多项式VaR回测：一种简单的隐式回测方法

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英文标题：
《Multinomial VaR Backtests: A simple implicit approach to backtesting
  expected shortfall》
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作者：
Marie Kratz, Yen H. Lok, Alexander J McNeil
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Under the Fundamental Review of the Trading Book (FRTB) capital charges for the trading book are based on the coherent expected shortfall (ES) risk measure, which show greater sensitivity to tail risk. In this paper it is argued that backtesting of expected shortfall - or the trading book model from which it is calculated - can be based on a simultaneous multinomial test of value-at-risk (VaR) exceptions at different levels, an idea supported by an approximation of ES in terms of multiple quantiles of a distribution proposed in Emmer et al. (2015). By comparing Pearson, Nass and likelihood-ratio tests (LRTs) for different numbers of VaR levels $N$ it is shown in a series of simulation experiments that multinomial tests with $N\\geq 4$ are much more powerful at detecting misspecifications of trading book loss models than standard binomial exception tests corresponding to the case $N=1$. Each test has its merits: Pearson offers simplicity; Nass is robust in its size properties to the choice of $N$; the LRT is very powerful though slightly over-sized in small samples and more computationally burdensome. A traffic-light system for trading book models based on the multinomial test is proposed and the recommended procedure is applied to a real-data example spanning the 2008 financial crisis.
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中文摘要：
根据交易账簿（FRTB）的基本审查，交易账簿的资本费用基于一致的预期缺口（ES）风险度量，这表明对尾部风险更为敏感。在本文中，有人认为，预期缺口的回溯测试（或计算预期缺口的交易账簿模型）可以基于不同水平的风险价值（VaR）例外情况的同时多项式测试，这一想法得到了埃默等人（2015）提出的分布多个分位数的ES近似值的支持。通过比较Pearson、Nass和似然比测试（LRT）对于不同数量的风险值水平$N$，一系列模拟实验表明，与对应于$N=1$的标准二项式例外测试相比，具有$N\\geq 4$的多项式测试在检测交易账面损失模型的错误指定方面更为强大。每个测试都有其优点：Pearson提供了简单性；Nass的尺寸特性非常稳定，可以选择N$；LRT功能非常强大，但在小样本中尺寸略大，计算负担更重。提出了一种基于多项式检验的交易账簿模型红绿灯系统，并将推荐的程序应用于跨越2008年金融危机的真实数据示例。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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关键词：VaR 多项式 Quantitative Applications SIMULTANEOUS

多项式VaR回溯测试：一种简单的隐式回溯测试方法*, Yen H.Lok+，Alexander J.McNeil摘要根据《交易账簿基本面审查》（FRTB），交易账簿的资本支出基于一致预期缺口（ES）风险度量，这表明对尾部风险的敏感性更高。在本文中，有人认为，预期缺口的回溯测试（或计算缺口的交易账簿模型）可以基于不同级别的风险价值（VaR）例外情况的同时多项式测试，这一想法得到了埃默等人（2015）提出的关于分布多个数量的ES近似值的支持。通过比较Pearson、Nass和似然比检验（LRT）对不同数量的VaR水平N的影响，在一系列模拟实验中显示，N≥ 与对应于N=1情况的标准二项式例外测试相比，4在检测交易账面损失模型的误报方面更为强大。每种测试都有其优点：Pearson更简单；Nass的尺寸特性对N的选择具有鲁棒性；theLRT非常强大，但在小样本中的大小略大，计算负担更重。提出了一种基于多项式检验的交易账簿模型的TRAF-light系统，并将推荐的程序应用于跨越2008年金融危机的真实数据示例。2010年AMS分类：60G70；62C05；62P05；91B30；91G70；91G99关键词：回溯测试；银行监管；一致性；启发性；预计短缺；沉重的尾巴；似然比检验，多项式分布；Nass试验；皮尔逊检验；风险管理；风险度量；统计检验；分布尾部；风险价值1介绍衡量风险的技术是金融机构内外风险管理流程的核心。

在银行和保险业中，标准的做法是用概率分布建模风险，并用标量值风险度量表示风险。从形式上讲，风险度量是将代表损益的随机变量映射为代表破产所需资本额的实数。有大量关于风险度量及其属性的文献，我们的调查仅限于对实践和监管辩论产生影响的关键参考文献。Artzner等人（1999）在开创性的工作中提出了一组理想的数学属性，定义了一致的风险度量，重要的公理是次可加性，它对于衡量风险投资组合中的多元化收益至关重要，而正同质性则要求风险度量与投资组合规模的线性比例。F¨ollmer&Schied（2002）*埃塞克商学院，CREAR风险研究中心；电子邮件：kratz@essec.edu+Heriot Watt大学；电子邮件：yhl30@hw.ac.uk约克大学；电子邮件：alexander。mcneil@york.ac.ukde通过用较弱的凸性要求替换次可加性和正同质性公理，定义了更大类别的凸风险度量；另见F¨ollmer&Schied（2011）。金融机构和监管中使用的两个主要风险指标是风险价值（VaR）和预期缺口（ES），后者也称为尾部风险价值（TVaR）。VaR被定义为损益分布的一个分位数，尽管它既不一致也不凸，但它一直是银行监管中的主要风险度量。

