将信号纳入最佳交易

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英文标题：
《Incorporating Signals into Optimal Trading》
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作者：
Charles-Albert Lehalle and Eyal Neuman
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Optimal trading is a recent field of research which was initiated by Almgren, Chriss, Bertsimas and Lo in the late 90\'s. Its main application is slicing large trading orders, in the interest of minimizing trading costs and potential perturbations of price dynamics due to liquidity shocks. The initial optimization frameworks were based on mean-variance minimization for the trading costs. In the past 15 years, finer modelling of price dynamics, more realistic control variables and different cost functionals were developed. The inclusion of signals (i.e. short term predictors of price dynamics) in optimal trading is a recent development and it is also the subject of this work.   We incorporate a Markovian signal in the optimal trading framework which was initially proposed by Gatheral, Schied, and Slynko [21] and provide results on the existence and uniqueness of an optimal trading strategy. Moreover, we derive an explicit singular optimal strategy for the special case of an Ornstein-Uhlenbeck signal and an exponentially decaying transient market impact. The combination of a mean-reverting signal along with a market impact decay is of special interest, since they affect the short term price variations in opposite directions.   Later, we show that in the asymptotic limit were the transient market impact becomes instantaneous, the optimal strategy becomes continuous. This result is compatible with the optimal trading framework which was proposed by Cartea and Jaimungal [10].   In order to support our models, we analyse nine months of tick by tick data on 13 European stocks from the NASDAQ OMX exchange. We show that orderbook imbalance is a predictor of the future price move and it has some mean-reverting properties. From this data we show that market participants, especially high frequency traders, use this signal in their trading strategies.
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中文摘要：
最优交易是最近的一个研究领域，由Almgren、Chriss、Bertsimas和Lo在90年代末发起。其主要应用是分割大型交易订单，以最大限度地降低交易成本和流动性冲击导致的价格动态潜在扰动。初始优化框架基于交易成本的均值-方差最小化。在过去15年中，开发了更精细的价格动态建模、更现实的控制变量和不同的成本函数。在最优交易中包含信号（即价格动态的短期预测）是最近的发展，也是这项工作的主题。我们在Gathereal、Schied和Slynko最初提出的最优交易框架中加入了马尔可夫信号，并提供了关于最优交易策略存在性和唯一性的结果。此外，对于Ornstein-Uhlenbeck信号和指数衰减瞬态市场冲击的特殊情况，我们推导了一个显式奇异最优策略。均值回复信号与市场影响衰减的组合特别令人感兴趣，因为它们会影响相反方向的短期价格变化。随后，我们证明了在渐近极限下，当瞬时市场冲击变为瞬时时，最优策略变为连续策略。这一结果与Cartea和Jaimungal提出的最优交易框架是一致的【10】。为了支持我们的模型，我们分析了纳斯达克OMX交易所13只欧洲股票的9个月逐笔数据。我们表明，订单簿不平衡是未来价格变动的预测因子，并且具有一些均值回复特性。从这些数据我们可以看出，市场参与者，尤其是高频交易者，在他们的交易策略中使用了这种信号。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：Mathematical Quantitative Optimization Minimization Participants

将信号纳入最佳交易Charles Albert Lehalle1,2和Eyal Neuman*2,3资本基金管理，巴黎皇家学院学院，伦敦帝国学院数学系，伦敦皇家学院2018年6月5日AbstractOptimal trading是一个最近的研究领域，由Almgren、Chris、Bertsimas和Lo在90年代末发起。其主要应用是分割大额交易订单，为了最大限度地降低交易成本和流动性冲击导致的价格动态潜在扰动。最初的优化框架基于交易成本的均值-方差最小化。在过去15年中，开发了价格动态、更现实的控制变量和不同的成本函数的内部建模。在最优交易中加入信号（即价格动态的短期预测）是最近的发展，也是这项工作的主题。我们将马尔可夫信号纳入最优交易框架，该框架最初由Gatheral、Schied和Slynko提出[21]，并提供了最优交易策略存在性和唯一性的结果。此外，对于OrnsteinUhlenbeck信号和指数衰减瞬态市场冲击的特殊情况，我们推导了一个显式奇异最优策略。均值回复信号与市场影响衰减的组合具有特殊的意义，因为它们会在相反的方向上影响短期价格变化。随后，我们证明了在渐近极限下，当瞬时市场冲击变为瞬时时，最优策略变为连续策略。这一结果与Carteaan和Jaimungal提出的最优交易框架是一致的【10】。为了支持我们的模型，我们分析了纳斯达克OMX交易所13只欧洲股票九个月的逐点数据。

