Hawkes过程驱动的极限订货簿的缩放极限

为了说明本文的主要结果，我们进一步引入了函数β（n）I（t）：=δ（n）xu（n）IM（t）- u（n）IL（t）（2.17）和d（n）（t，S）：=|δ（n）x |u（n）ij（t，S），δ（n）vλ（n）ik（t，S，·）我∈一、 j∈J，k∈K、 （2.18）前面的向量D（n）（t，S）属于空间D：=R×L（R；R+）∩ L（R；R+）对于每n∈ N、 当赋予范数k·kD1,2：=k·kD+k·kD，其中k·kDpq（p，q∈ Z+）定义为任何D：=（D，···，D）∈ D bykDkpDpq=Xk=1 | Dk | p+Xk=5kDkkpLq。我们现在准备陈述本文的主要结果。其证明见下文第4-5节。定理2.13假设条件2.9-2.12成立。然后S（n），D（n），β（n）a，β（n）b=> （S，D，βa，βb）在D（R+，S×D×R）中较弱，其中S=（Pa，Pb，Va，Vb）和D=（uij，λik）i∈一、 j∈J，k∈Kwithui：=uiM=uiLfor i∈ 一、 此外，极限是以下随机动力系统的解：Pa（t）=Pa（0）+Zthρa（S（S））βa（S）+a（S）ua（S）ids+Ztp2ρa（S）ua（S）dBa（S），Pb（t）=Pb（0）-Zthρb（S（S））βb（S）+b（S（S））ub（S）ids+Ztp2ρb（S（S））ub（S）dBb（S），Va（t，x）=Va（0，x）+ZthαaLλaL（S，x- Pa（s））+αaCλaC（s，x- Pa（s））Va（s，x）ids，Vb（t，x）=Vb（0，x）+ZthαbLλbL（s，Pb（s）- x） +αbCλbC（s，Pb（s）- x） Vb（s，x）ids，（2.19），其中（Ba，Bb）是标准的二维布朗运动，uI（t）=uI（t，s（t））+Xi∈IZt▄φIi（t- s） ρi（s（s））ui（s）ds+Xi∈一、 k级∈KZtZRΦI，ik（y，t- s） λik（s，y）dsdy，（2.20）λik（t，x）=^λik（t，s（t），x）+Xi∈IZt？ψIK，i（x，t- s） ρi（s（s））ui（s）ds+Xi∈一、 k级∈KZZRψIK，IK（x，y，t- s） λik（s，y）dsdy，（2.21）βI（t）=^β（t，s（t））+Xi∈IZt￠θIi（t- s） ρi（s（s））ui（s）ds+Xi∈一、 k级∈KZtZRΘI，ik（y，t- s） λik（s，y）dsdy。（2.22）备注2.14由于系统（2.20）-（2.21）可被视为线性Volterra-Fredholm积分方程的解（见【12】），因此极限强度可根据递归定义的线性描述近似。

为了看到这一点，让我们用l（dz）=1R（z）dz+1表示∞（dz）R上的度量：=R∪ {+∞}, putLpl（\'R，R）：=nf：\'R 7→ R：kf kpLpl：=ZR | f（z）| pdz+f(∞) < ∞o定义线性算子{T=T（x，y，S，T，S）：S∈ S、 0个≤ s≤ t<∞} 从Ll（\'R，R）到Ll（\'R，R）byT：=§φIi（t- s） ρi（s）1（x，y）=(∞,∞)一、 我∈我ΦI，ik（y，t- s） 1（x，y）∈(∞,R）一、 我∈我k∈KИψIK，i（x，t- s） ρi（s）1（x，y）∈（R，∞)一、 我∈我k∈KψIK，IK（x，y，t- s） 1（x，y）∈（右，右）一、 我∈我K、 K级∈K6×6.