参数不确定的约束组合消费策略

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英文标题：
《Constrained portfolio-consumption strategies with uncertain parameters
  and borrowing costs》
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作者：
Zhou Yang, Gechun Liang, Chao Zhou
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  This paper studies the properties of the optimal portfolio-consumption strategies in a {finite horizon} robust utility maximization framework with different borrowing and lending rates. In particular, we allow for constraints on both investment and consumption strategies, and model uncertainty on both drift and volatility. With the help of explicit solutions, we quantify the impacts of uncertain market parameters, portfolio-consumption constraints and borrowing costs on the optimal strategies and their time monotone properties.
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中文摘要：
在{有限时域}鲁棒效用最大化框架下，研究了不同借贷利率下最优投资组合消费策略的性质。特别是，我们考虑了投资和消费策略的约束，以及漂移和波动的模型不确定性。借助于显式解，我们量化了不确定市场参数、投资组合消费约束和借贷成本对最优策略及其时间单调性的影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Constrained_portfolio-consumption_strategies_with_uncertain_parameters_and_borro.pdf (448.2 KB)

2022-6-1 16:24:36 上传

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关键词：组合消费 不确定 maximization Optimization Quantitative

具有不确定参数和借贷成本的约束投资组合消费策略*周扬+葛春亮潮州§摘要本文研究了在有限期稳健效用最大化框架下，不同借贷利率下最优投资组合消费策略的性质。特别是，我们考虑了投资和消费策略的约束，以及漂移和波动的不确定性模型。借助显式解，我们量化了不确定市场参数、投资组合消费约束和借款成本对最优策略及其时间单调性的影响。关键词：稳健效用最大化、显式解决方案、投资组合消费约束、不同借贷利率、模型不确定性。AMS学科分类（2000）：35R60，47J20，93E201简介数学金融中的一个基本问题是构建投资和消费策略（π，c），以最大化风险规避投资者的预期效用：max（π，c）E“ZTUc（cs）ds+U（Xπ，c；u，σT）#，（1）其中Uc（·）和U（·）是跨期消费c和终端财富Xπ，c的效用；u，σT。市场由一组参数（u，σ）描述，即托里斯基资产的漂移和波动性，投资者的效用通常被假定为具有一些同质属性（例如，幂、对数和指数型）。由于市场参数的随机性和投资组合的约束条件导致了市场的不完备性，因此所得到的最优投资组合被描述为默顿型短视策略和对冲策略的总和。后者用于部分对冲因市场不完全而产生的市场风险。

B其他*作者感谢总编辑、副编辑和两位裁判的宝贵评论和建议。杨的工作得到了中国国家自然科学基金会的支持（批准号：117711581091）。周的工作得到新加坡教育部AcRF拨款R-146-000-219-112和R-146-000-255-114的支持。+华南师范大学数学科学学院，广州510631；电子邮件：yangzhou@scnu.edu.cn英国考文垂华威大学统计系，CV4 7AL。；电子邮件：g。liang@warwick.ac.uk§新加坡国立大学运营研究与分析研究所数学系和苏州研究所；电子邮件：matzc@nus.edu.sgthe对冲策略和最优消费可以通过后向随机微分方程的解来描述（见[7]和[15]）。然而，解决方案通常不明确，因此，关于最优策略属性的信息有限。本文的目的是研究当投资者在风险资产和无风险资产以及消费之间进行最优配置时，最优投资和消费策略的性质。我们的模型考虑了几个特征，包括模型的不确定性、投资和消费策略的约束以及借贷成本。在幂函数和对数效用函数下，我们利用非线性O-DEs的解刻画了最优投资组合消费策略和最坏情况下的市场参数，并进一步推导了它们在一维环境下的显式解。

