百慕大DB支持混合养老金福利的估值

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英文标题：
《Valuation of a Bermudan DB underpin hybrid pension benefit》
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作者：
Xiaobai Zhu, Mary Hardy and David Saunders
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this paper we consider three types of embedded options in pension benefit design.   The first is the Florida second election (FSE) option, offered to public employees in the state of Florida in 2002. Employees were given the option to convert from a defined contribution (DC) plan to a defined benefit (DB) plan at a time of their choosing. The cost of the switch was assessed in terms of the ABO (Accrued Benefit Obligation), which is the expected present value of the accrued DB pension at the time of the switch. If the ABO was greater than the DC account, the employee was required to fund the difference.   The second is the DB Underpin option, also known as a floor offset, under which the employee participates in a DC plan, but with a guaranteed minimum benefit based on a traditional DB formula.   The third option can be considered a variation on each of the first two. We remove the requirement from the FSE option for employees to fund any shortfall at the switching date. The resulting option is very similar to the DB underpin, but with the possibility of early exercise. Since we assume that exercise is only permitted at discrete, annual intervals, this option is a Bermudan variation on the DB Underpin.   We adopt an arbitrage-free pricing methodology to value the option. We analyse and value the optimal switching strategy for the employee by constructing an exercise frontier, and illustrate numerically the difference between the FSE, DB Underpin and Bermudan DB Underpin options.
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中文摘要：
在本文中，我们考虑了养老金福利设计中的三种嵌入期权。第一个是佛罗里达州第二次选举（FSE），于2002年向佛罗里达州的公务员提供。员工可以选择在自己选择的时间将固定缴款（DC）计划转换为固定福利（DB）计划。转换成本根据ABO（应计福利义务）进行评估，ABO是转换时应计DB养老金的预期现值。如果ABO大于DC账户，则要求员工为差额提供资金。第二种是DB支持选项，也称为楼层补偿，根据该选项，员工参与DC计划，但基于传统DB公式，有保证的最低福利。第三个选项可以视为前两个选项的变体。我们从FSE选项中删除了要求员工在转换日期为任何短缺提供资金的要求。最终的方案与DB支柱非常相似，但有可能提前实施。由于我们假设仅允许在离散的年度间隔内行使，因此该选项是DB基础上的百慕大变化。我们采用无套利定价方法对期权进行估值。我们通过构建一个练习边界来分析和评估员工的最佳转换策略，并用数值说明FSE、DB-Underpin和百慕大DB-Underpin选项之间的差异。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Valuation_of_a_Bermudan_DB_underpin_hybrid_pension_benefit.pdf (364.27 KB)

2022-6-4 16:15:04 上传

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关键词：百慕大 养老金 Contribution Quantitative Constructing

百慕大DB支持混合养老金福利的估值Zhuaobai*1、Mary，Hardyand David，滑铁卢大学统计与精算科学SaundersDepartment，2021年11月10日摘要本文考虑了养老金福利设计中的三种嵌入期权。第一个是佛罗里达州第二次选举（FSE）选项，于2002年提供给佛罗里达州的公共雇员。员工可以选择在自己选择的时间将固定缴款（DC）计划转换为固定福利（DB）计划。切换成本根据ABO（应计福利义务）进行评估，ABO是切换时应计DB养老金的预期现值。如果ABO大于DC账户，则要求员工为差额提供资金。第二种是DB支持选项，也称为FLOOR offset，根据该选项，员工参与DC计划，但根据传统的DB公式，有保证的最低收益。第三个选项可以被视为前两个选项的变体。我们从FSE选项中删除了要求员工在转换日期为任何短缺提供资金的要求。结果选项与DB支柱非常相似，但有可能进行早期锻炼。由于我们假设仅允许在离散的年度间隔内进行练习，因此该选项是DB基础上的aBermudan变化。我们采用无套利定价方法对期权进行估值。我们通过构建运动边界来分析和评估员工的最佳转换策略，并用数值说明FSE、DB-Underpin和百慕大DB-Underpinoptions之间的差异。*滑铁卢大学统计与精算科学系（SAS），200 University Ave.West，Waterloo，ON，Canada，N2L 3G1。

