经验曲线如何预测技术进步？A方法

在获得一组预测误差后，我们计算了一些指标，例如预测误差的分布或均方预测误差，并将经验值与给定数据集大小和结构的预期值进行比较。为了知道我们期望发现什么，我们使用分析方法和替代数据程序。分析方法仅考虑推导预测误差分布的近似值。然而，后测程序会产生预测误差，对于单一技术而言，预测误差并非独立的。然而，在本文中，我们有许多短时间序列，因此问题在某种程度上是有限的（见附录A）。然而，我们通过使用代理数据过程来处理它：我们模拟许多类似于我们的数据集，并执行相同的分析，从而确定任何感兴趣的统计数据的抽样分布。2.3参数估计将符号简化一点，让Yt=Yt-年初至今-1和xt=xt- xt公司-1根据t周期内y和x的变化，我们从公式中估计Wright指数。（3） 通过原点运行OLS回归。假设我们有数据fortimes i=1。。。（m+1），最小化平方误差得到^ω=Pm+1i=2XiYiPm+1i=2Xi。（5） 将ωXi+ηifor Yi替换为ω=ω+Pm+1i=2XiηiPm+1i=2Xi。（6） 噪声的方差ση估计为回归标准误差ση=m- 1m+1Xi=2（Yi- ^ωXi）。（7） 为了进行比较，Farmer&Lafond（2016）中的单变量模型公式（4）中的参数估计得出了样本平均值和方差~ N（u，K）。有关预测能力测试的回顾以及评估方案如何影响预测者的讨论，请参见West（2006）和Clark&McCracken（2013）。在整篇论文中，当仅使用预测所依据的m+1年数据进行估计时，我们将使用hat符号来估计参数。

当我们提供全样本估计时，我们使用波浪符号。2.4预测误差让我们首先回顾一下单变量模型的预测误差。（4） ，预测误差的方差由（Sampson 1991，Clements&Hendry2001，Farmer&Lafond 2016）E【EM，τ】=K给出τ+τm, （8） 其中，τ是预测期，下标表示使用“Moore”模型获得的预测误差。结果表明，在最简单的模型中，由于未来噪声累积（τ）和估计误差（τ/m），预期平方预测误差会增加。这些术语稍后会再次出现，因此我们将使用缩写≡ τ+τm，（9）我们现在计算Wright模型预测者的方差。如果我们在时间t=m+1，展望未来的τ步骤，我们知道yt+τ=yt+ω（xt+τ- xt）+t+τXi=t+1ηi.（10）为了进行预测，我们假设x的未来值是已知的，即我们预测的成本取决于未来经验的给定增长。这是文献中的常见做法（Meese&Rogo Off 1983，Alberth 2008）。更正式地说，水平面τ处的点预测为^yt+τ=yt+^ω（xt+τ- xt）。（11） 预测误差是等式之间的差异。（10） 和（11），isEτ≡ yt+τ- ^yt+τ=（ω- ^ω）t+τXi=t+1Xi+t+τXi=t+1ηi。（12）我们可以得出预期的平方误差。由于Xis是已知常数，因此使用^ωfromEq。（6） 符号m+1=t，我们确定[Eτ]=σητ+Pt+τi=t+1XiPti=2Xi！。（13） 2.5比较Wright定律和Moore\'s lawSahal（1979）首次指出，在确定性极限下，累积产量呈指数增长和成本呈指数下降的组合产生了Wright定律。在这里，我们在噪声存在的情况下概括了这一结果，并展示了生产过程中的可变性如何影响这种关系。假设经验增长率为常数（Xi=r），且m=t-1，等式。

