Hawkes过程驱动的极限订货簿的缩放极限

时间t的状态∈ [0，T]表示为（n）（T）：=P（n）a（t），P（n）b（t），V（n）a（t），V（n）b（t）.R值过程P（n）a/b指出了最佳的买卖价格过程，即单个股票可以买卖的最低/最高价格；L值函数V（n）a/b在订单的任务/投标侧记录体积密度函数。刻度大小，即最小价格变动表示为δ（n）x。价格gr idisnx（n）j，j∈ Zo，当e x（n）j：=j·δ（n）x或j∈ Z和n∈ N、 适用于所有N∈ N和x∈ R表示包含x的价格区间（n） （x）：=[x（n）j，x（n）j+1）对于x（n）j≤ x<x（n）j+1。每t∈ [0，T]，体积密度函数V（n）a/b（T，·）是价格网格上的c\'adl\'ag阶跃函数。以x（n）jat time t的价格进行交易的交易量∈ [0，T]由V（n）a/b（T，·）在区间[x（n）j，x（n）j+1]上的积分给出。T=0时书籍的状态S（n）（0）对所有n都是确定的∈ N、 备注2.4【5、21、22】之后的价格和体积密度函数在整条实线上定义。限制NV（n）a（t，y）：y≥ P（n）a（t）oandnV（n）b（t，y）：y≤ P（n）b（t）oof函数V（n）a/b（t，·）到各自的间隔[P（n）a，∞) 以及(-∞, P（n）b]分别对应于时间t时订单簿的实际ask和bid侧∈ [0，T]。各补充文件规定了展销安置的规模；见下文备注2.5。2.2.2事件类型和动态我们假设有八个事件-标记为（A1）- （A4）和（P1）- （P4）-这改变了书的状态：A1。购买市场订单A2。销售展区中的限价订单3。销售市场订单A4。购买spreadP1中的限额订单。卖出限价订单P2。取消销售量3。购买限制订单P4。

取消购买量。根据[5，21，2 2]，我们假设市场订单与账面上的交易量精确匹配，并且spre ad中的限额订单以第一个最佳价格增量进行。特别是，市场订单和差价配售只会改变价格一个百分点。我们将市场订单和价差中的限额或减排量称为有效订单。备注2.5确定整个实线上的体积密度函数可以方便地建模分布位置。ask和bid侧体积密度函数对区间的限制nv（n）a（t，y）：y<P（n）a（t）oandnV（n）b（t，y）：y>P（n）b（t）(-∞, P（n）a）和（P（n）b，∞) 指定下次发生此类事件时放置在排列中的体积。例如，如果在0<t<t时发生ask侧扩散放置，则此时ask侧体积密度函数为nV（n）a（t，y）：y≥ P（n）a（t）o=nV（n）a（t）-, y） ：y≥ P（n）a（t-) - δ（n）xo。我们参考【22】了解有关排列放置建模的更多详细信息。假设摊铺放置发生在第一个最佳冰增量上，这一假设没有限制性。市场订单与账面顶部流动性匹配的假设是为了数学上的方便。从数学上讲，不导致价格变化的市场订单可以被视为在最高点的取消，而导致价格变化的取消可以被视为市场订单。此外，超过账面顶部流动性的市场订单通常会被交易所拆分为一系列较小的订单，这些订单会以竞争力较低的价格连续执行。从数学上讲，这可能被视为一系列“子市场订单”，由一些“母市场订单”的到来触发。