我们证明了这一点*http://eyaln13.wixsite.com/eyal-neumanorderbook失衡是未来价格走势的预测因素，它具有某种均值回复特性。从这些数据我们可以看出，市场参与者，尤其是高频交易者，在他们的交易策略中使用了这种信号。1引言2008-2009年的金融危机引发了对中介机构库存的担忧。监管机构和政策制定者利用了两大监管变化（美国的Reg NMS和欧洲的MiFID），随后创建了全球贸易资料库。他们还加强了交易的透明度，从而提高了市场参与者的头寸，这将交易过程推向了电子平台。同时，金融产品的消费者和生产者要求降低复杂性和提高透明度。这种对金融系统商业习惯的巨大压力，将其从一个定制的高利润行业（中间商可以保留大量（潜在风险）库存）转变为一个以物流为中心的大众市场行业。因此，投资银行如今可以尽可能快地化解风险。在利润率低、头寸变动速度快的情况下，交易成本至关重要。交易成本的一个主要因素是市场影响：交易速度越快，买入或卖出的压力就越大，从而对价格产生不利的影响。降低大型交易交易成本的学术努力始于Almgren和Chris【5】以及Bertsimas和Lo【8】的最终论文。这两种模式都适用于一个大型市场参与者（例如资产管理人或银行）的交易流程，该参与者希望在特定期限内买卖大量股份或合同。

由于交易策略的多重约束，成本最小化问题最终得到了解决。一方面，市场影响（见[7]和其中的参考文献）要求交易缓慢，或至少以考虑可用流动性的速度进行。另一方面，贸易商有快速交易的动机，因为他们不想承担价格偏离决策价格的风险。优化交易在行业中的重要性为交易成本的初始平均方差最小化带来了很多变化（详情参见[27，15，22]）。在本文中，我们在随机控制的背景下考虑均值-方差最小化问题（参见[26]，[9]）。在这种方法中，可以使用一些更现实的控制变量，这些变量与订单动态和潜在价格的特定随机过程有关（相关工作参见[23]和[30]）。在本文中，我们讨论了如何将预测短期价格变动的信号纳入最优交易问题的问题。通常，最优执行问题侧重于市场影响和市场风险之间的权衡。然而，在实践中，许多交易者和交易算法使用短期价格预测。大多数记录在案的预测值都与订单动态相关[29]。它们可以分为两类：基于流动性消费流的信号[11]，以及衡量当前流动性失衡的信号。在[28]中，研究了如何在极短的交易策略中使用流动性失衡信号的一个例子。这两种类型的信号密切相关，因为在短期内，价格变动是由流动性供给和需求的匹配（即当前的货币和消费流）驱动的。如前所述，影响交易成本的主要因素之一是市场影响。

实证研究表明，市场影响的影响是短暂的，即在每次交易后的短时间内衰减（见[7]及其参考文献）。在本文中，我们将重点关注两个考虑到不同类型市场影响的框架：oGatherel、Schied和Slynko（GSS）框架[21]，其中市场影响是暂时的，战略具有燃料约束，即订单在给定日期T之前完成；oCartea和Jaimungal（CJ）框架【10】，其中市场影响是瞬时的，对策略的燃料约束被平滑终端惩罚所取代。请注意，[21]并不是市场影响衰减的唯一框架。这种动力学最初是在【31】中引入的，并在【2】中重复使用，就像在其他一些论文中一样。我们决定将重点放在这两个框架上，因为它们在金融文献中被广泛使用。本文建立的模型和分析也可以应用于其他最优交易框架。这项工作的主要理论结果涉及将马尔可夫信号添加到最优交易问题中，该问题在[21]中进行了研究。我们将在第2.1节中论证，这是通过在定价过程中加入马尔可夫漂移进行数学建模的。我们制定了一个成本函数，其中包括交易成本和在每个给定时间持有库存的风险。然后，我们证明了至多存在一个使该成本函数最小化的最优策略。最优策略被表述为一个积分方程的解。然后，对于信号为Ornstein-Uhlenbeckprocess的特殊情况，我们明确地导出了最优策略。从数学角度来看，这是首次将非鞅价格过程纳入具有衰减市场影响的最优清算问题。

