ τl，我们可以表示a=NXl=1-τlXt=τl-1+1xtxtt Σ-1τl，K1/2秒βτl，K=:NXl=1A3，l。在假设A1下，存在一个有限整数k，其最小特征值为（τl- τl-1)-1Pτlt=τl-1+1xtxttis对每个（τl）严格正- τl-1) ≥ k还应根据假设A5确定∑τl，k的初始值，以Θ为单位。因此，应用min1≤我≤nλi（A）kbk≤ 巴布≤ 最大值1≤我≤nλi（A）kbk对于特征值{λi（A）}ni=1的n×1向量b和n×n对称矩阵A，当τl- τl-1.≥ k、 A3，l≤ -C（τl- τl-1） 堪萨斯州βτl，Kk≤ -C（τl- τl-1） k级βτl，Kk，（A.14），其中最后一个不等式是由于SS是正定义的事实。当τl-τl-1<k，我们有（τl- τl-1） k级βτl，Kk≤ Ck公司βτl，Kk，其中yieldsA3，l≤ 0≤ -C（τl- τl-1） k级βτl，Kk+Ckβτl，Kk。（A.15）从（A.14）和（A.15）可以看出≤ -CPNl=1（τl-τl-1)βτl，K-βτl，K+CT（K，θ）。此外，我们可以证明pnl=1（τl- τl-1)βτl，K=PTt=1βt，K还有那个βt，K=PGg=1βg，t，K因为(βg，t，K）βg，t，K=0，对于所有g，g∈{1，…，G}，其中g6=G。因此，A≤ -CGXg=1TXt=1βg，t，K+ CT（K，θ）。（A.16）对于每个g=1，G、 我们有划分{[τG，l-区间[1，T]的1+1，τgl]}。从，（A.13）和（A.16），A+A≤ C{PGg=1PNgl=1‘\'g，l（K，θ）+T（K，θ）}。因此，结果如下。

基于无结构变化的子样本，我们将建立项{'` g，l（K，θ）}g+1g=1的若干性质。为此，我们考虑了满足引理a.2中Hajek-Renyi不等式成立条件的一些随机向量矩阵的序列{ξt}Tt=1。设γ是一个参数向量或矩阵，作为有界参数空间的元素Γ：={γ：kγk≤ C} 。我们根据无γ结构变化的k观测子样本确定一个物体，即k=1，T，`（0）k（γ）：=kXt=1ξt- kkγkkγk。选择矩阵S的维数为nq×p，具有全列秩，因此对于所有v∈ RPV 6=0。因此，对于所有v，vSSv 6=0∈ Rp，v 6=0，SS正定义。这意味着存在一个常数c>0，使得kSbk≥ 任何b的ckbk∈ Rp.A-5我们现在建立了一系列与似然函数相关的性质，这将使我们能够证明估计的收敛速度。在此处采用的一般性水平下，可以应用Bai et al.（1998）中使用的参数，通过一些修改来证明似然函数的性质。然而，由于这些性质是证明定理的关键因素，我们提供了完整的证明。属性1。sup1≤k≤Tsupγ∈Γ`（0）k（γ）≤ |Op公司日志T|.证据设D>0，定义Γ1，k（D）：={γ∈ G:√kkγk≤ 1的D（对数T）1/2}≤ k≤ T我们可以写`（0）k（γ）=k-1/2kPkt=1ξtk-√kkγk√kkγk每1≤ k≤ T接下来，对于任何1≤ k≤ T，supγ∈Γ\\Γ1，k（D）`（0）k（γ）≤ supγ∈Γ\\Γ1，k（D）√kkXt=1ξt- D（对数T）1/2√kkγk和supγ∈Γ1，k（D）`（0）k（γ）≤√kkXt=1ξtD（对数T）1/2。引理A.2意味着，对于任何B>0，Prsup1≤k≤T√k对数TkXt=1ξt≥ B≤CBlog TTXk=1k。对于足够大的bbecauseptk=1k，上述不等式的右侧变得任意小-1=O（对数T）。

