矩阵值因子模型的长期最优投资

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英文标题：
《Long Term Optimal Investment in Matrix Valued Factor Models》
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作者：
Scott Robertson, Hao Xing
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Long term optimal investment problems are studied in a factor model with matrix valued state variables. Explicit parameter restrictions are obtained under which, for an isoelastic investor, the finite horizon value function and optimal strategy converge to their long-run counterparts as the investment horizon approaches infinity. This convergence also yields portfolio turnpikes for general utilities. By using results on large time behaviour of semi-linear partial differential equations, our analysis extends affine models, where the Wishart process drives investment opportunities, to a non-affine setting. Furthermore, in the affine setting, an example is constructed where the value function is not exponentially affine, in contrast to models with vector-valued state variables.
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中文摘要：
研究了具有矩阵值状态变量的因子模型中的长期最优投资问题。对于等弹性投资者，当投资期接近无穷大时，有限期价值函数和最优策略收敛到其长期对应的参数约束。这种融合还产生了一般公用事业的投资组合收费公路。通过使用关于半线性偏微分方程大时间行为的结果，我们的分析将Wishart过程驱动投资机会的仿射模型扩展到非仿射环境。此外，在仿射设置中，构造了一个值函数不是指数仿射的示例，与具有向量值状态变量的模型相比。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Long_Term_Optimal_Investment_in_Matrix_Valued_Factor_Models.pdf (429.67 KB)

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关键词：Mathematical Quantitative Differential Restrictions mathematica

矩阵值因子模型Scott ROBERTSON和HAO XINGAbstract的长期最优投资。研究了具有矩阵值状态变量的因子模型中的长期最优投资问题。获得了明确的参数限制，对于等弹性投资者，随着投资期限的接近，有限期价值函数和最优策略将收敛到其长期对应项。这种融合还产生了一般公用事业的投资组合收费标准。通过使用关于半线性偏微分方程大时间行为的结果，我们的分析将Wishart过程驱动投资机会的a ffene模型扩展到了非a ffene环境。此外，在a ffine设置中，构建了一个示例，其中valuefunction不是指数函数，与具有向量值状态变量的模型相比。当投资机会随机且市场不完全时，投资组合选择问题中的最优策略很少采用明确形式s。困难的主要来源是套期保值需求严重依赖于投资期限。这一困难激发了近似的最优策略，并且通过考虑长期运行限制，出现了一个有用的近似值。这种近似使最优策略具有可操作性，并阐明了投资者偏好、潜在经济因素和动态资产需求之间的关系。

长期近似通常有两种形式：第一，长期最优投资或风险敏感控制问题旨在确定等弹性公用事业的增长优化政策；其次，portfolioturnpike问题寻求将一般公用事业的最优政策与相应的等弹性公用事业的最优政策联系起来。本文在一个多资产因素模型中研究了长期最优投资和投资组合收费公路问题，其中状态变量取正定义空间中的值。这些模型推广了Wishart模型[8，27]（以及许多其他模型），该模型已成功应用于数学金融领域的广泛问题。除了确定最佳的长期政策和巡回收费公路项目外，我们还特别关注将有限期和长期问题联系起来。在这里，目标是提供条件，使有限期的最佳政策与其长期对应政策趋同。这个方向上的积极结果对于验证长期分析是必要的。虽然启发法表明了趋同，但从技术角度来看，长期政策是否会作为有限期政策的限制而出现尚不明确。对于等弹性效用，风险敏感控制或长期最优投资，问题旨在使预期效用增长率最大化。许多作者已经解决了这个问题：日期：2018年1月21日。关键词和短语。投资组合选择、长期、风险敏感控制、投资组合收费公路、Wishart流程。2矩阵值因子模型的长期最优投资，例如，[5、6、4、17、18、35、16、39、13、23、26]。在这些研究中，分析了一个遍历的Hamilton-JacobiBellman（HJB）方程。

该遍历方程通常通过启发式推理获得，其中首先推导出有限水平HJB方程，然后推测在长水平上（约化）值函数分解为空间分量和时间增长分量之和。因此，如果v（T，·）表示有限水平值函数，则长运行值函数的形式为λT+v（·）。然后遍历HJB方程通过将后一个函数替换为有限水平HJB方程。上述启发式推导表明，有限期和无限期最优投资问题在许多方面是平行的。最重要的是将这两类问题联系起来。随着投资期限T的接近，期限价值函数v（T，·）是否会收敛到其长期模拟值λT+v（·）？如果是，在什么意义上？有限期问题的最优策略是否收敛到长期极限？如前所述，对这些问题的肯定回答验证了风险敏感控制研究的直觉，并提供了有限期和长期问题之间的一致性。远离等弹性情形，投资组合收费公路为一般效用函数的最优策略提供了另一种近似。从定性上讲，收费公路定理表明，在成长型市场（即无风险资产趋于成熟的市场）中，随着投资范围变大，一般公用事业的最优交易策略在任何有限的时间窗口内都会收敛到其等弹性对应物的最优交易策略（有关“对应物”的精确公式，请参见假设2.8）。