因此，定理2.3和2.4的结果分别扩展了[21]的命题2.9和定理2.11。随后，我们证明，在渐近区域中，如果瞬时市场影响变为瞬时，则在（GSS）框架中导出的奇异最优策略将变为连续的。此外，（GSS）框架中的最优策略的渐近性与（CJ）框架中获得的最优策略一致（见备注2.8和第3节）。当研究人员和从业者面临现实的交易问题时，这一不同交易框架之间的基准为他们提供了更广泛的概述。在上述背景下，预测信号优化交易的使用相对较新（见【11】）。据我们所知，这是第一次遇到马尔可夫信号和短暂的市场影响。（GSS）框架已经包括了暂时的市场影响，而没有使用信号。（CJ）框架只包括有界的马尔可夫信号，而不包括衰减的市场影响。此外，我们关于（GSS）框架中最优交易的结果将风险外溢项纳入了成本函数，这在[21]的结果中没有考虑到。这项工作的主要贡献在于为最优交易提供了一个新的框架，这是对[10]和[21]等经典框架的扩展。正如我们在第4节中的数据分析所表明的那样，使用该框架的动机来自市场需求。从理论角度来看，这些信号交易模型提供了一些新的数学挑战。我们将简要描述其中的两个挑战。我们在定理2.4和推论2.7（即在GSS框架中）中得出的最优策略是确定性的，它们只使用时间0上的信号信息。

一个仍然悬而未决的挑战性问题是，如何优化交易成本，而不是适应信号过滤的策略（见备注2.9）。从我们的结果中产生的一个有趣的现象是，一旦我们考虑到交易信号，最优策略可能不是单调的（见图1）。这意味着由交易策略引发的价格操纵是可能的。另一个挑战是建立市场影响核函数和信号的条件，以防止价格操纵（见备注2.10）。本文的另一个贡献是对不平衡信号及其在实际交易中的使用进行统计分析，我们将在第4节中介绍。为了验证我们的假设和理论结果，我们使用北欧股票市场（纳斯达克OMX交易所）九个月的真实数据来证明流动性驱动信号的存在。我们重点分析了13只股票，交易量超过90亿。我们还表明，从业者至少在一定程度上是根据这个信号来调节他们的交易率的。截至2014年，该交易所在每笔交易中都提供了买卖双方的身份。该数据库已经用于一些学术研究，因此读者可以参考[36]了解更多详细信息。在这些标记的交易中，我们添加了一个资本基金管理（CFM）数据库，其中包含每次交易前订单状态的信息。由于这个混合数据库，我们能够在参与者做出决策之前计算流动性的不平衡（即发送消耗流动性的市场订单）。我们将纳斯达克OMX的大多数成员分为四类：全球投资银行、机构经纪人、高频做市商和高频专业交易员（分类详见附录）。

然后，在每种类型的参与者做出决定之前，我们计算不平衡的平均值（见图4）。结论是，一些参与者的交易条件是流动性失衡。此外，我们还提供了一些图表，证明了失衡状态与未来价格走势之间的正相关关系。这些图表也为不平衡信号的均值回复性质提供了证据（见图5-7）。在图9中，我们预设了市场参与者的估计交易速度，作为不平衡平均值的函数，在10分钟的中间时间范围内。此图中显示的交易率与信号之间的关系与我们的理论发现相符。本文的结构如下。在第2节中，我们介绍了一个具有市场影响衰减的模型、马尔可夫信号和具有燃料约束的策略（即在（GSS）框架中）。我们给出了一般的存在唯一性定理，然后给出了Ornstein-Uhlenbeck信号的显式解。增加信号对市场影响衰减是本节的核心内容。在第3节中，我们将第2节的结果与（CJ）框架中的相应结果进行比较。我们证明了（GSS）框架中的最优策略与（CJ）框架中的最优策略一致，在渐近极限下，瞬时市场影响变为瞬时，信号为Ornstein-Uhlenbeck过程。在第4节中，我们为不平衡信号的可预测性以及不同类型的市场参与者对其的使用提供了经验证据。我们还进行了统计分析，以支持我们对第2节给出的示例中的Ornstein-Uhlenbeck信号的关注。