这也是欧洲偿付能力II保险监管中使用的风险度量，其中偿付能力资本要求（SCR）定义为年度损失分配的99.5%VaR。α级预期亏损是指超过该级VaRat的有条件预期亏损，是一个一致的风险度量（Acerbi&Tasche，2002；Tasche，2002）。出于这个原因，也因为它是一种对尾部更敏感的风险度量，近年来它吸引了越来越多的监管关注。在瑞士偿付能力测试（SST）中，年损失为99%的ES是首要风险衡量指标。根据《交易账簿基本审查》（巴塞尔银行监管委员会，2013年），97.5%水平的10天将是巴塞尔协议III（巴塞尔银行监管委员会，2016年）下设定交易账簿资本的主要风险衡量标准。对于给定的风险度量，必须能够准确估计，并通过检查事后观察到的已实现损失是否符合exante估计或预测来验证估计。我们将实现情况与预测进行比较的统计过程称为后验。关于回溯测试VaR估计的文献很多，并且基于这样一种观察，即当α级的VaR被一致地很好地估计时，VaR例外情况，即已实现损失超过VaR预测的情况，应该形成一系列具有概率（1）的独立、同分布（iid）伯努利变量- α).Kupiec（1995）的一篇早期论文提出了一个针对例外数量的二项式似然比检验，以及一个基于以下事实的检验：违规之间的间隔应开始按几何分布；另见Dav\'e&Stahl（1998）。

违规数量的简单二项测试通常被描述为无条件覆盖的测试，而明确检查违规独立性的测试则是有条件覆盖的测试。Christo Offersen（1998）提出了一种条件覆盖率测试，其中iid Bernoulli假设与另一种假设进行了测试，即违规行为表现出以一阶马尔可夫行为为特征的依赖性；另见Davis（2013）最近的论文。Christo Offersen&Pelletier（2004）进一步发展了利用离散几何分布可以近似为连续指数分布这一事实来测试NVAR违规之间间距的想法。指数间距（常数危险模型）的零假设根据威布尔备选方案（其中危险函数可能增加或减少）进行测试。Berkowitz等人（2011年）提供了条件覆盖测试的全面概述。他们特别提倡几何测试和回归测试，这是基于Engle&Manganelli（2004）提出的一个想法，用于检查鱼子酱模型的动态分位数的fit。关于ES回溯测试的文献较少。McNeil&Frey（2000）提出了一种基于所谓违规残差的bootstraphypothesis测试。这些指标用于衡量VaR违反情况发生时，实际损失与预期短缺估计之间的差异，并应形成一个平均值为零的分布样本。Acerbi&Szekely（2014）研究了类似类型的统计数据，并建议使用蒙特卡罗假设。

最近，Costanzino&Curran（2015）提出了一个Z检验，用于预测缺口的离散化版本，该版本扩展到其他所谓的光谱风险度量；参见alsoCostanzino&Curran（2016），其中该想法被扩展，以提出一个类似于巴塞尔体系的交易灯系统，用于VaR例外。回溯测试文献的另一部分着眼于基于已实现p值或概率积分变换（PIT）值的回溯测试方法。这些是基于预测密度的观察特定事后损失的概率估计值，风险度量估计值来自预测密度；当exante模型与事后损失一致时，他们应形成iid统一样本。Diebold等人（1998年）并未将重点放在风险度量的点估计上，而是展示了如何使用已实现的p值来评估密度预测的总体质量。在Diebold等人（1999年）中，作者将密度预测评估扩展到多变量情况。Blum（2004）研究了各种悬而未决的问题，提出并在数学上验证了一种基于PIT的方法，该方法还具有重叠的预测区间和多个预测层。Berkowitz（2001）提出了一种基于截断α级以上已实现p值的思想的预测模型尾部质量测试。Kerkhof&Melenberg（2004）中提供了基于已实现p值的预期短缺回溯测试程序。一些作者对回溯测试预期短缺的可行性表示怀疑。研究表明，ES估计值通常缺乏稳健性（Cont et al.，2010），因此ES估计值的稳定序列比VaR估计值更难获得。然而，Emmeret等人。