我们的概率框架足够灵活，可以捕捉这种动态。在下面的内容中，我们将I={a，b}（“询价方”，“投标方”），J={M，L}（“市场订单”，“限制订单放置在价差中”），和K={L，C}（“限制订单放置在报价外”，“取消”）。当I，I，J，J和k，k出现a s下标时，总是假定I，I∈ 一、 J，J∈ J和K，K∈ K、 假设2.6市场买入/卖出订单根据（Ft）-随机点度量N（N）a/bM（dt）onR+到达，强度ρ（N）a/bM（S（N）（t））u（N）a/bM（t）dt，卖出/买入限额订单根据（Ft）-随机点度量N（N）a/bL（dt）onR+到达，强度ρ（N）a/bL（S（N）（t））u（N）a/bL（t）dt。这里是t∈ [0，T]表示事件到达时间{ρ（n）IJ（S）}I∈一、 J∈ S和{u（n）IJ（t）}I上定义的Jare确定性非负映射∈一、 J∈ Jare非负和（Ft）-渐进过程。可以选择确定性函数ρ（n）ij，以保证买卖价格不会交叉；参见下面的方程式（2.24）。渐进可测随机过程u（n）ij捕获了价格动态对过去价格变化的（非马尔可夫）依赖关系。本节末尾将介绍它们的精确动力学。正如【5、21、22】中所述，我们假设在价差之外限制下单和取消常备量不会改变价格。我们将这些订单类型称为被动订单。从同侧随机距离取消oc cur随机比例的常备卷的最优价格，以及在价差之外的限制下单从同侧随机数量的最优价格随机距离发生。

这保证了体积始终为非负。假设2.7根据（Ft）随机点度量M（n）a/bC（dt，dx，dz），强度λ（n）a/bL（t，x）dtdxνa/bL（dz），在距离最低价x处，大小为z的卖出/买入限制订单到达，根据（Ft）随机点度量M（n）a/bC（dt，dx，dz），强度λ（n）a/bL（t，x）dtdxνa/bL（dz），在距离最低价x处，卖出/买入量取消λ（n）a/bC（t，x）dtdxνa/bC（dz）。这里（t，x，z）分别表示事件到达时间、放置或取消位置到书本顶部的距离以及取消或取消位置的大小。过程{λ（n）IK（t，·）}I∈一、 K级∈Kare（Ft）-渐进，非负函数值和{νIK（dz）}I∈一、 K∈满足νIK（| ez）的R+上的Kare概率测度- 1|) < ∞ 对于每个n∈ N、 确定性度量νIK（dz）指定了限制顺序放置和取消的大小。如果νIK（dz）是狄拉克测度，那么M（n）a/bL（dt，dx，dz）是上一节意义上的霍克斯随机测度。随机过程e sλ（n）IK（t，·）将不同价格水平下的限价订单到达和取消的强度描述为过去事件的函数。其精确动力学将在下文中详细说明。2.2.3业务线动态由于当市场订单差价配售到达时，价格只移动了一个刻度，因此任务和投标价格过程的动态可以描述如下：P（n）a（t）=P（n）a（0）+Ztδ（n）xN（n）aM（ds）-Ztδ（n）xN（n）aL（ds），P（n）b（t）=P（n）b（0）-Ztδ（n）xN（n）bM（ds）+Ztδ（n）xN（n）bL（ds）。（2.4）或者，我们可以添加两种额外的事件类型，描述不会导致价格变化的市场订单到达，以及两种额外的事件类型，描述导致价格变化的取消到达。

