具有经济模型记忆的Logistic地图

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英文标题：
《Logistic map with memory from economic model》
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作者：
Valentina V. Tarasova, Vasily E. Tarasov
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  A generalization of the economic model of logistic growth, which takes into account the effects of memory and crises, is suggested. Memory effect means that the economic factors and parameters at any given time depend not only on their values at that time, but also on their values at previous times. For the mathematical description of the memory effects, we use the theory of derivatives of non-integer order. Crises are considered as sharp splashes (bursts) of the price, which are mathematically described by the delta-functions. Using the equivalence of fractional differential equations and the Volterra integral equations, we obtain discrete maps with memory that are exact discrete analogs of fractional differential equations of economic processes. We derive logistic map with memory, its generalizations, and \"economic\" discrete maps with memory from the fractional differential equations, which describe the economic natural growth with competition, power-law memory and crises.
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中文摘要：
提出了考虑记忆和危机影响的物流增长经济模型的推广。记忆效应是指任何给定时间的经济因素和参数不仅取决于当时的值，还取决于以前的值。对于记忆效应的数学描述，我们使用了非整数阶导数理论。危机被认为是价格的剧烈波动（爆发），这在数学上由delta函数描述。利用分数阶微分方程和Volterra积分方程的等价性，我们得到了具有记忆的离散映射，这些映射是经济过程分数阶微分方程的精确离散类似物。我们从分数阶微分方程中导出了带记忆的logistic映射及其推广，以及带记忆的“经济”离散映射，它们描述了具有竞争、幂律记忆和危机的经济自然增长。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
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2022-6-6 16:17:20 上传

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关键词：logistic ogistic logisti logist logis

混沌、孤子和分形。2017年，第95卷。P、 84-91页。DOI:10.1016/j.chaos。2016.12.012经济模型Valentina V.Tarasova提供的物流地图，罗蒙诺索夫莫斯科国立大学商学院，罗蒙诺索夫莫斯科国立大学，莫斯科119991；电子邮件：v.v。tarasova@mail.ru;瓦西里·塔拉索夫（Vasily E.Tarasov），俄罗斯罗蒙诺索夫国立大学斯科贝尔特森核物理研究所，莫斯科119991；电子邮件：tarasov@theory.sinp.msu.ruAbstract.提出了考虑记忆和危机影响的物流增长经济模型的推广。记忆效应意味着，任何给定时间的经济因素和参数不仅取决于它们当时的值，还取决于它们以前的值。对于记忆效应的数学描述，我们使用了非整数阶导数理论。危机被视为价格的剧烈波动（爆发），其在数学上由delta函数描述。利用分数阶微分方程和Volterra积分方程的等价性，我们得到了具有记忆的离散映射，它是经济过程分数阶微分方程的精确离散类似物。我们从分数微分方程中导出了带记忆的logistic映射及其推广，以及带记忆的“经济”离散映射，分数微分方程描述了具有竞争、幂律记忆和危机的经济自然增长。关键词：logistic增长模型、logistic映射、混沌、带记忆的离散映射、遗传性、记忆效应、幂律记忆、非整数阶导数MSC:26A33；34A08PACS:45.10。Hj；05.45.-aJEL：C02；C65；简介logistic微分方程最初由Verhulst在人口增长模型中提出[1]。

在这个模型中，繁殖率与现有人口和可用资源量的乘积成正比。这一微分方程在经济增长模型中得到了积极的应用（例如，见[2，3]）。logistic映射被视为该微分方程的离散对数。logistic映射是一个简单的二次映射，展示了复杂的动力学，可以描述为普适和混沌[4，5，6]。logistic微分方程可以从竞争环境下自然增长的经济模型中推导出来。经济自然增长模型由边际产出（产出增长率）与收入成正比的方程描述。在描述经济增长时，通过将价格视为产值的函数来考虑竞争效应。竞争环境中的自然增长模型称为物流增长模型。我们首先描述了不考虑记忆效应的逻辑生长模型。设Y（t）是一个函数，描述时间t时的产值。我们假设所有制成品都已售出（市场不饱和的假设）。设I（t）是一个描述生产扩张投资的函数，即I（t）的值是总投资和折旧成本之间的差值。在自然增长模型中，假设产出的边际值（dY（t）/dt）与净投资I（t）的值成正比。