因此，sup1≤k≤Tk公司-1/2kPkt=1ξtk- D（对数T）1/2<0，对于足够大的D，概率接近1，因此SUP1≤k≤Tsupγ∈Γ\\Γ1，k（D）`（0）k（γ）≤ -CDlog T和sup1≤k≤Tsupγ∈Γ1，k（D）`（0）k（γ）≤ CD log T，概率接近1。因此，预期的结论如下。财产2。对于任何D>0，存在一个常数a>0，因此对于任何确定性序列mT≥ 影音-2T，supmT≤k≤Tsupγ：kγk≥DvT`（0）kγ≤ -Op公司（DvT）mT.证据固定D>0。我们有，每1≤ k≤ T，supγ：kγk≥DvTk`（0）k（γ）≤ supγ：kγk≥DvT公司kkXt=1ξt- DvT公司kγk引理A.2得出，对于任何A>0和 > 0，PrsupAv公司-2吨≤k≤TkvT公司kXt=1ξtT> ≤CA+vTTXk=Av-2Tk. （A.17）因为Eptk=Av-2Tk-2=O（Av-2吨）-1., 我们可以证明（A.17）的右侧在A>0的情况下变得任意小。自从 可以任意小，存在这样一个thatsupAv-2吨≤k≤Tsupγ：kγk≥DvTk`（0）kγ≤ -C（DvT）。A-6，概率接近1。结果如下，因为-m级-1吨≤ -k-1K时≥ mT。财产3。设Γ（D）：={γ∈ G:√T kγk≤ D} 对于任何D>0。那么，对于任何δ∈ （0，1），（a）存在一个D>0，使得supδT≤k≤Tsupγ∈Γ\\Γ（D）`（0）k（γ）≤ -|Op（D）|，（b）对于任何D>0，supδT≤k≤Tsupγ∈Γ（D）`（0）k（γ）=Op（D）。证据Letδ∈ （0，1）固定。那么，对于每个δT≤ k≤ 对于任何D>0，supγ∈Γ\\Γ（D）`（0）k（γ）≤ supγ∈Γ\\Γ（D）√TkXt=1ξt- δD√T kγk，（A.18）和SUPγ∈Γ（D）|`（0）k（γ）|≤√TkXt=1ξtD、 （A.19）引理A.2表示supδT≤k≤TPkt=1ξt= Op公司(√T）。从（A.18）可以看出，对于某些D>0，supδT≤k≤Tsupγ∈Γ\\Γ（D）`（0）k（γ）≤ -Cd概率接近1，而从（A.19）得出≤k≤Tsupγ∈Γ（D）|`（0）k（γ）|≤ 对于任何D>0的情况，概率接近1的CD。因此，预期结果如下。财产4。对于任意常数M>0和确定性序列bT>0，我们有SUP1≤k≤M v公司-2Tsupγ：kγk≤bT`（0）kγ= Op（M1/2v-1TbT）。证据

我们有sup1≤k≤M v公司-2Tsupγ：kγk≤bT |`（0）kγ| ≤ sup1≤k≤M v公司-2TkPkt=1ξTkbt，对于任何大于0的情况。引理A.2产生sup1≤k≤M v公司-2TkPkt=1ξtk≤ Op公司（毫伏-2T）1/2. 对于τG，l-1+ 1 ≤ t型≤ τGl，我们可以表示kψlk≤ k（∑t，k）-1/2kk∑t，K- ∑t，Kk和k∑t，k- ∑t，Kk≤ k（∑t，k）1/2kkψlk，因为k（∑t，k）1/2k和k（∑t，k）-1/2k有界，kψlk=max1≤我≤n |λψil |，我们有dk∑t，K- ∑t，Kk≤ 最大值1≤我≤n |λψil |≤ dk∑t，K- ∑t，Kk，对于某些常数d，d>0。当我们限制误差的方差矩阵的空间时，将使用此关系。下一个命题给出了关于中断日期估计的结果。提案A.1。在假设A1-A5下，存在一个B>0的极限→∞公共关系^kgj- kgj公司> Bv公司-2Tlog T= 0，对于每（g，j）∈ {1，…，G}×{1，…，m}。