设^D（t，S，x）=（^uI（t，S）1x=∞,λIK（t，S，x）1x∈R） 我∈一、 K级∈K、 然后，D（t，x）=^D（t，S（t），x）+ZtdsZ'RT（x，y，S（S），t，S）D（S，y）l（dy）。（2.23）该线性Volterra-Fredholm积分方程的解由D（t，x）=^D（t，S（t），x）+ZtdsZ'RT（x，y，S，t，S）^D（S，S（S），y）l（dy）给出，其中t（x，y，S，S，t）=P∞k=1Tn（x，y，S，t，S）和t（x，y，S，t，S）=t（x，y，S（S），t，S）Tn（x，y，S，t，S）=ZtsdrZ？RTn-1（x，z，S，t，r）t（z，y，S（S），r，S）l（dz）=ZtsdrZ？RT（z，y，S（r），t，r）Tn-1（x、z、S、r、S）l（dz）。因此，极限强度可以用递归定义的算子Tn来近似。形式（2.19）-（2.22）的随机系统的解的唯一性通常是一个开放的问题。以下定理在价格动态的轻度附加条件下建立了唯一的ss结果。例如，如果ρI（S）=（pa），则满足该条件- pb）+和kIk∞≥ 1、这意味着利差具有严格的正性，从中我们将推导出（2.19）-（2.22）解的强唯一性，并将我们的LOB模型定律中的henceconvergence推到唯一极限。定理2.15假设定理2.13中的条件成立，并且对于任何∈ S带PA- pb级∈ （0，）have0<ρI（S）≤ 一（S）（pa）- pb），I∈ 我

（2.24）则（2.19）-（2.22）存在唯一的强解。2.3.3示例和讨论我们的模型预测，订单到达之间的相互依赖以及限额订单的增加和取消会增加价格波动。此外，订单到达量的交叉依赖性可能会在小时间段内产生价格增量的正相关，从而形成波动聚类，如以下示例所示。示例2.4让我们考虑单侧订单模型，其中P（t）=P（0）+Ztp | P（s）|u（s）dB（s），（2.25）u（t）=σ+Ztφ（t- s） | P（s）|u（s）ds。（2.26）风险中性概率测度下几何布朗运动模型的基准情况对应于核φ（t）≡ 在这种情况下，原木价格过程的平方增量是不相关的。现在让我们f>0，将log P（·）：=log P（·+）- 记录P（·）并假设≥0φ（t+r）φ（t）>C（r）>0。对于指数核C（r）=e的特殊情况-r对于φ（t）=√1+t我们有C（r）=O（r）。那么，对于和rsmall足够，对于所有0≤ r≤ r、 Cov公司((log P（t））(log P（t+r）））≈ Cov公司Ztφ（t- s） | P（s）|u（s）ds，Zt+rφ（t+r- s） | P（s）|u（s）ds≥ C（r）VarZtφ（t- s） | P（s）|u（s）ds-Ztφ（t- s） E[| P（s）|u（s）]dsZrφ（r- s） E[| P（t+s）|u（t+s）]ds>0。为了简单起见，我们忽略了ρ过程的有界性假设。事实上，这一假设可以减弱为局部有界过程。对于霍克斯核的特定选择，价格动态可以用封闭形式给出。例2.5再次考虑例2.4的价格动态。

对于指数核φ（t）=e-κtandκ>0，很容易看出（2.26）可以重写为eκtu（t）=σ+Zteκs | P（s）|u（s）ds。将It^o公式应用于（| P（t）|，u（t）），我们得到了| P（t）|=| P（0）|+Zt | P（s）|u（s）ds+Zt2 | P（s）| Pu（s）dB（s），u（t）=σ+Zt[κσ+（| P（s）|- κ） u（s）]ds。求解第二个方程，u（t）=σexpZt（| P（r）|- κ） dr公司+ κσZtexpZts（| P（r）|- κ） dr公司ds。