因此，我们可以使用加速器方程   （1） 其中，v是一个称为加速系数的正常数，1/v是资本的边际生产率（加速率），dY（t）/dt是函数Y（t）相对于时间t的一阶导数。在逻辑增长模型中，价格P（t）被视为释放生产率（t）的函数，即P=P（Y（t））。函数P=P（Y）通常被认为是一个递减函数，即由于市场饱和，产量的增加导致价格的下降。假设净投资额是收入P·Y（t）的固定部分，我们得到       （2） 其中，m是净投资的标准值（0<m<1），指定用于净投资的收入份额。将（2）代入方程（1），我们得到     （3） 微分方程（3）描述了竞争环境中自然增长的经济模型。通常假设价格作为产出Y（t）的函数是线性的，即P（Y（t））=b–a·Y（t），其中b是价格，与产出无关，a是边际价格。在这种情况下，方程式（3）的形式为         （4） 方程（4）是logistic微分方程，即描述logistic增长的一阶常微分方程。对于a=0，方程式（4）描述了在没有竞争的情况下的自然增长。由等式（4）描述的逻辑增长模型和由等式（3）描述的竞争环境中的自然增长模型表明，净投资和边际产出通过加速器方程（1）连接。方程（1）、（3）和（4）仅包含关于时间的一阶导数。

众所周知，一阶导数仅由时间点无穷小邻域内的时间可微函数的性质决定。因此，由方程（3）和（4）描述的模型假设，当净投资发生变化时，边际产出会发生瞬时变化。这意味着不仅要忽略延迟（滞后）效应，还要忽略记忆效应，即忽略当前产出对过去投资变化的依赖性。换句话说，逻辑增长模型（4）没有考虑记忆和延迟的影响。2、经济过程中的记忆效应记忆的概念在计量经济学中得到了积极的应用[7，8]。我们认为记忆的概念是通过类比物理学中使用这个概念来描述经济过程的【9，p.394-395】。术语“记忆”是指表征在给定时间t=t的过程状态与过去的过程状态的依赖性（t<t）的特性。具有记忆的经济过程是一个过程，在此过程中，特定时间的经济指标和因素（内生和外生变量）不仅取决于它们在当时的值，而且还取决于它们在有限时间间隔内以前时刻的值。记忆效应表现在这样一个事实上：对于经济因素的相同变化，相应的依赖性经济指标可以以不同的方式变化，这导致我们得出指标对因素的多值依赖性。多值依赖是由于经济主体记住了该因素和指标之前的变化，因此预测已经做出了不同的反应。

因此，要素现值的相同变化可能导致经济指标的不同动态。。为了描述幂律记忆，我们可以使用非整数阶导数和积分理论[10，11，12，13]。分数阶导数有一种经济学解释[14,15]。为了考虑幂律记忆的影响，提出了非整数阶边际值的概念[16，17]和具有记忆的加速器的概念[18，19]。在数学中，已知不同类型的分数阶导数【10、11、12】。我们将使用关于时间的左侧Caputo导数。Caputo分数导数的主要区别之一是，这些导数对常数函数的作用为零。仅使用左侧分数阶导数，我们考虑了过去经济指标和因素的变化历史。时间t=t时的经济过程可能取决于过去该过程状态的变化，即t<t。右侧卡普托导数通过t>t上的积分来定义。为了获得正确的经济量维度，我们将使用无量纲时间变量t。α>0阶的左侧卡普托导数由公式定义   （5） 在哪里 是gamma函数，  是函数Y（τ）相对于变量τ：0<τ<t的整数阶n的导数：=[α]+1。对于表达式（5）的存在，函数Y（τ）必须具有高达（n-1）阶的整数阶导数，这是区间[0，t]上的绝对连续函数。对于整数阶α=n，卡普托导数与标准导数一致[11，p.79]，[12，p。

92-93]，即。 和.考虑到α阶记忆效应的标准加速器方程（1）的推广，可在[18]中给出   （6） 式中，v=1/M。对于α=1，方程式（6）采用形式（1）。注意，加速器方程（6）包括加速器和倍增管的标准方程，作为特例【18】。这可以通过考虑α=0和α=1的方程式（6）看出。使用属性 对于卡普托导数，α=1的公式（6）采用描述标准加速器的方程式（1）的形式。使用 , α=0的方程式（6）写为I（t）=v·Y（t），这是标准乘数的方程式。因此，方程式（6）给出的带记忆的加速器概括了标准乘法器和加速器的概念。3、具有记忆和危机的逻辑增长方程为了在具有竞争环境的自然增长模型中考虑幂律记忆效应，我们使用方程（6），它描述了净投资与非整数阶边际产出之间的关系[16，17]。将表达式（2）（其中P=P（Y（t）））代入方程（6），我们得到     （7） 在哪里是α阶的Caputo导数（5）≥函数Y（t）相对于时间的0。方程（7）是所谓的分数阶微分方程，其阶导数α>0，[11、12、13]。基于方程式（7）的竞争环境中的自然增长模型考虑了α阶幂律衰减的记忆效应≥0

