一个随机过程的二阶累积量谱检验

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《A Second Order Cumulant Spectrum Test That a Stochastic Process is
  Strictly Stationary and a Step Toward a Test for Graph Signal Strict
  Stationarity》
---
作者：
Denisa Roberts and Douglas Patterson
---
最新提交年份：
2020
---
英文摘要：
  This article develops a statistical test for the null hypothesis of strict stationarity of a discrete time stochastic process in the frequency domain. When the null hypothesis is true, the second order cumulant spectrum is zero at all the discrete Fourier frequency pairs in the principal domain. The test uses a window averaged sample estimate of the second order cumulant spectrum to build a test statistic with an asymptotic complex standard normal distribution. We derive the test statistic, study the properties of the test and demonstrate its application using 137Cs gamma ray decay data. Future areas of research include testing for strict stationarity of graph signals, with applications in learning convolutional neural networks on graphs, denoising, and inpainting.
---
中文摘要：
本文在频域上对离散时间随机过程的严格平稳性零假设进行了统计检验。当零假设成立时，主域中所有离散傅里叶频率对的二阶累积量谱均为零。该检验使用二阶累积量谱的窗口平均样本估计来建立具有渐近复标准正态分布的检验统计量。我们推导了检验统计量，研究了检验的性质，并用137Csγ射线衰变数据演示了其应用。未来的研究领域包括测试图形信号的严格平稳性，以及在图形上学习卷积神经网络、去噪和修复方面的应用。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
--
一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Machine Learning        机器学习
分类描述：Covers machine learning papers (supervised, unsupervised, semi-supervised learning, graphical models, reinforcement learning, bandits, high dimensional inference, etc.) with a statistical or theoretical grounding
覆盖机器学习论文（监督，无监督，半监督学习，图形模型，强化学习，强盗，高维推理等）与统计或理论基础
--
一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
--

---
PDF下载：
--> A_Second_Order_Cumulant_Spectrum_Test_That_a_Stochastic_Process_is_Strictly_Stat.pdf (112.53 KB)

2022-6-6 17:27:42 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：随机过程 stationarity Applications Multivariate distribution

aStochastic过程严格平稳的二阶累积量谱检验和图信号严格平稳性检验*纽约州亚马逊纽约克10001rdenisa@amazon.comDouglas弗吉尼亚州弗吉尼亚州布莱克斯堡市财政部PattersonDepartmen t24061amex@vt.eduAbstractThis本文对离散时间随机过程在频域中的严格平稳性零假设进行了统计检验。当零次谐波为真时，主域中所有离散的四阶频率对的二阶累积量谱均为零。该检验使用二阶累积量谱的窗平均样本估计来构建具有渐近复标准正态分布的检验统计量。我们推导了检验统计量，研究了检验的性质，并用137Csγ射线衰变数据演示了其应用。未来的研究领域包括测试图形信号的严格平稳性，以及在学习卷积神经网络、去噪和修复中的应用。1简介及相关工作随机过程{X（t）}，t=0。。当其有限维分布的整个族在时间结构的公共平移下保持不变性时，称为严格平稳[1]。时间序列的平稳性在时间序列分析及其应用中起着重要作用，是建立时间序列预测模型和得出正确推断（例如财务收益预测、需求预测、人类活动预测）的前提。人们可以获得时间序列的有意义的样本统计数据（平均值、方差、与其他变量的相关性），只有当时间序列近似平稳时，这些数据才是未来行为的有用描述符。