最后一节是对主要结果的证明。2模型设置和主要结果2.1模型设置和成本功能的定义在本节中，我们定义了一个将马尔可夫信号纳入（GSS）最优交易框架的模型。本节使用了【21】中的定义和结果。我们考虑一个概率空间(Ohm, F、 （Ft），P）满足通常条件，其中fi是平凡的。设M={Mt}t≥0是右连续鞅且I={It}t≥0a齐次cádlág马尔可夫过程满足，ZTEι|It部门|dt<∞, 对于所有人ι∈ R、 T>0。（2.1）这里Eι表示以I=ι为条件的期望。在我们的模型中，我代表交易者观察到的信号。我们假设不受交易影响的资产价格过程P由dpt=Itdt+dMt，t给出≥ 0，因此信号通过漂移项与价格相互作用。此设置允许我们考虑一大类信号。有形资产价格（稍后介绍）还取决于交易员交易产生的市场影响。假设[0，T]是一个有限的时间范围，x>0是交易者的初始库存。设Xt为交易者在时间t持有的库存量。如果X满足以下条件，我们认为X是一种允许的策略：（i）t-→ Xtis左–连续和自适应。（ii）t-→ Xthas有限和P-a.s.有界总变化。（iii）对于所有t>t，X=X且Xt=0，P-a.s。如[21，17，16]所示，我们假设可见价格S={St}t≥0受明显的市场影响，由t=Pt+Z{s<t}G（t- s） dXs，t≥ 0，（2.2），其中衰变核G：（0，∞) → [0, ∞) 是一个可测量的函数，使得以下极限存在sg（0）：=limt↓0克（吨）。（2.3）接下来，我们推导与Astragy Xt执行相关的交易成本。请注意，如果XT在t中是连续的，则由最小订单Dxtart产生的交易成本为StdXt。

当XT有一个跳跃的大小Xtat t，价格从St移动到St+=St+G（0）XT和交易产生的成本X由（见[21]第2节）G（0）给出Xt公司+ St公司Xt。因此，战略X产生的交易成本由zstdxt+G（0）X给出Xt公司=Z ztids dXt+Z Z{s<t}G（t- s） dXsdXt+ZMtdXt+G（0）XXt公司.从[21]中的引理2.3中，我们得到了一个更方便的预期交易成本表达式，EhZ Ztids dXt+Z Z{s<t}G（t- s） dXsdXt+ZMtdXt+G（0）XXt公司i=EhZ Ztids dXt+Z ZG（| t- s |）dXsdXti- 二甲苯。我们有兴趣在我们的成本函数中加入一个风险规避条款。自然条件isRTXtdt，被视为在时间t扣留头寸XT相关风险的度量；参见【4、19、35】和【33】第1.2节中的讨论。因此，我们的成本函数是预期交易成本和风险规避项之和，其形式为ehz ztids dXt+Z ZG（| t- s |）dXsdXt+φZTXtdti- Px，（2.4），其中φ≥ 0是一个常量。这项工作的主要目标是在可接受的策略类别上最小化该成本函数（2.4）。在我们讨论这个框架中的主要结果之前，我们先介绍一下下面的内核类。我们说，如果对于每个可测量策略X，我们有z ZG（| t），则连续且有界的G是严格正定义的- s |）dXsdXt>0，P-a、 s.（2.5）我们将G定义为连续、有界和严格正定义函数G：（0，∞) → [0, ∞).备注2.1。请注意，（2.3）满足每G∈ G、 [21]第2.6节给出了正有限核的特征（即当不等式（2.5）不严格时）。备注2.2。