电子邮件：x32zhu@uwaterloo.ca1简介在过去二十年中，雇主赞助的养老金计划从固定福利（DB）向固定缴款（DC）发生了重大的全球转变。根据Watson（2017），22个主要养老金市场的DCpension资产已从2006年的41.1%增长至2016年的48.4%。然而，人们也越来越认识到，DC计划可能并不总是最佳选择。2013年，OECD确定了DC系统中的六个常见问题，包括退休前阶段资金的过度波动，以及“不符合目的”的减计选项。混合养老金计划结合了DC和DB计划的特点，可能比DC或DB单独更好地满足雇主和雇员的需求。提出了许多混合养老金结构，其目标不同，员工和雇主风险分配的平衡也不同。Buchen et al.（2011）和Turner and Center（2014）对混合动力计划进行了全面调查。一些流行的例子包括现金余额养老金计划、目标福利养老金计划和DB支持计划。研究表明，混合养老金市场在某些领域正在扩大。例如，Kravitz（2016）表明，美国的现金余额计划数量从2001年的1337个增加到2014年的15178个）。人们对混合养老金计划越来越感兴趣，这表明有可能设计新的风险分担计划。本文介绍了一种新的混合养老金设计。新计划背后的直觉基于两个现有的嵌入式选项：Floridaretirement系统中的第二个选举选项和DB支持计划。本文使用市场一致性估价方法（见Boyle and Hardy（2003），Marshall et al。

（2010）和Chenand Hardy（2009）对各种保险和养老金产品的估值），我们将其与佛罗里达州第二次选举和DB支持期权进行了比较。本文阐述了混合养老金计划的灵活性如何允许发起人根据其风险偏好和目标设计新的风险分担计划。本文其余部分的结构如下。第2节介绍了符号和假设，并提供了第二个选举选项和DBunderpin选项的详细背景信息。第3节介绍了新养老金计划的问题公式，以及离散时间内的一些理论结果。第4节将工作扩展到连续情况，并纳入随机工资。第5节显示了数值结果。第6节结束。http://www.oecd.org/finance/private-pensions/designingfundedpensionplans.htm2注释和假设SC表示DC计划中的年度缴款率（与工资的比例）。我们假设捐款是每年支付的。我们还假设所有供款均由计划赞助人/雇主支付，尽管考虑到员工供款，这很容易放宽。T表示员工的退休时间。r表示无风险利率，连续复合。b表示DB计划中的应计比率。¨a（T）表示每年1份养老金的退休精算价值。St表示DC账户中基金的随机价格指数过程。我们假设St遵循几何布朗运动，因此DstSt=rdt+σSdZQS（t），其中ZQS（t）是风险中性测度Q下的标准布朗运动。Lt表示t=0，1，…，从t到t+1的工资。。。，T- 1，其中t表示服务年限。

我们假设工资以每年ul的速度增长，持续复合，因此lt=Letul我们也会考虑在连续设置下的随机工资过程，假设它可以通过金融市场识别：dLtLt=rdt+σLdZQL（t）dZQL（t）dZQS（t）=ρdt，其中ZQL（t）是风险中性度量Q下的标准布朗运动，ρ是ZQL和ZQS之间的相关系数（股市与均衡增长之间的相关性）。我们忽视了死亡率和其他人口因素。3 DB支持计划DB支持养老金计划，在美国也称为FLOOR offset计划，为DC计划提供有保证的最低福利。计划发起人定期向成员的DC账户捐款，并单独向涵盖担保的基金捐款。员工通常有有限的投资选择，以使担保价值更具可预测性。在退休日，在服务了T年后，如果成员的DC余额高于保证的最低养老金，计划发起人将不会产生任何额外费用。然而，如果DC收益较小，计划发起人将弥补差额。使用无套利定价，我们可以计算时间t=0时DBunderpin计划累计成本的现值，如下所示。我们假设（更为明确而非必要）DBBenefits基于最后一年的工资，我们忽略退休前的所有离职。CU=当量“T-1Xt=0e-DC贡献的rtcLt#|{z}PV+等式“e-rTbT–a（T）LT-1.-T-1Xt=0STStcLt！+#|DB的{z}值支持选项请注意，选项值没有明确的解决方案，但可以使用MonteCarlo模拟确定。