我们用一个简单的例子来结束这一部分，在这个例子中，一本单面书的动态可以用closedform表示。示例2.6让我们考虑由以下定义的单面订单：P（t）=P（0）+Ztpu（s）dB（s），V（t，x）=V（0，x）+Zt[λ（s，x）- λ（s，x）V（s，x）]dsandu（t）=P（t）|+Ztφ（t- s） u（s）ds+ZtZRrπφ（t- s） e类-yλ（s，y）dsdy，λ（t，x）=P（t）| e-x+Ztφ（t- s） e类-xu（s）ds+ZtZRrπφ（t- s） e类-x个-yλ（s，y）dsdy。求解这些方程，我们得到P（t）=P（0）+Ztp | P（s）|+K* |P |（s）dB（s），V（t，x）=1+[V（0，x）- 1] 经验值-e-xZt公司|P（s）|+K* |P |（s）ds公司,哪里* 表示卷积算子，K（t）是唯一解toK（t）=φ（t）+K* φ（t）。当φ（t）为常数、指数核或γ核时，则k（t）=2ce2ct，如果φ（t）=c；2ce-(κ-2c）t，如果φ（t）=ce-κt；√2ce-κ钦(√2ct），如果φ（t）=ce-κtt。3积累点的唯一性在本节中，我们在定理2.15的假设下，证明了随机动力系统（2.19）-（2.22）解的路径唯一性。我们首先证明了利差P（t）：=Pa（t）的正性- Pb（t）。然后用这个结果证明解的唯一性。在下面的内容中，我们假设对于任何S，P（0）>0且μI（0，S）>0∈ S、 3.1扩散的积极性我们从以下简并扩散过程非负性的简单结果开始。

证明直接从样本路径的连续性开始。引理3.1设x（0）>0为F-可测随机变量，b（t，x）∈ R和σ（t，x）≥ 0 be（Ft）渐进过程，使得扩散过程x（t）=x（0）+Ztb（s，xs）ds+Ztσ（s，xs）dB（s），（3.1）得到充分定义和持续。如果b（t，x）≥ 对于任何x，0和σ（t，x）=0≤ 0，然后P{x（t）≥ 0，t≥ 0} = 1.推论3.2（非价格交叉）假设条件2.8成立。然后，对于随机动力系统（2.19）-（2.22）的任何解（S，D，βa，βb），我们有P{P（t）≥ 0:t≥ 0} = 1.此外，如果a（S）+对于任何S，b（S）>0∈ 当pa=pb时，则过程{P（t）：t≥ 0}反映为零。证据当pa≤ pb，条件2.8表示ρa（S）=ρb（S）=ρ（n）aL（S）=ρ（n）bL（S）=0以上，（2.1 0）表示（n） I（S）=ρ（n）IM（S）- ρ（n）IL（S）δ（n）x=ρ（n）IM（S）δ（n）x≥ 0和I（S）=limn→∞（n） 一（S）≥ 第一句话来自引理3.1。对于第二种说法，定义τ-= inf{t≥ 0：(R)P（t）=0}和τ+=inf{t>τ-:\'P（t）>0}。必须证明τ+=τ-几乎是纯粹的。从P的连续性，我们得到P{P（t）=0:t∈[τ-, τ+]} = 1. 假设τ+（ω）>τ-（ω） 对于某些ω∈ Ohm. 然后，使用thatua，ub>0a（S）+对于任何S，b（S）>0∈ 当Pa=Pb时，对于任何t>0，我们都有'P（（τ-+ t）∧ τ+=Z（τ-+t）∧τ+τ-h类a（S）ua（S）+b（S）ub（S）ID>0。这与τ+（ω）>τ的假设相矛盾-（ω） 从而证明了预期的结果。我们从下面的引理出发，从中我们将推导出扩散的严格正性。引理3.3设x（0）>0为F-可测随机变量，a（t）≥ c（t）≥ 0，b（t）∈ R是（Ft）渐进过程。如果{（x（t），B（t））：t≥ 0}是以下随机方程的弱解：x（t）=x（0）+Zt（a（s）- b（s）x（s））ds+Ztp2c（s）x（s）dB（s），（3.2），然后P{x（t）>0，t≥ 0} = 1 .证据

