具有经济模型记忆的Logistic地图

444]，这对任何正阶α>0都有效，我们可以说明微分方程（15）的Cauchy问题和初始条件 ,其中k=0，1，…，N-1，N-1<α<N，相当于以下带内存的离散映射            （16） 其中s=0，1，…，N-1，  , 和          .方程（16）定义了一个具有α>0阶幂律记忆的离散映射。这张地图描述了在充满记忆和危机的竞争环境中的自然增长。我们强调，离散方程（16）是从分数阶微分方程（15）推导出来的，没有使用任何近似，即它是分数阶微分方程（15）的精确离散模拟。如果我们将使用    , 然后方程（16）定义了幂律记忆为α>0阶的logistic映射。对于0<α<1（N=1），离散映射（16）由以下等式描述          （17） 其中n取正整数值。我们可以将方程式（17）写成            （18） 将方程（17）中的n+1替换为n，我们得到      .

（19） 从方程（18）中减去方程（19），我们得到         （20） 在哪里 定义为  .对于1<α<2（N=2），离散映射（16）由以下等式定义               (21)          （22）对于     离散映射（20）和（21）-（22）描述了具有幂律记忆的logistic增长，其阶数α分别满足条件0<α<1和1<α<2。方程（20）和（21）-（22）描述了幂律记忆为0<α<2阶的logistic映射的推广。对于α=1，我们可以使用 , 方程（20）给出了离散映射       （23）描述了在没有考虑记忆效应的情况下，在有危机的竞争环境中的自然增长。使用    , 方程式（23）给出了逻辑图       （24）描述了物流经济增长，没有记忆效应，但价格剧烈波动（爆发）。方程式（24）可以写成         （25）如果≠0，我们可以使用变量和参数λ，由方程定义      （26）则方程式（25）表示为       （27）方程式（27）是标准逻辑图[4、5、6]。该图用于描述不同的经济过程[32、33、34、35]。因此，我们可以说明，只有当价格函数以形式（14）给出时，才可以从logistic微分方程（3）推导出标准logistic映射（27），而无需近似，即：。

当价格行为由delta函数形式的周期性急剧波动（爆发）描述时。让我们考虑具有记忆的logistic映射（20），其中0<α<1。对于    ,方程式（20）的形式为               （28）方程式（28）可以写成                （29）使用变量 参数λ（α）、μ（α）、ρ（α），由表达式定义      (30)   （31）我们可以将方程（29）表示为                （32）方程（32）描述了具有0级<α<1级幂律记忆的logistic映射。对于方程（16）和（21）-（22），可以推导出类似的公式。具有存储器（32）和方程（16）的逻辑图是分数微分方程（15）的精确离散模拟。应该强调的是，离散映射（16）和（32）的方程是从方程（15）中获得的，没有任何近似值（有关详细信息，请参见[29，30]和[9]的第18章）。使用（14），我们可以看到，带有记忆的逻辑图（32）描述了经济动力学的一种特殊情况，即当价格在两次爆发之间接近于零时。这种价格行为在实际经济过程中并不常见。因此，离散映射（32）是一个玩具模型，但它可以用来研究价格暴涨和非线性引起的一些特性。具有记忆的广义经济和物流图基于方程式（14）提出的连续时间模型描述了经济动力学的一个非常特殊的情况，即两次爆发之间的价格接近于零。

价格的这种行为很少和实际经济过程相对应。因此，该模型不能应用于实际经济过程，但可以用来描述它们的一些一般性质。在本节中，我们提出了一个新的经济模型，该模型允许我们描述价格的真实行为。这些建议的模型和相应的带记忆的离散映射考虑了价格爆发之间的非零值。让我们考虑价格函数，它考虑了价格的非零行为和周期性的价格剧烈波动（爆发），形式如下          ,  （33）其中G（Y（t））是输出Y（t）的连续函数，使得表达式的反导数  对于变量y是可微的，函数F（y（t））在t=kT点是连续的。参数q=1–p可被视为危机度量。例如，函数G（Y（t））可以按以下形式考虑：（a）恒常函数  ;  （b） 直接比例G（Y（r））=ρ·Y（t）；（c） 幂律案件    .  通常，系数ρ不依赖于Y（t），是时间的函数( , ρ=ρ（t））。方程（33）概括了价格方程（14）和没有周期性价格剧烈波动（爆发）的标准情况。对于p=1，q=0，等式（33）对应于等式（3）描述的标准情况。

对于p=0，q=1，方程式（33）采用的形式为（14），对应于方程式（15）中描述的α=1的情况。将（33）代入方程（3），我们得到             （34）我们可以考虑函数G（Y（t）），这样方程（34）可以表示为           （35）其中C（t）是独立于输出Y（t）的函数，  是函数F（Y（t））和G（Y（t））的分数，函数R（Y（t））由以下等式定义   （36）让我们给出函数R（Y（t））的简单示例。例如，如果  ,  thenR（Y（t））=ln（Y（t））和  ; （b） 如果G（Y（r））=ρ·Y（t），则     和  ; （c） 如果     带j , 然后      和  .对于具有幂律记忆的经济过程，方程（35）的推广形式为          （37）其中N-1<a<N。对于0<a<1，我们可以使用    0<ε<T（ε→0+，而不是.让我们用Riemann-Liouville分数阶积分积分方程（37）对于nT<t<（n+1）t，α>0的阶数。然后我们得到           （38）使用[12，p.96]引理2.22的方程2.4.42，方程的形式为                 （39）然后使用[9，p.444]定理18.19的证明和[12，p.444]公式2.2.28的变换。