（13） 结果表明，Wright定律预测误差的方差与公式（8）中给出的Moore定律预测误差的方差完全相同，其中^K=^ση。为了了解经验增长率的影响如何影响预测误差，我们可以重写公式（13）asE[Eτ]=σητ+τm^r（f）σx，（p）+r（p）！，（14） 式中，^σx，（p）指过去经验增长率的估计方差，^r（p）指过去经验增长率的估计平均值，^r（f）指未来经验增长率的估计平均值。这表明经验波动率（σx）越高，预测误差越小。这来自一个简单、众所周知的回归分析因素：回归系数的高方差使斜率的估计更加精确。这里，ω估计中的高标准误差（由于低σx）减少了参数估计导致的预测误差方差部分，这与τ/m项有关。该结果表明，假设赖特定律是正确的，赖特定律预测效果良好（尤其是优于摩尔定律），最好让累积产量增长率产生很大的影响。不幸的是，对于我们的数据，通常情况并非如此。相反，经验累积产量遵循一个相当平稳的指数趋势。解释过去指的是时间（1，…，t）的数据，而未来指的是时间（t+1，…，t+τ）。本研究结果我们计算了累积产量的随机特性，假设产量是一个具有漂移和波动率σq的几何随机游走。

在附录B中，使用长时间限制的鞍点近似法，我们发现E【X】≡ r≈ g和Var【X】≡ σx≈ σqtanh（g/2），（15），其中tanh是双曲正切函数。我们使用人工生成的数据测试了这一非常简单的关系，我们发现它运行得相当好。这些结果表明，累积产量的增长速度与产量的增长速度相同。更重要的是，由于0<tanh（g/2）<1（此处我们假设g>0），累积产量的波动率低于产量的波动率。这并不奇怪：众所周知，集成就像一个低通滤波器，在这种情况下，使累积生产比生产更平稳。因此，如果生产遵循带有漂移的几何随机游走，那么经验就是一个平滑的版本，很难与外部指数趋势区分开来。当这种情况发生时，莱特定律和摩尔定律会产生类似的预测。这一理论结果与我们的案例相关，如图2和图3所示的生产和经验时间序列，以及与下表1所示的生产相比，经验的低波动性。2.6自相关我们现在转向基本模型的扩展。正如我们将看到的，数据显示了一些自相关的证据。继Farmer&Lafond（2016）之后，我们对模型进行了扩充，以考虑到Firstorder移动平均自相关。对于自相关摩尔定律模型（“1阶积分移动平均数”）yt- 年初至今-1=u+vt+θvt-1，Farmer&Lafond（2016）获得了预测误差方差的公式，当进行预测时，假设无自相关[EM，τ]=σvh- 2θ +1+2（m- 1） θm+θAi，（16），其中A=τ+τm（等式（9））。在这里，我们将这个结果推广到自相关赖特定律模型- 年初至今-1=ω（xt- xt公司-1） +ut+ρut-1，（17）其中ut~ N（0，σu）。我们将ρ视为已知参数。

此外，我们将假设所有技术都是相同的，我们将分别将其估计为每种技术的|ρj估计值的平均值（如下一节所述）。这是一个微妙的假设，但其动机是因为我们的许多时间序列太短，无法可靠地估计特定的ρj，并且假设ρ的通用已知值允许我们保持分析的可处理性。预测与以前完全一样，但现在的预测误差为τ=m+1Xj=2Hj[vj+ρvj-1] +t+τXT=t+1[vT+ρvT-1] ，（18）其中HJ定义为asHj=-Pt+τi=t+1XiPti=2XiXj。（19） 预测误差可分解为一组独立的正态分布变量之和，由此计算方差为Eτ=σuρH+mXj=2（Hj+ρHj+1）+（ρ+Hm+1）+（τ- 1)(1 + ρ)+ 1.（20） 当我们进行实际预测（第4节）时，我们将以未来累计产量的增长率为常数。如果我们还假设过去累积产量的增长率是恒定的，那么我们得到了Xi=r和thusHi=-τ/m表示所有i。正如Sahal\'sidenty所预期的那样，在该假设下简化公式（20）得到公式（16），其中θ被ρ代替，σvis被σu代替，E[Eτ]=σuh- 2ρ +1+2（m- 1） ρm+ρ人工智能。（21）在实践中，我们使用公式（7）计算ση，因此σu可以估计为σu=qση/（1+ρ），表明归一化误差Eτ/ση。要获得公式（21）的更多直觉，并提出一个简单易用的公式，请注意对于τ 1和m 1可近似为asEhEτση我≈(1 + ρ)1 + ρτ+τm.