这会将事件的数量从8个增加到12个，但不会改变我们的数学论点。由于有效到达强度为乘法形式ρ（n）IJu（n）IJ，以下假设保证了最佳询价永远不会小于最佳出价。条件2.8对于任何S=（pa、pb、va、vb）∈ S带pa- pb<δ（n）xit认为ρ（n）aL（S）=ρ（n）bL（S）=0。我们用δ（n）va标度参数表示，该参数决定了then th模型中单个订单/取消的大小。我们稍后将分析高频限制，其中订单和勾号大小趋于零，但订单到达强度趋于一致，如n→ ∞. 由于限价订单投放和取消发生在同一侧最优价格的随机距离处，并且由于限价订单投放是相加的，而取消在常备量中是成比例的，因此体积密度函数的动力学（在绝对坐标中）由以下公式给出：V（n）a（t，x）=V（n）a（0，x）+ZtZ（n） （十）-P（n）a（s）-))ZR+δ（n）vδ（n）x（ez- 1） M（n）aL（ds、dy、dz）+ZtZ（n） （十）-P（n）a（s）-))ZR+δ（n）vδ（n）xV（n）a（s-, y+P（n）a（s）-))（e）-z- 1） M（n）aC（ds，dy，dz），V（n）b（t，x）=V（n）b（0，x）+ZtZ（n） （P（n）b（s）-)-x） ZR+δ（n）vδ（n）x（ez- 1） M（n）bL（ds、dy、dz）+ZtZ（n） （P（n）b（s）-)-x） ZR+δ（n）vδ（n）xV（n）b（s-, P（n）b（s）-) - y） （e）-z- 1） M（n）bC（ds、dy、dz）。（2.5）为了获得价格过程的不同限制动态和数量密度函数的确定最小限制动态，我们假设活跃订单达到δ（n）x|-2当被动指令以|δ（n）v的速率驱动时|-1、为了捕捉订单到达之间的聚集和交叉依赖关系，我们认为事件到达强度取决于过去的价格变动以及过去的限价订单投放和取消。

具体而言，我们假设到达强度的形式为：u（n）IJ（t）=δ（n）x |u（n）IJ（t，S（n）（t-)) +xi∈一、 j∈JZtφ（n）IJ，IJ（t- s） N（N）ij（ds）+Xi∈一、 k级∈KZtZRZRδ（n）v |δ（n）x |Φ（n）IJ，ik（y，t- s） M（n）ik（ds，dy，dz），（2.6）和λ（n）ik（t，x）=δ（n）v^λik（t，s（n）（t-), x） +Xi∈一、 j∈JZt |δ（n）x |δ（n）vψIK，ij（x，t- s） N（N）ij（ds）+Xi∈一、 k级∈KZtZRZRψIK，IK（x，y，t- s） M（n）ik（ds、dy、dz）。（2.7）此处，^u（n）ij和^λIKare为仅依赖于本书当前状态的外源密度。核φ（n）IJ、IJ、Φ（n）IJ、IK衡量第一次主动/被动事件对价格动态的影响，而核ψIK、IJ、ψIK、IK衡量过去被动事件对配售/取消的影响。例如，φ（n）aM，aL（t-s） 衡量在时间s到达的市场订单对在时间t到达的市场订单强度的影响。根据内核的选择，这允许我们对“父市场订单到达触发的子市场或订单”的到达进行建模。系数|δ（n）x|-1证明了一个事实，即给定价格水平下的体积是通过长度δ（n）x区间内体积密度函数的积分得出的。在区间内积分（n） （十）- P（n）a（s）-)) 捕获度量M（n）描述同一方最优价格下随机的数量放置和取消的事实。