将It^o公式应用于^z（t）：=eRtb（s）dsx（t），我们得到了^z（t）=x（0）+Zta（s）eRsb（r）drds+Ztp2c（s）eRsb（r）drdB（s）=x（0）+Zta（s）eRsb（r）drds+Ztp2c（s）eRsb（r）drdB（s）。设τt为严格递增过程，定义如下：τt：=Zt[c（s）+1{c（s）=0}]eRsb（r）drds。设σt：=τ-1吨。ndσt=e-Rσtb（R）drc（σt）+1{c（σt）=0}dt和z（t）：=^z（σt）满足以下等式：z（t）=x（0）+zσta（s）eRsb（R）drds+zσtp2c（s）^z（s）eRsb（R）drdB（s）=x（0）+Zta（σs）eRσsb R（R）drdσs+Ztp2c（σs）eRσsb（R）drdB（σs）=x（0）+Ztha（σs）c（σs）{c（σs）>0}+a（σs）1{c（σs）=0}ids+Ztq2·1{c（σs）>0}z（s）qeRσsb（R）dr[c（σs）+1{c（σs）=0}]dB（σs）。显然，W（t）：=RtqeRσsb（r）dr[c（σs）+1{c（σs）=0}]dB（σs）是标准的布朗运动，（z（t），W（t））是z（t）=z（0）+Ztha（σs）c（σs）{c（σs）>0}+a（σs）1{c（σs）=0}ids+Ztq2·1{c（σs）>0}z（s）dW s的弱解。（3.3）自≥ cs，比较定理[36，定理1.1]得出P{z（t）≥ ~z（t），t≥ 0}=1，其中▄z（t）是▄z（t）=z（0）+Zt{c（σs）>0}ds+Ztq2·1{c（σs）>0}▄z（s）dW（s）的唯一解。从[34，p.442]，p{z（t）>0，t≥ 0} = 1. 因此，所需结果来自于▄z的定义。命题3.4假设定理2.15中的条件成立。然后，随机动力学系统（2.19）-（2.22）S的任何解（S，D，βa，βb）{Pa（t）>Pb（t），t≥ 0} = 1.证据对于任何S∈ S带pa- pb>0，（2.24）产率，ρa（S）：=ρa（S）pa- pb级≤ a（S）和ρb（S）：=ρb（S）pa- pb级≤ b（S）。

（3.4）设B′（s）是另一个依赖于Ba/带putW（t）的布朗运动指数：=Zt{ρa（s（s））ua（s）+ρB（s（s））uB（s）>0}pρa（s）ua（s）+pρB（s））uB（s）dBb（s）pρa（s））ua（s）+ρB（s（s）uB（s）+Zt{ρa（s（s））ua（s））+ρB（s（s））uB（s）=0}dB′（s）。那么，W（t）是标准的布朗运动，且‘P（t）满足，’P（t）=‘Pa（0）+Ztha（S）ua（S）+b（S（S））ub（S）+ρa（S（S））βa（S）+ρb（S（S））βb（S）ids+Ztp2ρa（S（S））ua（S）dBa（S）+Ztp2ρb（S））ub（S）dBb（S）=Pa（0）+Ztha（S）ua（S）+b（S）ub（S）+ρa（S）βa（S）+ρb（S）βb（S）ids+Ztpρa（S）ua（S）+ρb（S）ub（S）1{ρa（S）ua（S）+ρb（S）ub（S）>0}×pρa（S）ua（S）dBa（S）+pρb（S）ub（S）ρa（Sua（S）+ρb（S））ub（S）=p（0）+Ztha（S）ua（S）+b（S）ub（S）+（ρa（S）βa（S）+ρb（S）βb（S））’P（S）ids+Ztq2[ρa（S））ua（S）+ρb（S）ub（S）]P（S）dW（S）。