（22）对于所有模型（有无自相关噪声的Moore和Wright），在确定预测误差的方差后，我们可以对其进行归一化，使其遵循标准正态分布τpE[Eτ]~ N（0，1）（23）在下面的内容中，我们将用其估计值替换ση，因此当E和^ση独立时，参考分布是学生分布。然而，对于小样本量m，学生分布只是一个粗略的近似值，如附录a所示，其中还表明，当方差已知时，或当方差被估计但不够大时，该理论运行良好。2.7比较不同预测水平下的摩尔定律和赖特定律本文的目的是比较摩尔定律和赖特定律的预测。为了使摩尔定律预测正常化，Farmer&Lafond（2016）使用了德尔塔对数成本时间序列^K的方差估计值，如等式所示。（8） ，即。M=EM/^K，（24）为了比较这两个模型，我们提出，赖特定律预测误差可以通过非常相同的值进行归一化W=EW/^K，（25）使用这种归一化，我们可以绘制每个预测期Moore和Wright模型的归一化均方误差。这些是直接可比的，因为原始误差除以相同的值，这些是有意义的，因为摩尔的归一化确保了不同技术的误差是可比的，并且可以合理地聚合。在比较Moore和Wright的背景下，当汇集不同预测层位的误差时，我们还使用Moore模型的归一化（忽略隐含性的自相关），即≡ τ+τ/m（见Farmer&Lafond（2016）和等式。

8和9）。3实证结果3.1数据1e-03 1e+00 1e+03 1e+06 1e+091e-08 1e-05 1e-02 1e+01 1e+04累计产量单位成本化学分析（cumulative production unit CostChemicalsHardwareConsumer GoodsEnergyFoodFigure 1）：单位成本与累计产量的散点图。我们主要使用Bela Nagy和个人通信合作者在圣达菲研究所创建的performancecurve数据库以及Colpier&Cornland（2002）、Goldemberg等人（2004）、Lieberman（1984）、Lipman&Sperling（1999）、Zhao（1999）、McDonald&Schrattenholzer（2001）、Neij等人（2003）、Moore（2006）、Nemet（2006）和Schilling&Esmundo（2009）的数据。我们用太阳能光伏模块的数据扩充了数据集，这些数据来自公共发布的数据，可以在pcdb访问。桑塔菲。埃杜。咨询公司Strategies Unlimited、Navigant和SPV Market Research提供了太阳能光伏组件的平均销售价格，我们使用美国GDPde指数修正了价格波动。1940 1960 1980 20001e-03 1e+00 1e+03 1e+06 1e+09年度生产化学物质消费者商品能量图2：生产时间系列1940 1960 1980 20001e-03 1e+00 1e+03 1e+06 1e+09ExperienceChemicalsHardwareConsumer GoodsEnergyFoodFigure 3：体验时间序列此数据库提供了可变周期内许多技术的单位成本代理。在少数情况下（牛奶和汽车），使用性能测量代替成本，汽车体验基于行驶距离计算。排除这两个时间序列不会严重影响主要结果。此外，单位成本通常是根据总成本和AOD的生产时间来计算的。原则上，我们希望获得单位成本的数据，但这些数据通常是不可用的，而且数据是关于价格的。