明确的形式进一步允许我们研究不确定的市场参数、组合消费约束以及不同的借贷利率对最优策略及其时间单调性的影响。在大量的文献中，通常假设投资者对市场参数有充分的了解，并且能够在没有任何约束的情况下选择她的投资组合消费策略。然而，限制卖空风险资产和维持生计的消费等约束在现实中无处不在。另一方面，预期性范式显然有一些不足之处：它在处理著名的埃尔斯贝-rg悖论所预测的模型不确定性方面并不令人满意。出于上述原因，在研究最优策略时，需要考虑组合消费策略的约束和市场参数的不确定性。我们认为投资组合消费策略必须保持在一个闭凸集上，有很多概率模型来描述市场，但没有一个模型足够精确。这导致我们考虑所谓的稳健效用最大化（robust utilitymaximization），投资者担心最坏情况下的sce nario，与（1）相反，我们解决了以下maxmin问题Maxmax（π，c）∈Bmin（u，σ）∈AE“ZTUc（cs）ds+U（Xπ，c；u，σT）#，针对在跨期消费和终端财富方面具有幂或对数型公用事业的投资者。有关更多详细信息，请参见（4）和（5）。作为第一个共同贡献，我们表明用于构建幂和对数公用事业价值过程的函数（请参见Fp和FLin（8））允许鞍点（引理3.1）. 鞍点依次描述了最优投资组合消费策略和最坏情况参数的局部特征。

由于投资组合共同消费策略的约束集可能并不紧凑，因此事先甚至不清楚是否存在鞍点。我们通过使用紧集中的鞍点序列来逼近非紧约束集中的构造鞍点来解决这个问题。我们利用定理3.2（对于幂效用）和定理3.3（对于对数效用）中非线性常微分方程的解进一步刻画了最优策略。我们表明，即使存在随机市场参数和投资组合消费约束，但在稳健效用框架中，最优策略是确定性的。这是因为当投资者担心最坏情况时，最优策略是通过确定的鞍点和相关非线性常微分方程的解给出的。最后，请注意，最坏情况下的方法意味着投资者的行为过于保守，这在现实中并不总是如此。最近，一篇有趣的论文[14]预测投资者具有适度的风险和不确定性厌恶。关于这种方法的进一步讨论，请参考【14】。这导致投资方实施默顿ty pe的短视战略，以优化其在完整市场中的投资组合。因此，她没有必要针对不完整的市场情况实施对冲策略。在[23]中也出现了类似的现象，作者认为市场是由勒维过程驱动的，具有不确定的参数，但没有消费和借贷成本。此外，在一维条件下，我们得到了封闭形式的最优投资组合消费策略和最坏情况参数。除了具有恒定市场参数且无投资组合消费约束的标准默顿模型外，很少存在闭式解。

我们发现，在考虑模型不确定性、投资和消费策略约束以及借贷成本的一般框架中，幂函数和对数效用函数仍然存在显式解。作为第一个例子，当不确定的市场参数保持在n个区间集时，我们就借贷利率以及不确定的市场参数得出了最优投资组合策略的分类。我们表明：（1）当投资者对市场持乐观态度，这意味着她对股票回报率的最差估计仍然比借债者更好时，她会实施借债购买策略，尽可能多地借债，以接近最优策略，而无需进行解释。（2）当她对股票回报率的最差估计介于借贷利率之间时，借贷都不是有吸引力的，投资者只会把所有的钱都投进股票，也就是说。执行全方位战略。（3） 当贷款利率介于股票回报的最佳和最差估计值之间时，投资者只需将所有资金存入银行账户，即执行无交易策略。（4） 当投资者对市场感到悲观，这意味着她对股票回报的最佳估计仍然低于贷款利率时，她将实施卖空策略，尽可能卖空股票。详见定理4.2。作为第二个例子，当不确定漂移和波动率相关时，我们进一步证明了鞍点可能成为不确定参数集的内点。然后通过显式内部鞍点给出最坏情况参数，而不是现有文献中鞍点的bang-bangtype。

因此，最优投资组合策略也是通过内部鞍点确定的，尽管仍然是默顿类型。详见定理4.4。明确的解决方案使我们首次能够对各种情况下的消费计划进行系统研究。我们认为，为了维持生计，消费应保持在最低水平以上，并受未来消费和投资的合理上限的支配。我们表明，当投资者担心最坏的市场情况时，其最优消费将退化为确定性过程（幂情况见定理4.5，对数情况见定理4.7）。借助闭式解，我们能够获得最优消费计划的时间单调性（见命题4.6和定理4.7），并量化不同参数（如借款利率、不确定市场参数和投资组合消费约束）对最优消费计划的影响（见Pro位置5.1和5.2）。其中一个引人注目的结果是，对于电力公司的情况，当投资者提高其消费上限时，最优消费不必增加或减少。这是因为投资者在优化消费计划时需要平衡当前消费和未来消费与投资。增加消费上限意味着投资者将在未来消费一个更大的约束集，并增加其未来效用的权重，从而降低其当前的消费水平。另一方面，提高消费上限也意味着一个大的r约束集，投资者可以从中做出当前的消费决策，反过来，其当前的消费水平可能会提高。