对于α=1，方程（7）采用方程（3）的形式，描述了在没有记忆效应的竞争环境中自然增长的模型。在价格线性的情况下，P（Y（t））=b–a·Y（t），方程式（7）的形式为         （8） 方程（8）是描述具有记忆的逻辑增长经济模型的非线性分数阶微分方程。对于α=1，方程（8）采用方程（4）的形式，描述了无记忆效应的逻辑生长。如果a=0，则方程（8）采用记忆自然增长方程的形式   （9） 其中，b=P是价格，不取决于产值。利用[11，p.231]中的定理4.9，我们得到方程（9）的解       （10） 其中n-1<α≤n 是函数Y（t）在t=0时的整数阶k的导数，并且是由方程定义的双参数Mittag-Leffler函数.  （11） Mittag-Leffler函数是指数函数的推广,  因此 .如果a≠0和b≠0，我们可以使用变量z（t）和参数μ，它们由方程定义    （12） 然后，逻辑增长方程（8）表示为         （13） 这就是物流分数阶微分方程，它是Verhulst在[1]中提出的物流分数阶微分方程的分数阶推广。[20，21，22]中讨论了方程的解。危机效应将被描述为以价格波动（爆发）形式出现的价格突然变化，可以用零均值和小方差的高斯函数表示。

众所周知，当方差变小时，delta函数可以被视为均值为零的高斯函数族的极限[26]。为简单起见，我们假设价格波动（爆发）是周期T>0的周期性波动，我们将用Dirac delta函数来描述它们，这是一个广义函数[23，24]。狄拉克-德尔塔函数在现代经济和金融中具有重要作用[25,26,27]。一般来说，可以考虑价格爆发之间的不同区间值。让我们考虑价格函数，它考虑了价格的周期性剧烈波动，形式如下    ,  （14） 其中，F（Y（t））是输出Y（t）的连续函数，δ（t）是狄拉克δ函数，它是一个广义函数【23，24】。如果函数f（Y（t））在点t=kT处连续，则等式（14）的右侧有意义。4、带记忆的经济图和带记忆的逻辑图。我们推导出了由本文前面章节中描述的经济模型引起的带记忆的离散图。将表达式（14）代入方程（7），我们得到       （15） 方程（15）描述了在有记忆和危机的竞争环境中自然增长的经济过程。分数阶微分方程（15）包含Dirac delta函数，即广义函数【23，24】。将广义函数视为测试函数空间上的泛函。这些泛函在测试函数空间上的适当拓扑中是连续的。因此，任何正阶α>0的方程（15）应在广义上考虑，即在连续的测试函数空间上。

在方程（15）中，如果函数F（Y（t））·Y（t）在点t=kT处连续，则delta函数与函数F（Y（t））·Y（t）的乘积有意义。我们可以用F（Y（t–ε））·Y（t–ε）表示0<ε<t（ε→当Y（kT–0）为0<α<1时，用0+代替F（Y（t））·Y（t）表示等式（15）的右侧≠Y（kT+0），[49，50，51]。为了从分数阶微分方程（15）中导出带记忆的离散映射，我们使用了专著[9，p.444]中的定理18.19，该定理适用于任何正阶α>0，这一点最初在[21，22]中提出。该定理对0<α<1的适用性已在[49，50，51]中指出。定理18.19基于分数阶微分方程和Volterra积分方程的等价性。请注意，[12，p.96–97]中的引理2.22是分数阶微分方程和Volterra积分方程等价的基础[12，p.199-208]。这说明了左侧黎曼-刘维尔分数积分提供了运算，它将[12，p.96–97]转化为等式（15）中使用的左侧卡普托分数微分。通过使用伴随算子方法，在半轴上的测试函数空间上定义了α阶左侧Riemann-Liouville分数阶积分对方程（15）的作用【10，p.154-157】。对于分数阶微分方程（15），应在广义意义上考虑分数阶微分方程（15）和Volterra积分方程的等价性，即对于测试函数空间上具有广义函数的分数阶微分方程。使用[9，p。