因此，期望的结果来自（3.4）和引理3.3。3.2路径唯一性我们现在要证明随机动力系统（2.19）-（2.22）解的唯一性。从条件2.10-2.12中，我们可以看到存在一个常数C>0，这样对于任何t∈ [0，T]，S∈ S、 y型∈\'R |ρI（S）|+|I（S）+βI（t，S）+uI（t，S）+κ（y，t）≤ C、 （3.5）根据这一点，（2.20）-（2.21）和Gr–onwall的不等式，我们得到了kD（t）kD≤ C+CZtkD（s）kDds和supt∈[0，T]kD（T）kD≤ C、 （3.6）定理2.15的证明：根据[25，定理1.1，p.163-166]，分布存在性和路径单序单强存在性。必须证明路径唯一性是存在的。定义D：=（|uI，|λIK）I∈一、 J∈ J，K∈Kand▄βI：=βI-^βI，其中uI=uI- ^uI和∧IK=λIK-^λIK。

n（2.20）-（2.22）可写为|uI（t）=Xi∈IZt▄φIi（t- s） ρi（s（s））（|ui（s）+^ui（s，s）））ds+Xi∈一、 k级∈KZtZRΦI，ik（y，t- s） （∧ik（s，y）+^λik（s，s，y））dsdy，∧ik（t，x）=Xi∈IZt？ψIK，i（x，t- s） ρi（s（s））（|ui（s）+^ui（s，s）））ds+Xi∈一、 k级∈KZZRψIK，IK（x，y，t- s） （∧ik（s，y）+^λik（s，s（s），y））dsdy，？βI（t）=Xi∈IZt￠θIi（t- s） ρi（s（s））（|ui（s）+^ui（s，s）））ds+Xi∈一、 k级∈KZtZRΘI，ik（y，t- s） （λik（s，y）+λik（s，s，y））dsdy。假设（S（1），~D（1），β（1）a，β（1）b）和（S（2），~D（2），β（2）a，β（2）b）是两个解。Let（\'S，\'D，\'βa，\'βb）：=（S（1），～D（1），～β（1）a，～β（1）b）- （S（2），～D（2），～β（2）a，～β（2）b）。根据（3.6）a和ρI的L ipschitz连续性，我们推导出k'D（t）kD+|βI（t）|≤ CZt[k（S）kS+k（S）kD]ds。（3.7）通过H¨olde r不等式，|(R)λIK（t，x）|≤ CXi公司∈IZt |ψIK，i（x，t- s） | |ρi（s（1）（s））- ρi（S（2）（S））| ds+CXi∈IZt |ψIK，i（x，t- s） |[|ui（s）+ui（s，s（1）（s））- ^ui（s，s（2）（s））|]ds+CXi∈一、 k级∈KZtdsZR |λik（s，y）| dyZR |ψik，ik（x，y，t- s） | |λik（s，y）| dy+CXi∈一、 k级∈KZtdsZR |ψIK，IK（x，y，t- s） | |^λik（s，s（1）（s），y）-λik（s，s（2）（s），y）| dy×ZR |λik（s，s（1）（s），y）-^λik（s，s（2）（s），y）| dyandk'λik（t，·）kL≤ CZt[| S（S）| S+k（S）kD]ds。为了估计价格差异范数的平方，我们表示，对于任何ε>0，τε：=inft型≥ 0:q2ρI（S（l）（S））u（l）I（S）≤ ε、 我∈ 一、 l=1，2.从命题3.4和ρIandu（l）I的连续性（见（2.14）和（2.20）），我们可以看到τε→ ∞ a、 s.asε→ 因此，考虑t就足够了∈ [0, τε].