命题3.2提供了简单、温和的参数限制（尤其是在投资者风险厌恶程度超过单一投资者的情况下），主要结果如下。当模型进一步指定为[8，27]中考虑的“经典”Wishart模型时，Proposition 3.3明确确定了长期限额政策，示例3.4构建了非指数反例。在考虑Wishart情况后，第3.2节给出了一般矩阵值状态变量的主要结果：长期极限结果见定理3.10，收费公路结果见定理3.12。所有的证明都推迟到附录A、B和C。最后，我们总结了本文中使用的几种符号：oMd×kde表示d×k矩阵的空间，其中Md：=Md×d。对于x∈ Md×k，用x′表示x的转置。对于x∈ Md，用Tr（x）表示x的轨迹，kxk=pTr（x′x）。Forx，y∈ Md，x和y的克罗内克积用x表示 y∈ Md.用1 Md中的身份矩阵和1每个分量的d维向量表示Sd表示d×d对称矩阵的空间，Sd++表示正定义矩阵的锥。对于x∈ Sd++，表示为√x唯一元素y∈ Sd++使得y=x。对于x，y∈ Sd++，x≥ x时为y- y为正半定义。o对于E Md×k，F Mm×n和γ∈ （0，1），用C表示l,γ（E；F）的空间l 从E到F的时间连续可微函数，其阶导数高达l 指数γ为局部H¨older连续。2、设置upLet(Ohm, （Ft）t≥0，F，P）是具有（Ft）t的过滤概率空间≥0a右侧连续过滤。在【22】中进行处理后，所有可忽略的N组（参见【3，定义1.3.23】和【40】）都包含在F中。

对于所有的≥ 0，即(Ohm, （英尺）0≤t型≤T、 FT，P）满足通常条件。考虑一个具有一项无风险资产和n项风险资产（S，…，Sn）的财务模型。投资机会由Sd++值的状态变量X驱动。在写下矩阵值因子模型中4项长期最优投资的动态之前，有必要引入状态变量X，因为X的动态涉及矩阵表示法。2.1. 一个Sd++值的状态变量。设B=（Bij）i，j=1，。。。上的一个Md值布朗运动(Ohm, （Ft）t≥0，F，P）。状态变量X具有动力学（2.1）dXt=b（Xt）dt+F（Xt）dBtG（Xt）+G（Xt）′dB′tF（Xt）′，X∈ Sd++。这里，b∈ C1、γ（Sd++；Sd）和F、G∈ C2、γ（Sd++；Md）是给定的函数。我们需要b、F、G来证明X具有唯一的非爆炸性stron G溶液，即PxhXt∈ Sd++， t型≥ 0i=1，对于所有x∈ Sd++，其中px是X=X a.s.的概率。。为了通过对b、F和G的限制来强制执行该要求，使用了结果和符号[37]。即定义（2.2）f（x）：=f f′（x）和g（x）：=g′g（x），x∈ Sd++。接下来，给定b，f，g:Sd++→ Sdandδ∈ R、 定义Hδ：Sd++→ R通过（2.3）Hδ（x；b）：=Trb x-1.- （1+δ）Tr外汇-1gx-1.- Tr公司f x-1.Tr公司g x-1., x个∈ Sd++。这里，我们省略了b、f、g中的函数参数，但t明确地确定了Hδ中的d riftfunction b，因为在续集中，Hδ将与各种b一起使用。要理解Hδ，请注意，如果（2.1）中的X有一个满足（2.1）的强解，那么它的o\'s公式意味着log（det（Xt））的动力学漂移是H（Xt；b）。因此，以下假设确保（2.1）中的X既不是范数爆炸，也没有退化确定性，因此具有唯一的全局强解（Xt）t∈Sd++上的R+，cf。