最后，以指数形式表示添加/取消的体积，使我们能够将m（n）视为第三个变量中R+的度量。A1 A2 A3 A4NotationN（n）aM（dt）n（n）aL（dt）n（n）bM（dt）n（n）bL（dt）间隔基+R+R+强度ρ（n）aM（S）u（n）aM（t）ρ（n）aL（S）u（n）aL（t）ρ（n）bM（S）u（n）bM（t）ρ（n）bL（S）u（n）bL（t）外生密度S）u（n）bM（t，S）u（n）bL（t，S）Kernelφ（n）aM，ij（t）φ（n）aL，ij（t）φ（n）bM，ij（t）φ（n）bL，ij（t）Φ（n）aM，ik（y，t）Φ（n）aL，ik（y，t）Φ（n）bM，ik（y，t）Φ（n）bL，ik（y，t）差值β（n）a（t）：=δ（n）xu（n）aM（t）- u（n）aL（t）β（n）b（t）：=|δ（n）x|-1.u（n）bM（t，S）- u（n）bL（t，S）^β（n）a（t）：=|δ（n）x|-1.μu（n）aM（t，S）- u（n）aL（t，S）^β（n）b（t）：=|δ（n）x|-1.u（n）bM（t，S）- ^u（n）bL（t，S）（n） a（S）：=|δ（n）x|-1.ρ（n）aM（S）- ρ（n）aL（S）（n） b（S）：=|δ（n）x|-1.ρ（n）bM（S）- ρ（n）bL（S）θ（n）a，ij（t）：=|δ（n）x|-1.φ（n）aM，ij（t）- φ（n）aL，ij（t）Θ（n）b，ik（y，t）：=|δ（n）x|-1.Φ（n）bM，ik（y，t）- Φ（n）bL，ik（y，t）表1：活动事件STYPEP1 P2 P3 P4符号M（n）aL（dt，dx，dz）M（n）aC（dt，dx，dz）M（n）bL（dt，dx，dz）M（n）bC（dt，dx，dz）间隔棒+×R×R+R+×R×R-R+×R×R+R+×R×R-强度λ（n）aL（t，x）dtdxνaL（dz）λ（n）aC（t，x）dtdxνaC（dz）λ（n）bL（t，x）dtdxνaL（dz）λ（n）bC（t，x）dtdxνbC（dz）外生密度（x，t）ψaC，ij（x，t）ψ（n）bL，ij（x，t）ψ（n）bC，ij（x，t）ψaL，ik（x，y，t）ψaC，ik（x，y，t）ψ（n）bL，ik（x，y，t）ψ（n）bC，ik（x，y，t）表2：被动事件ψaL，aL（x，t）-s） 和ψaC，aL（x，t-s） 测量与时间s的bes t ask价格相距x处的ask侧限额订单投放对与时间t的当时通行价格相距相同距离处的ask侧限额订单投放/取消的到达强度的影响。对于x∈ (-δ（n）x，0）这是peg阶的理想化模型。

最后，对于任何x和y，q数量ψaC，aL（x，y，t- s） 衡量在价格水平下as k方限额订单的影响（n） （y）（包含y的优先级间隔）在级别上的ask端限额订单取消到达时间s时（n） （y）在时间t.选择（2.6）和（2.7）中的标度常数反映了主动和被动指令的到达强度。表1和2总结了符号。2.3标度条件和极限动力学在本节中，我们陈述了关于到达强度和霍克斯核的假设，这些假设保证了（2.1）-（2.4）描述的LOB模型序列在法律上收敛于某个耦合模式系统的唯一解。SDE将描述限价动态，而ODE将描述限量动态。我们从初始状态的矩条件和收敛性假设开始。条件2.9存在一个常数C>0，使得对于任何n>1和I∈ 一、 EhkS（n）（0）kSi+EhkV（n）I（0，·）kLi≤ C、 （2.8）此外，存在S值随机变量S（0），如n→ ∞EhkS（n）（0）- S（0）kSi→ 0.（2.9）2.3.1缩放假设我们首先考虑一个纯马尔可夫LOB动力学的基准案例，其中所有Hawkes核都消失了。将方程（2.6）的两侧乘以|δ（n）x |，并将方程（2.7）的两侧乘以δ（n）v，表明序列nc e{u（n）IJ（t，S）}n的某种形式的收敛≥需要0（λ（t，S，x）与n无关）。由于产品形式ρ（n）IJ^u（n）IJ的有效订单到达强度ar e，我们需要施加额外的条件来保证漂移的收敛性和价格过程的波动性。