这两个相互矛盾的因素将相互影响，并导致最优消费相对于消费计划上限的非单调关系。参考文献，默顿于20世纪70年代首次研究了连续时间内的最佳组合消费问题（见[22]）。在一系列论文【16】、【17】和【19】中，作者发展并推广了Merto n的模型。特别是，[19]的目标之一是消费必须始终高于一定的生存水平，有时不允许借贷或卖空交易股票，因此他们对消费和投资都施加了限制。在这项工作之后，在具有恒定市场参数的完整市场环境中，在[6]、[27]和最近的[18]、[31]中进一步研究了具有约束的最优消费。另一方面，[8]、[30]、[32]和[33]等学者研究了具有不同通用性的模型的约束投资问题。文献中经常假设借贷利率相等，因此，财富方程总是线性的。然而，文献[1]认为，这种假设与现实不符。随后，[11]引入了效用最大化问题的借贷成本，更近一点，在[3]中，作者在最优信贷投资问题m中考虑了借贷成本。模型不确定性的早期发展可追溯到[28]，在那里，作者考虑了第一种情况下的风险管理问题。数学金融中的稳健效用最大化从[4]、[13]和[26]开始，主要处理漂移不确定性。挥发不确定性的问题要困难得多，已经通过各种数学工具进行了处理。

举个例子，在[9]中使用了对偶方法，其中不确定性由一系列半鞅定律规定。[12]中的随机波动率模型采用G-期望来处理不确定性相关性。相比之下，[21]通过二阶倒向随机微分方程研究了波动不确定性下的稳健效用最大化问题，[29]使用混合策略考虑了不确定性漂移和波动性，并推导了非交易资产配置中的显式解。最近，结果在[23]中进一步推广，包括漂移、波动性和跳跃不确定性，这些不确定性由一组L'evy三元组参数化。然而，上述工程不考虑消耗。有两个例外是[20]和最近的[2]，作者在与我们的模型类似的框架下工作，但这些论文没有处理投资组合消费约束。综上所述，现有文献似乎主要关注的是仅具有上述部分特征的投资-消费模型：要么具有投资组合约束和市场不确定性，要么具有消费约束和借贷成本。虽然这些论文获得了许多优美的数学结果，但除了一些特殊情况外，显式解和最优策略的性质仍然存在。特别是，消费约束使得很难获得显式解决方案，而且几乎所有具有消费约束的显式解决方案都是在有限的范围内（见[6]、[19]和[27]）。相比之下，我们的论文系统地研究了有限期内模型不确定性和借贷成本下的受限投资组合消费策略，并量化了它们对最优策略的影响。我们得到了最优策略的显式解和性质。

尽管在一个风险资产设置下得出了明确的解决方案，但我们的方法可以应用于研究多个风险资产设置，如[23]所示，类似的结果仍然存在，这是一个具有更复杂情况的lbeit。本文的组织结构如下。第2节提出了一个在多风险资产环境下，受借贷成本和投资组合消费约束的逆向效用最大化模型。第3节通过鞅论证解决了相关的maxmin问题，并通过非线性常微分方程的解刻画了最优投资组合消费策略和最坏情况下的市场参数。第4节进一步得到了具有不同不确定参数集的单个风险资产的闭式解。第5部分研究了各种模型参数对最优策略和最坏情况参数的影响。附录中给出了显式解的证明。2效用最大化模型2.1不确定参数和借贷成本t d和d′是两个正整数。设W是完全概率空间上定义的标准d′维布朗运动(Ohm, F、 P），a和F：={Ft}t≥0是W生成的增强过滤。市场由d风险资产和无风险银行账户组成。风险资产的定价过程Si，1≤ 我≤ d、 对于s，s=ui，sSi，sds+∑d′j=1σijsSi，sdWj，s（2）≥ 0，其中u：=（u，···，ud）Tand∑：=（σij）d×d′分别代表therisky资产的漂移和波动性。考虑一下这个市场上的一家s mall Investor。她同时交易风险资产和无风险银行账户，但关于风险资产参数（u，∑）的信息有限。