A-7证明。对于常数B>0，定义（B）：=nK∈ Ξν：最大值1≤g级≤Gmax1≤j≤m | kgj- kgj |≤ Bv公司-2记录到。为了证明这一说法，我们将证明，对于一个足够大的B>0，limT→∞公共关系sup（K，θ）∈ν（B）×TK、 θ≥ 0= 0。（A.20）由于在最大似然估计中评估的归一化对数似然应为非负，因此期望的结论如下（A.20）。为了显示（A.20），我们检查了引理A.3中给定的中断日期集SK 6的上界∈Ξ（B）和K。首先，观察属性1提供的概率上界不一定很明确，但很一般，参数空间是有界的。因此，sup（K，θ）∈ν（B）×g，l（K，θ）≤ |OP（log T）|和sup（K，θ）∈Ξν（B）×Ξ（K，θ）≤ C、 （A.21）每1≤ g级≤ G+1和1≤ l≤ 2（m+1）。接下来，对于K 6∈Ξ（B），存在一对（g，j）∈ {1，…，G}×{1，…，m}这样一些邻域Ngj：={t∈ [1，T]：| T- kgj |≤ Bv公司-真正中断日期kgj的2Tlog T}包含gthgroup的中断日期Kg6 Ngj。

这意味着存在一个具有子区间并集的τgl=kgj1[τg，l-1+1，τgl]∪[τgl+1，τg，l+1]最小值≤j≤l+1（τgj- τg，j-1) ≥ Bv公司-2Tlog T.自Kg6起 （τg，l-1，τg，l+1），对于τg，l，GTH组估计是常数-1+ 1 ≤ t型≤ τg，l+1以及‘’g，l（K，θ）和‘’g，l+1（K，θ）都依赖于相同的GTH组估计。注意，三角不等式得出CVT≤ 最多2个βg，τg，l+1，K- βg，τgl，K,βg，τg，l+1，K- βg，τg，l+1，K,此外，当g=g时，CvT≤ 最多2个∑τG，l+1，K- ∑τGl，K,∑τG，l+1，K- ∑τG，l+1，K.这意味着‘’g，l（K，θ）或‘’g，l+1（K，θ）满足性质2中mt=Bv的条件-2Tlog T，与（A.21）一起表示，对于足够大的B，sup（K，θ）∈Ξν（B）×Ξ\'T（K，θ）≤ -|Op（B对数T）|+Op（对数T）。这就产生了（A.20），从而完成了证明。提案A.2。假设假设A1-A5成立。然后，^βgj- βgj=op（vT）和∑j- ∑j=op（vT），对于每（g，j）∈ {1，…，G}×{1，…，m+1}。证据允许 > 0固定并定义参数空间的子集：¨() :=nθ∈ Θ：最大1≤g级≤Gmax1≤j≤m+1kβgj- βgjk≤ VT和max1≤j≤m+1k∑j- ∑jk≤ vTo。命题A.1表明，中断日期估计值^K包含在Ξ（B）中，对于足够大的B，概率接近1，因此我们考虑K∈Ξ（B）。对于θ∈ Θ \\¨Θ(), 存在一对（g，j）∈ {1，…，G}×{1，…，m}使得eitherkβgj- βgjk≥ V或k∑j- ∑jk≥ vT.（A.22）A-8观察kgj- 千克，j-1.≥ νT和kgj- 千克，j-1.≥ νT，而| kgj- kgj |≤ Bv公司-2Tlog T。对于某些l∈ {1，…，Ng}，我们有τg，l-1=最大{kg，j-1，kg，j-1} τgl=满足τgl的最大{kg，j，kgj}-τg，l-1.≥ 某些δ的δT∈ （0，1）和（A.22）保持在子区间[τg，l-1+1，τgl]。因此，mT=δT的性质2意味着SUP（K，θ）∈（B）条()\'\'g，l（K，θ）≤ -|Op公司(T vT）|。对于其他子区间，属性1提供了| Op（log T）|阶的上界。