分析时间序列有两个半径：时域和频域。在时域中，人们直接考虑观测数据，通常对其矩进行猜测。在频域中，我们将时间序列分解为下面的频率，并对谱和累积谱进行推测。本文在频域中操作，提出了一种基于二阶累积量谱的统计时间序列方法，以检验观测到的离散时间序列{x（tn）}，tn=nτ，采样率τ，是严格平稳的。时间序列平稳性的经典思想已扩展到图形信号处理（GSP）领域，我们的目标是将我们的测试也扩展到GSP。一个潜在的应用是在高维ir规则域中学习卷积神经网络（CNN），如社交网络、大脑连接体、远程通信网络上的日志数据、生物调节网络上的e代数据，或如[2]所示的图形表示的单词嵌入。目的是推广CNNs能力*通讯作者是d。roberts@vt.edu，提交时是亚马逊的机器学习科学家，目前是与亚马逊没有联系的人工智能研究员。S时空域建模与决策研讨会，第32届神经信息处理系统会议（NIPS 2018），加拿大蒙特勒尔。从低维规则网格（其中图像、视频和语音被重新表示）到由图形表示的不规则结构，学习局部、静态和合成特征的能力【2】。将CNN推广到Graphs的主要瓶颈是可以学习的本地化图过滤器的定义[2]。图形信号处理领域可以使用谱图理论等数学工具来应对这一挑战。

某些局部性质（如平滑性和局部平稳性）与图的有效学习有关。图形信号处理领域通常为在不规则网格上定义的建模数据提供工具[3]。作为g图平稳性应用的另一个示例，[4]利用平稳图信号的思想推导出噪声和部分观测信号的维纳型估计过程，可用于去噪和修复。他们展示了平稳性如何优于经典图模型和高斯映射估计[4]。我们开发了一个基于二阶累积谱（f，f）的严格平稳性测试=∞Xn公司=-∞∞Xn公司=-∞E[x（tn）x（tn）]exp[-2π（ftn+ftn）]，（1）定义为傅里叶频率{-f≤ f≤ f-f≤ f≤ f} ，其中f=1/（2τ）。对于简化，我们将在本文的其余部分参考使用累积光谱作为Cum2的测试。Cum2 te st不同于线性时间序列模型的结构变化测试，如CUSUM图表（[5]给出了综述）。Cum 2检验能够检测到由于违反严格平稳性零假设的几种类型而引起的变化。例如，在[6]和[7]中，可以对具有或不具有漂移的单位根进行检验，以替代tr端平稳性假设。在[8]中，作者基于离散傅立叶变换的相关性推导了二阶平稳性检验。如果E{x（tm）}是常数，且其自方差cx（tm）仅依赖于差值（tn+m），则时间序列称为二阶平稳、弱平稳或广义平稳[1]- tn），cx（tm）=cx（tn+m- tn）。具有有限二阶矩的严格平稳序列是secon d-orde r平稳的[1]。因此，我们的测试比[8]中提出的测试更一般。

此外，我们的测试与使用信号相干方法的Hinich-Wild[9]严格平稳性测试有不同的功效。Hinich Wild测试有能力对抗随机调制周期过程的替代方案。我们的测试具有更大的通用性，并且不局限于这样一种改变。Cum2也不同于【10】中测试的光谱相关检测。由于非严格平稳过程的空间很大，很难指定替代过程的完整运行时间。我们在第2节中介绍了测试开发，在第3节中评估了测试经验大小和综合数据的功率，在第4节中演示了其应用，并在第5.2节中总结了严格平稳性的Cum2测试。在方程1中，累积量谱K定义为平方中的频率值{-f≤f≤ f-f≤ f≤ f} ，其中f=1/（2τ）是奈奎斯特频率。由于Fourierfrequencies对称性[1 1]，我们只研究主域中的一组心理频率的二阶累积量谱，即三角形{0<f≤ f-f<f≤ f} 。从[12]中，如果时间序列{x（t）}是严格平稳的，则主域中一对频率的二阶累积谱k（f，f）=e[x（f）x（f）]=2S（f）+O（1），如果f+f=0，则取1O（1），否则，（2）其中X（fi）表示离散傅里叶变换。在方程式2中，K（f，-f） =δ（f）S（f），其中δ（f）是狄拉克δ函数，S（f）=P∞m级=-∞cx（tm）exp(-i2πftm）是频率的频谱，cx（tm）是过程的自协方差。在方程2中，X（fi）是主域中基频处的离散傅里叶变换。