83]当s<α时，方程（39）给出了带记忆的经济离散图               （40）其中  ,  和          ,      ,  ,  和是阶数α-s>0，s=0，1，…，N-1，N-1<α<N的Riemann-Liouville积分。例如，使用[9，p.444]的定理18.19和公式    , 方程（39）中的常数C（t）=C给出了经济离散图，其内存形式为                 （41）其中s=0，1，…，N-1，N-1<α<N，  ,  和          ,      .对于p=0和q=1，方程（40）和（41）的R（Y（t））=Y（t）给出离散映射（16）。具有记忆的“经济”离散地图（40）和（41）描述了具有记忆和危机效应的竞争环境中自然增长的经济模型。

这些离散映射是分数阶微分方程（37）的精确离散类似物。使用方程（41）将n+1替换为n，并从方程（41）中减去结果，我们得到了以下形式的具有α>0阶记忆的离散映射                （42）其中 定义为  , 其中s=0，1，…，N-1。对于0<α<1（N=1），映射（41）的形式为              （43）让我们给出一些简单的经济离散图的例子，这些图具有0<α<1的记忆（41），因此是图（43）。对于0<α<1（N=1）和  离散映射（41）由以下等式描述               （44）对于0<α<1（N=1）和      带j ,  然后，经济离散图（41）由方程描述               （45）对于j=–1，方程式（45）的形式为               （46）对于p=0和q=1，方程（46）给出了离散映射（17）。具有存储器（44）-（46）的离散映射可以以类似于（43）的形式重写。

例如，使用方程（45）将n+1替换为n，并将结果从方程（45）中减去，我们得到了0级记忆<α<1的离散映射                （47）其中 定义为  .对于j=–1，方程式（47）的形式为                （48）对于p=0和q=1，方程（48）给出了离散映射（20）。让我们考虑一些具有非恒常函数C（t）的内存（40）离散映射的示例。对于电源功能    ,  其中，β>-1和0<α<1（N=1），我们可以使用[12]中的方程2.1.16进行黎曼-刘维尔积分        , 其中β>–1。对于β=0，我们有以下等式    . 然后，0<α<1的离散映射（40）由方程描述              （49）对于β=0，映射（49）采用形式（41）。如果       ,  哪里是双参数MittagLeffler函数【12，p.42】，那么我们可以使用方程2.2.51【12，p.86】得到带记忆的离散映射。

例如，如果0<α<1，则具有记忆的离散映射，对应于分数微分方程（39），具有       , 由方程式定义                      （50）使用    ,  方程（40）-（50）给出了带记忆的广义逻辑图，它描述了在具有记忆和危机的竞争环境中广义逻辑增长经济模型的精确离散类似物。结论首先，我们简要描述了本文中提出的建议。1） 在本文中，我们提出了新的物流增长（竞争环境中的自然增长）经济模型，该模型考虑了幂律记忆和危机。这些连续时间经济模型由分数阶微分方程（15）和（37）以及δ函数描述。2） 利用文献[28、29、30、31]中提出的方法，我们导出了分数阶微分方程（15）和（37）的精确离散模拟。因此，我们得到了这些经济模型的离散时间表示形式，即带记忆的离散地图（16）和（40）。3） 我们可以指出，离散映射（16）、（20）-（22）和具有记忆的logistic映射（28）、（32）是[28，29，30，31]中提出的具有记忆的泛映射的特殊类型。在本文中，我们证明了具有记忆的logistic映射（28），（32）和经济学映射（16），（20）（22）描述了经济动力学的一个非常特殊的情况，即当价格在两次爆发之间接近于零时。这种价格行为在实际经济过程中非常罕见。

因此，这张地图可以被视为真实经济过程的玩具模型。4） 为了更真实地描述价格行为，我们提出了由方程（37）描述的无经济模型，以及相应的更接近实际价格经济动态的离散映射。方程（40）–（50）描述的带内存的离散映射考虑了价格爆发之间的非零值。建议的离散映射（40）–（50）包含离散映射（16）、（20）–（22）和具有内存的逻辑映射（28）、（32）作为特例。5） 建议的带记忆（40）-（50）的离散映射是相应分数阶微分方程（37）的精确离散类似物。这些地图和方程是具有记忆和危机的竞争环境中经济增长的经济模型的离散时间和连续时间表示。我们现在就这些结果发表一些评论。应该注意的是，在[36、37、38、39、40、41、42、43、44、45]中提出了一些考虑记忆效应的logistic图的一般化。然而，这些映射并不是描述具有记忆的逻辑增长的微分方程的精确离散类似物。在本文中，我们提出了带记忆的离散映射作为分数阶微分方程的精确离散类似物，它描述了具有竞争、记忆和危机的经济增长。分数阶微分方程和离散映射的这种关系将建议的具有记忆的映射与所有其他具有记忆的离散映射区分开来，这些映射在[36、37、38、39、40、41、42、43、44、45]中进行了考虑。