[37，定理3.4]。假设2.1。i） G′ F和b是局部Lipschitz和线性增长。ii）infx∈Sd++H（x；b）>-∞.备注2.2。使用【28，第4.2节】进行的直接计算表明，kg′ F（x）- G′ F（y）k≤ 2.kG（x）kkF（x）- F（y）k+kF（y）kkG（x）- G（y）k,千克\' F（x）k=kF（x）kkG（x）k=Tr（F）Tr（g），对于x，y∈ Sd++。因此，G′F将是局部Lipschitz，一旦F和G是局部L ipschitz和KF（x）kkG（x）k，则F将是线性增长的≤ C（1+kxk）或等效，如果Tr（f）Tr（g）≤ C（1+kxk）。假设2.1建立了（2.1）的适定性。下一个假设意味着X的波动性在Sd++内部是非退化的。假设2.3。对于每个x∈ Sd++，f（x）>0，g（x）>0。实际上，请注意（2.1）是以下g系统的简写：dXijt=bij（Xt）dt+dXk，l=1F（Xt）ikdBkltG（Xt）lj+dXk，l=1F（Xt）jkdBkltG（Xt）li，i，j=1。。。，d、 矩阵值因子模型5的长期最优投资，对于i，j=1。。。，确定矩阵aij:Sd++→ Mdbyaijkl（x）：=（FikGlj+FjkGli）（x），k，l=1。。。，d、 x个∈ Sd++。然后，上述系统采用dxijt=bij（Xt）dt+Tr的形式aij（Xt）dB′t.然后[43，引理5.1]表明，在假设2.3下，对于任何x∈ Sd++和θ∈ Sd，（2.4）dXi，j，k，l=1θijTraij（akl）\'（x） θkl=4Tr（f（x）θg（x）θ）≥ c（x）kθk，对于某些常数c（x）>0。示例2.4。要记住的主要示例是，当X是Wishart进程时，请参见[7]：（2.5）dXt=LL′+KXt+XtK′dt+pXtdBt∧′+dB′tpXt，其中K，L，∧∈ Md.那么当（2.6）LL′时，假设2.1和2.3均满足≥ （d+1）∧∧′>0。实际上，这里b（x）=LL′+Kx+xK′，f（x）=x，d g（x）=∧∧′。使用备注2.2得出b，G′F是局部Lipschitz和线性增长。此外，计算表明，H（x；b）=Tr（LL′）- （d+1）∧∧′x-1.+2Tr（K）。因此，（2.6）中的第一个不等式意味着H（x；b）≥ Sd++上的2Tr（K），假设2.1成立。

假设2.3很容易遵循（2.6）中的第二个不等式。2.2. 财务模型。有了固定的符号和状态变量的适定性，我们现在可以定义财务模型。如上所述，有一个无风险资产和n个风险资产（S，…，Sn），其动态由dstst=r（Xt）dt，S=1，（2.7）dSitSit=（r（Xt）+ui（Xt））dt+mXj=1σij（Xt）dZjt，Si>0，i=1。。。，n、 （2.8）此处，r∈ Cγ（Sd++；R），u∈ C1，γ（Sd++；Rn），σ∈ C2，γ（Sd++；Mn×m）和Z=（Z，…，Zm）是一个rm值布朗运动。σ是满秩的，以及风险市场价格的存在，即ν：Sd++→ Rn从而通过以下假设确保Sd++上的u=σσ′ν：假设2.5。i） 当m>n时，∑（x）：=σσ′（x）>0表示x∈ Sd++。则ν：=∑-1u.ii）当m<n时，x的σ′σ（x）>0∈ Sd++存在ν∈ C1，γ（Sd++；Rn），使得u=∑ν。iii）当m=n时，x的∑（x）>0∈ Sd++和σ=√Σ. 这里，ν=∑-1u.为了考虑资产回报和状态变量之间潜在的随机瞬时相关性，我们根据驱动X的布朗运动B和独立的rm值布朗运动W来定义Z。具体来说，让C∈ C2、γ（Sd++；Mm×d）和ρ∈ C2，γ（Sd++；Rd）是矩阵值因子模型中的长期最优投资方案2.6。ρ′ρ（x）CC′（x）≤ 每x 1∈ Sd++。D组：=√m级-ρ′ρCC′∈ C2，γ（Sd++；Sd）。我们可以通过（2.9）Zjt来定义Z：=dXk，l=1ZtCjk（Xu）dBkluρl（Xu）+mXk=1ZtDjk（Xu）dWku，t≥ 0，j=1。。。，m、 通过构造，Z是m维布朗运动。此外，对于1，Z和B之间的瞬时相关性为dhZj，Bklit=Cjk（Xt）ρl（Xt）dt≤ j≤ m、 1个≤ k、 l≤ d、 特别是，当m=d，C=1和ρ∈ Rdis常数，dhZi，Bjlit=δijρldt，其中δij=1表示i=j，其他为0。[8、27、2、42]中假设了这种特殊的相关结构。