预期的风险和出价增量由市场订单和差价配售到达密度之间的差异表示为|δ（n）x|-1.ρ（n）IM（S）u（n）IM（t，S）- ρ（n）IL（S）u（n）IL（t，S）.这可以重新写入（n） I（S）u（n）IM（t，S）+ρ（n）IL（S）β（n）I（t），其中（n） I（S）：=|δ（n）x|-1.ρ（n）IM（S）- ρ（n）IL（S）和^β（n）I（t）：=|δ（n）x|-1.^u（n）IM（t，S）- u（n）IL（t，S）. （2.10）这种表述激发了以下两个条件。第一个条件保证上述两个总和的第一个因子收敛到连续极限。条件2.10 i）函数（ρ（n）IJ，（n） I）一致有界。ii）函数{（ρ（n）IJ，（n） I）}n≥0一致收敛于Lipschitz连续函数（ρIJ，一） 。作为上述条件的直接结果，我们得到ρI：=ρIM=ρIL。（2.11）第二个条件保证重新缩放的（净）到达率收敛到连续极限。鉴于（2.10），这意味着平均而言，差价配售和市场订单的可能性相等：uI：=uIM=uIL。（2.12）条件2.11 i）存在常数C>0，因此对于任何p∈ {1，2，4}，支持∈[0，T]，S∈Sn |u（n）（t，S）+β（n）I（t，S）+kλIK（t，S，·）kLpo≤ C、 （2.13）对于任何>0，t，t′∈ [0，T]，S，S′∈ Sk^λIK（t′，S′，·+）-λIK（t，S，·）kLp≤ C（+| t- t′|+kS- S\'kS）。（2.14）ii）存在Lipschitz连续函数^uIJ（t，S）和^βI（t，S）uch，支持∈[0，T]，S∈Sn |^u（n）IJ（t，S）- ^uIJ（t，S）|+^β（n）I（t，S）-^βI（t，S）o→ 0。（2.1.5）它主要用于说明霍克斯核的缩放条件。

与马尔可夫情形相比，预期价格增量包括以下附加项（直至乘法有界过程ρ（n）），这些附加项是由过去事件对主动订单到达动力学的影响引起的：θ（n）I，ij（t）：=|δ（n）x|-1.φ（n）IM，ij（t）- φ（n）IL，ij（t）和Θ（n）I，ik（y，t）：=|δ（n）x|-1.Φ（n）IM，ik（y，t）- Φ（n）IL，ik（y，t）.下一个条件说明了Hawkes核的正则性条件，该条件规定了过去事件对限制订单投放和取消到达的影响，并保证了（resca le d）Hawkes核的收敛性，该核规定了过去事件对价格的影响，使其收敛到有效的正则函数。条件2.12 i）存在常数C>0，因此对于任何>0，p∈ {1，2，4}支持∈[0，T]，y∈RnkψIK，ij（·，t）kLp+kψIK，IK（·，y，t）kLpo<Candsupt∈[0，T]，y∈RnkψIK，ij（·+，t）- ψIK，ij（·，t）kLp+kψIK，IK（·+，y，t）- ψIK，IK（·，y，t）kLpo≤ C。ii）函数κ（n）（y，t）：=φ（n）IJ，IJ（t），Φ（n）IJ，IJ（y，t），θ（n）I，ik（t），Θ（n）I，ik（y，t）一、 我∈一、 J∈J，k∈ Kare一致有界并一致收敛于函数κ（y，t）=（φIJ，IJ（t），ΦIJ，IJ（y，t），θI，ik（t），ΘI，ik（y，t））I，I∈一、 J∈J，k∈ K在时间变量中一致Lipschitz连续：supt∈[0，T]，y∈R |κ（n）（y，t）- κ（y，t）|→ 0。（2.16）根据θ（n）I，ijandΘ（n）I，ik的定义，上述条件意味着相同侧盘订单和价差配售的限制影响是相同的：φI，ij：=φIM，ij=φIL，ijandΦI，ik：=ΦIM，ik=ΦIL，ik。2.3.2极限系统解的存在唯一性letαIL=νIL（ez- 1） ，αIC=νIC（e-z- 1） 和▄φIi=φI，iM+φI，iL，▄ψIK，I=ψIK，iM+ψIK，iL，▄θIi=θI，iM+θI，iL。这里▄φII测量活动事件对自身的总影响。此外，ψIK、i和θii分别衡量活跃期对被动事件和价格动态的总体影响。