总之，ifa时间序列是严格平稳的，那么对于主域中的所有频率对（f，f），其二阶累积量谱K（f，f）=0。我们现在利用二阶累积量谱的性质来构造零假设的检验，即随机过程{x（tn）}是严格平稳的。我们假设时间序列已经过dem、去渲染、预白和修剪，这在频域应用中是典型的。该测试使用基频对的帧平均累积量谱，并具有简单的mptoticcomplex正态分布。为了得到累积量谱K（f，f）和谱S（f）的帧平均估计，其中（f，f）是主域中的f频率，我们使用加窗技巧：将tim e序列划分为等长的帧，计算累积量谱和每帧的谱，然后获得感兴趣的谱量的平均值。长度为T的时间序列被划分为长度为L的P=[T/L]完全非重叠帧。如果最后一个f帧的观测值小于L，则忽略它。则fra me平均累积量谱估计为^K（f，f）=PPPp=1Kp（f，f）。为了计算简单，我们将基频表示为f=k/L，0<k≤L/2，-k≤ k≤ k、 我们类似地估计了窗平均谱um，^S（fk）。根据【12】和【1】中的理论，如果L和P足够大，则帧平均光谱的预期d值等于其理论值，直至O（L-1） ，Eh^S（fk）i=S（fk）+OL-1.. 类似地，在严格平稳性下，从[12]，Eh^K（K，K）i=K（K，K）+OL-1.. 此外，考虑到P帧，^K的方差等于P-1S（k）S（k）as（L，P→ ∞) fro m【12】。我们定义了归一化二阶累积量谱a s^Γ（k，k）=^k（k，k）qS（fk）s（fk）。

这种归一化类似于双谱的归一化，以产生偏态函数。我们进一步简化了文献[13]中使用的假设，即时间序列已被预白化，因此，假设理论频谱S在各个序列中保持不变，并且在不丧失一般性的情况下，等于1。在此假设下，^K的标准误差变为1/√P然后，Γ、^sim的估计值适用于√P^K.我们现在构造复值Cum2检验统计量Y asY（K，K）=√2Ph^Γ（k，k）- Γ（k，k）i.假设P→ ∞, 根据中心极限定理，Y（k，k）的实部和虚部是渐近独立的高斯变量，均值为零，单位方差为（L，P→ ∞) 如果过程是严格固定的。KolmogorovSmirnov（KS）单样本检验是检验随机变量无效假设的一种简单方法R（Y（k，k））和I（Y（k，k））遵循标准的正态分布。设Femp（x）表示经验累积d分布R（Y），以及I（Y）分别。我们将Femp（x）计算为单位区间内小于给定值x的值的分数。在我们的例子中，vectorx代表发送了Cum2检验统计量的实部和虚部，并且兴趣的累积分布是标准正态变量的分布。我们正在努力将Cum2理论扩展到图形信号处理。在[14]中，Girault et.alintrodu提出了图功率谱局部估计的概念，并将其用作全局谱的估计。我们对Cum2测试中用作构建块的频谱的平均激励进行了分析。在【14】中，图中的风ow被定义为L跳邻域，跨度为L。