这里，矩阵C引入了一般的相关结构，并允许其依赖于状态变量X.2.3。最优投资问题。考虑一个投资者，其偏好由概率函数U:R描述+→ 严格递增、严格凹、连续变化且满足INDA条件U′（0）=∞ 和U′(∞) = 特别是，我们特别关注具有恒定相对风险厌恶（此后CRRA）U（x）=xp/p的实用程序，0 6=p<1。从初始资本开始，该投资者在市场上交易，直到时间范围T∈ R+。她把自己财富的一部分（πt）t≤Tinto将风险资产和剩余部分转换为无风险资产。考虑到她的策略π，（2.7）和（2.8）中的价格动态意味着财富过程wπ具有动态（2.10）dWπtWπt=（r（Xt）+π′t∑（Xt）ν（Xt））dt+π′tσ（Xt）dZt。容许策略集是那些π是F适应的，并且使得Px[Wπt>0，t型≤ T]=1表示所有x∈ Sd++。在下面的（A.1）中，构造了正s超鞅M，使得M Wπ是任何可容许策略π的一个超鞅。在存在这种超鞅定义的情况下，套利被排除在模型之外（参见[33]）。投资者通过选择可接受的策略，即（2.11）e[U（WπT）]，寻求最大化其终端财富在T的预期效用→ Max.在本节的其余部分，我们将重点讨论CRR的最优投资问题，并通过启发式参数推导出相关的HJB方程。为此，通过（2.12）supπ容许值确定函数v的（减少）值p（WπT）pWt=w，Xt=x=pwpev（T-t、 x），0≤ t型≤ T、 w>0，x∈ Sd++。将L设置为（2.1）的最小生成器：（2.13）L：=dXi，j，k，L=1Traij（akl）\'D（ij），（kl）+dXi，j=1bijD（ij），矩阵值因子模型中的长期最优投资7，其中D（ij）=xijand D（ij），（kl）=xijxkl。

标准动态规划参数为v提供了以下HJB公式：tv=Lv+dXi，j，k，l=1D（ij）vTraij（akl）\'D（kl）v+pr+supπpπ′∑ν+dXi，j=1σCaijρD（ij）v+p（p- 1)π′Σπ, t>0，x∈ Sd++，0=v（0，x），x∈ Sd++。（2.14）前面方程中的op-timizerπ可以逐点获得，并由（2.15）π（t，x；v）给出：=1.-p∑-1.∑ν+Pdi，j=1σCaijρD（ij）v（t，x），m>n1-pσ（σ′σ）-1.σ′ν+Pdi，j=1CaijρD（ij）v（t，x），m≤ n、 t>0，x∈ Sd++。定义q：=p/（p- 1） 作为p和函数Θ：Sd的共轭++→ Sd++通过（2.16）Θ（x）：=σ′Σ-1σ（x）m>nmm≤ n、 x个∈ Sd++。将（2.15）中的π公式插入（2.14）中，经过长时间的计算，得出了v的以下半线性Cauchy问题：vt（t，x）=F[v]（t，x），0<t，x∈ Sd++，v（0，x）=0，x∈ Sd++。（2.17）这里，微分算子F定义为（2.18）F：=dXi，j，k，l=1A（ij），（kl）D（ij），（kl）+dXi，j=1'bijD（ij）+dXi，j，k，l=1D（ij）'A（ij），（kl）D（kl）+V，带A（ij），（kl）（x）：=Traij（akl）\'（x） ，\'A（ij），（kl）（x）：=Traij（akl）\'（十）- qρ′（aij）′C′Caklρ（x），\'bij（x）：=bij（x）- qν′σCaijρ（x），V（x）：=pr（x）-qν′∑ν（x），i，j，k，l=1。。。，d、 x个∈ Sd++。（2.19）注意，πin（2.15）和F in（2.18）根据m>n或m采取不同的形式≤ n（两种形式在m=n时重合），使用L f的定义，从（2.13）我们得到（2.20）f=L- qdXi，j=1ν′σCaijρD（ij）+dXi，j，k，l=1D（ij）(R)A（ij），（kl）D（kl）+V。在第3节中，在适当的参数假设下，证明了（2.17）的适定性，并证明了（2.17）的解V，在适当的增长约束下，是（2.12）中矩阵值因子模型的长期最优投资。此外，（2.12）的最优策略由（2.21）πTt：=π（T）给出- t、 Xt；v） ，0≤ t型≤ T、 对于π（·，·；v），从（2.15）开始。2.4. 长期收敛。