（2015）我们指出，在计量误差的背景下，在统计学中引入的稳健性概念可能与金融和保险不太相关，因为极值通常作为数据生成过程的一部分出现，而不是作为异常值或计量误差出现；他们认为（特别是在保险业），大的结果实际上可能比小的结果得到更准确的监控，其价值也会得到更好的估计。Gneiting（2011）表明ES不是一个可引出的风险度量，而VaR是；关于这一主题，参见alsoBellini&Bignozzi（2015）和Ziegel（2016）。可引出的风险度量是损益分布的统计，可以表示为预测错误最小化问题的解决方案。这一概念由Osband（1985）和Lambertet al.（2008）提出。当风险度量可以得出时，我们可以使用一致的评分函数来比较通过不同建模方法获得的一系列预测，并获得提供最佳预测性能的方法的客观指导。尽管Gneiting（2011）指出，ES缺乏可诱导性使我们对ES的回溯测试能力及其在风险管理中的应用产生了疑问，现在出现了一种共识，即比较不同估计方法的预测性能的问题不同于解决一系列事前估计是否与一系列事后损益实现一致的问题，并且有合理的方法解决上述后一个问题。有大量关于比较预测绩效的计量经济学文献，包括Diebold&Mariano（1995）和Giacomini&White（2006）。应该注意的是，ES满足了更一般的可诱导性概念，如条件可诱导性和联合可诱导性。Emmer等人（2015年）提出了条件可诱导性的概念。

这提供了一种将预测方法分为两个组成部分的方法的方法，涉及可引出的统计数据，并分别回溯测试和比较其预测性能。由于ES是以超过VaR为条件的预期损失，我们可以首先使用适当的一致评分函数对VaR进行回溯测试，然后将VaR视为固定常数，我们可以使用平方误差scoringfunction对ES进行回溯测试，以获得可得出的平均值。Fissler&Ziegel（2016）表明，VaR和ES是可联合使用的，因为它们共同最小化了适当的二维scoringfunction；这允许对不同的预测方法进行比较，从而对VaR和ES进行估计。另请参见Acerbi&Sz'ekly（2016），他引入了一个新的“后验性”概念，特别是通过预期的不足来满足。在本文中，我们的目标是提出一种简单的回溯测试方法，可以从两个方面来看：一方面，作为标准VaR回溯测试的自然延伸，允许我们使用多项式分布同时测试不同α水平的VaR估计；另一方面，作为ES的内隐回溯测试。尽管FRTB建议将ES作为巴塞尔协议III（巴塞尔银行监管委员会，2016）下交易账簿的主要风险衡量标准，但值得注意的是，回溯测试制度仍将主要基于99%的VaRexceptions，尽管对单个交易台以及整个交易账簿也是如此。

然而，巴塞尔公告确实指出，银行将被要求在基本强制性要求之外考虑更高级的回溯测试。他们列出了许多可能性，包括：基于多层次VaR的测试（他们明确提到了97.5%和99%）；基于VaR和预期短缺的测试；测试基于实现的p值。我们的测试作为预期短缺的隐式后验测试的想法自然来自Emmer et al.（2015）提出的ES近似值。用ESα（L）和VaRα（L）表示损失L分布的ES和VaR，作者建议ES的以下近似值：ESα（L）≈【q（α）+q（0.75α+0.25）+q（0.5α+0.5）+q（0.25α+0.75）】（1.1），其中q（γ）=V aRγ（L）。这表明，如果从同一模型得出的四个VaR值SQ（aα+b）的估计值是可靠的，则从L分布模型得出的ESα（L）估计值可以被认为是可靠的。它通过在不同水平上同时对多个VaR估计值进行回溯测试，引出了对ES进行回溯测试的直观想法。在本文中，我们提出了在多个层面上对VaR异常进行多项式检验，检验了检验的性质，并回答了以下主要问题：o在模型验证方面，多项式检验是否比二项式检验更有效？o在哪种情况下，我们应该使用哪种形式的多项式检验就结果的大小、威力和稳定性以及程序的简单性而言，应使用的最佳分位数是多少？我们研究的指导原则是提供一个简单的测试，该测试在概念和计算上并不比基于VaR exceptioncounts的二项测试复杂多少，VaR exceptioncounts在行业和监管实践中占主导地位。

我们的测试应该比二项测试更强大，并且能够更好地拒绝给出尾部错误估计的模型，从而导致对预期短缺的错误估计。然而，最大化功率并不是压倒一切的问题。我们提出的回溯测试可能不一定能达到基于已实现p值的其他测试的能力，但它给出了令人印象深刻的结果，我们相信这是一个更容易为从业者和监管人员解释的测试。它还为模型验证提供了非常直观的交通灯系统，扩展和改进了现有的巴塞尔交通灯系统。本文的结构如下。第2节定义了多项式回溯检验，并提出了三种变体：标准皮尔逊卡方检验；Nass试验；alikelihood比率测试（LRT）。我们还展示了后者如何与基于已实现p值的Berkowitz（2001）测试相关。第3节介绍了几个部分的大型模拟研究。这包括对多项式检验的大小和功效的研究，其中我们特别关注检验对低估损失分布峰度和偏度的模型的辨别能力。我们还进行了静态（基于分布的）和动态（基于时间序列的）回溯测试，在回溯测试中，我们展示了预测模型质量优劣的预测者将如何通过多项式测试进行处理。基于第3节的结果，我们在第4节中给出了在多个层面上同时进行VaR回溯测试的最佳设计，或等效于预期缺口的隐式回溯测试。我们还展示了如何设计交通灯系统。在第5节中，考虑到标准普尔500指数，我们将该方法应用于实际数据。