参见Chen和Hardy（2009），了解DBunderpin期权的估值和融资详情。4佛罗里达州第二次选举（FSE）选项2002年，佛罗里达州的公职人员有权在退休日期前的任何时候从DCplan转换为DB计划。参与DB计划的成本由累计福利义务（ABO）计算，ABO是基于当前服务和当前可领养老金工资的应计福利现值。我们将服务年限为t年的员工的DB福利ABO表示为Kt，因此Kt=b Lt-1t–a（T）e-r（T-t） 在FSE混合计划下，让τ表示员工从DCplan切换到DB计划的时间。如果τ的ABO大于DC账户余额，员工需要从自己的资源中找出差额。如果DC账户在过渡时超过ABO，则员工将差额保留在单独的DC补充账户中，该账户可在退休时提取。从数学上讲，期初DC和DB总收益成本的现值isCse=sup0≤τ≤TEQ“τ-1Xt=0e-rtcLt+e-rτKTe公司-r（T-τ )- Kτ#其中，如前一节所述，第一期是DC供款的现值，第二期是DB福利所需的额外资金，由DC供款资助的ABO在过渡期抵消。“sup”表示估价假设从DC切换到DB的时间是为了最大限度地提高业主的成本。Milevsky和Promislow（2004）在确定性假设下研究了佛罗里达期权的价格和最佳转换时间。5百慕大DB支持计划-离散案例FSE设计的优势在于，它为员工提供了根据其不断变化的风险偏好选择其计划类型的灵活性。

然而，员工在DC会员期内保留投资风险，并且还存在转换时间选择不当的额外风险。此外，当DC投资低于DB计划的ABO时，如果员工没有足够的资产来弥补差额，他们可能无法转换。受DB支撑计划与佛罗里达选项相结合的想法启发，我们研究了一种新的混合设计，我们称之为百慕大DB支撑，它在从DC切换到DB时增加了保证。如果员工选择切换时，其DC账户低于ABO，则计划发起人将弥补差额。5.1问题公式我们假设，在员工转换为DB之前，每年都会向DC账户进行供款，并且我们在t时对收益进行估值。我们还假设员工在时间t之前没有从DC转换为DB，DC账户为wtat t，未来账户值（截至转换时间）遵循WT+τ=wtSt+τ+τ-1Xu=tSt+τSucLuτ=1，2。。。T-t、 然后，用C（t，wt）表示的未来收益成本（过去和未来服务，DC和DB）在时间t的现值可以表示为三项之和：1。在成员转换为DB计划之前，DC账户未来供款的现值。2、DB福利成本的现值，由切换时的ABO抵消。3、切换时ABO和直流平衡之间的差值，如果为正值。我们假设行权日期是在每年年初，在向DC账户缴款之前，因此可接受的行权日期为τ=0，1，···T-t。

我们取这三部分之和的最大值，最大化所有可能的切换日期，如下所示。C（t，w）=supτ∈[0,1，···，T-t] EQtτ-1Xu=0e-rucLu+e-rτKTe公司-r（T-t型-τ )- Kt+τ+ e-rτ（Kt+τ- Wt+τ）+Wt=w请注意，切换时间τ涉及所有三个部分，这使得分析更加复杂。然而，使用put调用奇偶校验，问题简化为：C（t，w）=EQtKTe公司-r（T-t）+ supτ∈[0,1，···，T-t] 均衡器e-rτWτ+t- Kt+τe-r（T-t型-τ )+Wt=w- w（1）附录A中给出了详细信息。新公式还包括三个术语：oDB计划收益在t时的现值。o百慕大型看涨期权，具有基础流程WT和罢工价值Kt。o被t处的现有直流平衡抵消。第一项和第三项不取决于切换时间，第一部分甚至不取决于直流平衡。为了研究最佳锻炼策略，我们省略了第一项和第三项，并定义了价值函数asv（t，w）=supτ∈[0,1，···，T-t] EQte-rτWt+τ- Kt+τe-r（T-t型-τ )+Wt=w（2） =supτ∈[0,1，···，T-t] EQte-rττ-1Xu=0St+τSt+ucLt+u+wSt+τSt- b（t+τ）–a（t）Lτ+t-1e级-r（T-τ -t） 哦+在时间t，鉴于DC账户余额为w，我们将期权的行权价值（表示为ve（t，w））定义为成员决定在该日期转换的价值，将延续价值（表示为vh（t，w））定义为成员决定不转换的价值。Thenve（t，w）=w- 待定-1–a（T）e-r（T-t）+（3） vh（t，w）=EQte-rvt+1，（w+cLt）St+1（4） 该选项在分析上不易处理。