由于数据库是根据文献中的经验曲线建立的，而不是从产品/技术的代表性样本建立的，因此我们研究的外部有效性受到限制，但遗憾的是，我们不知道有一个包含所有产品适当标准化单位成本的数据库。我们选择了一些技术，通过删除太相似的技术（例如太阳能光伏的其他数据），将不同时间序列之间的相关性降至最低。我们还避免了包含很长时间序列，这些序列将代表我们预测误差的不成比例，使预测误差的自相关问题变得非常明显，并且由于计算能力有限，阻止我们生成许多随机数据集。从Farmer&Lafond（2016）提供的53项具有显著改善率的技术开始，我们删除了没有生产数据的DNA测序，以及生产增长率为零的电气范围，因此我们无法对以下所述的累积产量进行校正。尽管历史参考（波士顿咨询集团1972年）中的化学成分占了数据集的很大一部分，但留给我们的51种技术属于不同的行业（化学、能源、硬件、耐用消费品和食品）。对于某些技术，年数与Farmer&Lafond（2016）略有不同，因为我们不得不删除观测数据，而这些观测数据不可用。年份或批次，而不是从每个单位成本的实际观察。不同的方法可能会得出略有不同的结果（Gallant 1968、Womer&Patterson 1983、Goldberg&Touw 2003），但我们的数据集太过异构，无法进行任何更正。

显然，单位成本的变化不仅仅来自技术进步，而且很难解释质量的变化，但单位成本仍然是一个广泛使用的、有辩护理由的指标。这意味着当价格和成本没有相同的增长率时，就会出现偏差，通常情况下，当定价策略是动态的，并且考虑到学习效应（例如掠夺性定价）时。有关该主题的产业组织文献回顾，请参见汤普森（2010）。无花果。1显示了经验曲线，whileFig。2和3显示了生产和体验时间序列，至少在视觉上表明体验时间序列是生产时间序列的“平滑”版本。3.2估算累积产量经验曲线研究中的一个潜在严重问题是，人们通常没有观察到技术的完整历史，因此简单地总结观察到的产量会错过先前积累的经验。这个问题没有完美的解决方案。对于每种技术，我们使用“研发资本”文献中常见的程序（Hall&Mairesse 1995）推断出初始累积产量，尽管在经验曲线研究中并不经常使用（例外情况见Nordhaus（2014））。它假设产量为Qt+1=Qt（1+gd），经验累积为Zt+1=Zt+Qt，因此可以显示为Zt=Qt/gd。我们估计离散年增长率为^gd=exp（log（QT/QT）/（T-1)) -1，其中QTI是指第一个可用年份的产量，T是可用年份数。然后，我们将第一年的经验变量构建为Zt=Qt/^gd，之后构建为Zt+1=Zt+Qt。注意，这个公式意味着时间t的经验不包括时间t的生产，所以从时间t到时间t+1的经验变化不包括时间t+1年的生产量。

从这个意义上说，我们假设经验的增长会在一定的时间间隔内影响技术进步。我们已经尝试了构建体验时间序列的略有不同的方法，由于生产增长率的高持续性，聚合结果变化不大。这种修正的一个更重要的结果是，产量增长率较小的产品将对初始累积产量进行非常重要的修正。反过来，初始累积产量的这种大幅度修正会导致累积产量的年增长率显著降低。因此，经验指数^ω比没有修正时更大。这就解释了为什么像牛奶这样产量增长率很低的产品，其体验指数如此之大。根据产品的不同，此更正可能小或大，也可能有意义或没有意义。在此，我们决定对所有产品使用此更正。3.3描述性统计和Sahal的识别表1总结了我们的数据集，尤其显示了使用fullsample估计的参数。图4通过显示最重要参数分布的直方图补充了该表。请注意，我们使用tilde表示估计参数，因为我们使用的是完整样本（当使用小rollingwindow时，我们使用了hat表示法）。为了估计ρj，我们使用了公式17的最大似然估计（让ωMLEdi与ω相异）。频率-3-2-1.0 0.00 1 2 3 4 5 6 7Ω~频率-1-0.5 0.0 0.5 1.00 1 2 3 4 5 6ρ~频率0.0 0.2 0.4 0.6 0.80 2 4 6 8r ~频率0.0 0 0.2 0.4 0.60 5 10 20 30σx ~图4：估计参数的直方图。无花果