让我们考虑跨度L的P图窗口，并定义拉普拉斯特征值和K，窗口平均二阶累积量谱为E[GF T Xk1* GF T Xk2]其中，GF T xk表示特征值k在等距变换运算符[15]下的图傅立叶变换（GFT）分量。然后，GFT Cum2检验统计量可定义为归一化图窗平均计算谱。图的高阶累积量、测试统计量、加窗技术、测试性质和渐近分布的形式化定义仍有待公式化，但我们认为这是朝着图平稳性的形式化测试统计量迈出的一步，据我们所知，这还不存在。3 Cum2测试规模和威力的实证评估下一步，我们评估合成数据测试的规模和威力，作为10000 g生成样本中的百分比样本，其中测试拒绝平稳性。我们希望看到经验测试规模接近于地面真实测试规模和大功率。补充资料中提供了一个实现cum2并计算p值的R包[16]。我们首先生成严格的平稳数据（白噪声），以评估Cum2的经验大小。在5%的地面真值大小下，对于T=250，测试f的经验大小或不同样本大小T为0.062，对于T=1000，测试f的经验大小为0.063，对于T=5000，测试f的经验大小为0.059。接下来，我们评估测试的电磁脉冲功率。对于Cum2，可以指定许多无n平稳性的备选方案。我们将注意力限制在单位根和变化的二阶矩的交替变量上。我们首先生成数据x（t）=λy（t）+u（t），以包括单位根c成分y（t）=Ptj=1v（j）和白噪声平稳成分tu（t）。测试拒绝了严格平稳性的零点，T=250的幂次分别为0.080，T=1000的幂次为0.420，T=5000的幂次分别为0.997。

然后，我们生成具有变化的第二个动量的合成数据，x（t）=σtu（t），其中u（t）是白噪声，σ是方差。在完全平稳的情况下，变量为1，在σt=σ的备选方案下，遵循分段线性趋势+σ- σ（t- m） （1）- m）-1对于t≥ t<m时为m，σ=1，σ=dσ。表1说明了测试在二阶矩中消除线性趋势的能力（如果d=4，则增加，如果d=0.25，则减少），对于不同的样本大小，t={250，1000，5000}，以及测试的五个基本真值大小，该测试从样本中的t个不同点开始（如果m=0.5，则为中途，如果m=0.9，则为晚期）。表1：在第二次momen tm d Cum2.250 Cum2.1000 Cum2.50000.5 4 0.273 1 10.5 0.25 0.078 0.378 0.9560.9 4 0.447 1 10.9 0.25 0.066 0.084 0.1054伽马射线衰变应用中检测piec-ewise线性趋势的检验经验威力我们将该检验应用于137Cs伽马射线衰变测量数据集。da ta在铅屏蔽外壳中使用137Cs源和N-aI探测器，以尽量减少背景贡献。NaI探测器产生的光脉冲与探测器中伽马射线沉积的能量成比例。对于每个光脉冲，使用光电倍增管和多通道分析仪测量总光输出，该分析仪根据光输出将输出存储到离散的存储箱中。计算连续事件之间的时间，重新计算一系列999508个到达时间。物理定律预测脉冲序列是平稳泊松过程，因此到达时间序列是平稳随机过程。

对于L=200的帧长，cUM2检验p值为0.26，未能如预期的那样拒绝该过程严格平稳的零假设。5结论在这篇文章中，我们使用在主域中计算的两个频率对的二阶累积量谱的帧平均估计来建立随机过程是严格平稳的零假设的统计检验。在严格平稳条件下，基于时间序列在频域的二阶累积量谱为零的性质进行了检验。我们研究了检验的经验大小和威力，并在伽马射线衰变数据的应用中证明了其性能。未来的研究方向包括扩展Cum2理论，开发一种测试图形符号的严格平稳性的方法，应用于学习图形上的CNN、去噪、修复、天气预报和社交网络。我们与[15]中发展的理论有关。在图信号处理领域，我们定义了在V中的一系列顶点处测量的图信号X，其中G=（V，E）是一个加权无向图。Girault[1 5]引入了等距图平移操作符TG=exp(-i t公司√La）其中La是图Lapla cian矩阵。然后，如果对于所有t，X在分布上等价于TtGX，则随机图信号是严格平稳的。图傅里叶变换GF t X=X（exp-它√λ) 然后定义为X在拉普拉斯山脉eige Invectors上的投影。Girault【15】引入了图的广义平稳性的概念，等价于经典信号处理的广义（二阶）平稳性，如果λl6=0时E【GF T Xl】=0，且E【GF T Xk】* GF T X*k] =0表示λk6=λk。未定义正式的测试统计数据。我们建议将Cum2测试扩展到gra-ph站一致性测试。参考文献【1】David R Brillinger。