在下一节中，我们将介绍值函数的一些性质，这将使我们能够使用数值解方法。5.2 T处的值函数- 1在时间T处输入选项值-1仅取决于该期间的股票表现-1，T]，可使用连续值vh（T）的Black-Scholes公式进行求解-1，w）=等式“e”-r（w+cLT-1） STST公司-1.- b T LT-1–a（T）+#= N（d）（w+cLT-1) - N（d）b T LT-1–a（T）e-rw其中d=σS自然对数（w+cLT-1吨LT-1–a（T）+r+σSd=d- σSthusv（T- 1，w）=最大值w- b（T- 1） LT公司-2–a（T）e-r、 vh（T- 1，w）5.3练习前沿以下命题给出了值函数命题1的一般凸性和单调性。在每个观察日期0≤ t型≤ T，值函数v（T，w）是w的一个连续、严格正、非减和凸函数。证明见附录a.2。与其他百慕大和美国类型的选项一样，存在一个延续区域C和一个停止区域（或行使区域）D。当时间和DC账户价值对（t，w）位于延续区域时，成员留在DC计划中是最佳选择。当（t，w）处于停止区域时，成员切换到DB计划是最优的。当（t，w）移动到停止区域时，执行切换选项。数学上，连续区域和停止区域定义为ovh（t，w）>ve（t，w）<=> （t，w）∈ Covh（t，w）≤ ve（t，w）<=> （t，w）∈ D建议2。存在一个函数ν（t），使得v（t，w）=ve（t，w）如果w≥ Д（t）vh（t，w）如果w<Д（t），证明见附录A.3。函数Д（t）是运动边界，用于分隔连续和运动区域。

请注意，在某些参数下，可能存在以下情况：∞对于某些t<t，这意味着无论DC帐户值如何，切换都不是最优的。下一个命题将具体说明以下情况：∞.提案3。运动边界Д（t）的行为取决于比率B¨a（t）e-rTasfollows。（i） 。Ifcb–a（T）e-rT<1，则Д（t）<∞, t型∈ [0，T]（ii）。Ifcb–a（T）e-rT公司≥ 1，存在t*∈ [0，1，···，T- 1] ，使得Д（t）=∞, t型≤ t型*, 和Д（t）<∞, t>t*.（iii）。t的值*是btc，其中tsatis fies（t+1）bLt–a（t）e-r（T-t）- 待定-1–a（T）e-r（T-t）- cLt=0（iv）。如果c>b–a（T）1.- e-uLT+e-uLe-R第t节*= T- 1，表示Д（t）=∞, t<t（v）。Ifcb–a（T）e-rT=1然后t*= 证明见附录A.4。这一命题表明，DC贡献率和DB收益应计率之间的比率将决定执行边界的形状。在极端情况下，当DC供款率远高于DBaccrual供款率时，员工最好等到退休日期，百慕大DBunderpin期权简化为DB underpin计划。6百慕大DB支持计划-连续案例通过扩展当前模型以纳入随机薪酬过程，解决期权价值成为一个三维问题。最佳行使边界将取决于工资和DC账户余额。在这一节中，我们在一个连续的环境中，用随机的工资来重构这个问题。数学公式将求和符号替换为整数符号，并将允许停止时间集扩展为[t，t]。