凯利投注者应该以什么频率下注？

经过直接计算，我们得到了修正后的预期对数增长率，由gn（K）=log（1+r）+nE[log（1+KXn）]和Xn给出=1+Xn（1+r）n- ε - 总之，在高级形式计算中，只要方便，取ε=0和r=0不会失去一般性。示例：交易成本考虑因素：为了说明交易成本如何抵消高频下注的绩效影响，我们重新讨论了上一节中考虑的偶数货币伯努利案例。我们现在证明，随着交易成本的增长，n=1不再是最优的。为此，根据上述讨论，我们现在取0<ε<1作为投注者每次更新赌注大小时产生的交易成本百分比。请注意，当这些成本包括在内时，存在一种可能性，即当K>1/（1+ε）时，将出现情况V（K）<0。为了避免这种歧义，在接下来的分析中，我们处理了K的子集，其中K的“生存”问题得到了解决；i、 e.压裂K∈ Kε=0,1 + ε.现在，为了分离这些交易成本影响，我们取利率r=0，并找到K*n∈ Kε最大化由gn给出的期望对数g增长，ε（K）=nE[对数（1+K（Xn- ε) )] .注意，gn，ε（K）在K中是凹的。定理2：考虑上面描述的抛硬币游戏，p>1/2，甚至金钱回报，交易成本0<ε<1。然后，用P≤ pε=1+εn1/n，最佳方钻杆分数为K*n、 ε=0，相关预期对数增长g*n、 ε=0。

否则，K给出的最优值*n、 ε=npn- ε - 1（ε+1）（2n- ε - 1） 根据G给出的相关预期对数增长*n、 ε=pnlognpnε+1+ (1 - pn）日志n（1- pn）n- ε - 1..证明：首先，请注意K>0的预期对数增长由gn给出，ε（K）=pnlog（1- εK+K（2n- 1))+ (1 - pn）日志（1- εK- K） 。现在取第一个导数并将其设置为z e ro，我们得到了最佳柯利分数的候选值，c allit K=K*n、 ε如上所示。为了完成证明，我们首先展示K*n、 ε∈ Kε。事实上，观察到2n- ε - 1>0和1/2<p≤ 1，很容易看出这一点*n、 ε≤1 + ε.此外，对于p≥ pε，我们有K*n、 ε≥ 0 . 现在利用零导数点K*n、 ε是唯一的，结合gn，ε（K），在定理1的前提下，是凹的，因此K*n、 ε是全局最大值。因此，替换K*n、 ε转化为gn，ε（K），直接计算得出g*n、 ε按要求。2 4 6 8 10 12 14 16 18 20赌注之间的步数n0.050.10.150.20.250.30.35gn*p=0.6p=0.7p=0.8p=0.9图。3： 交易成本对g的影响*注释：注意，当ε→ 0，作为特例，我们得到了前一定理中原始的零交易成本结果；i、 e.，limε→0公里*n、 ε=limε→0npn- 1.- ε（ε+1）（2n- ε - 1） =npn- 1n- 1=K*n、 为了说明结果的使用，f或p=0.6、0.7、0.8和0.9，ε=0.1，我们给出了最佳预期对数增长率*图3中的nversus n。从该图中，我们可以看到最佳等待时间为n*= 换句话说，最佳状态是通过等待两个时间单位而不是在每一步下注来实现的。五、 两个猜想和支持性证据在本节中，我们提供了两个由前几节的结果和数值实验提出的猜想。

粗略地说，我们的第一个猜想是，如果没有交易成本，押注频率越高，表现越好。粗略地说，这表示“越快越好”事实上，对于一个简单的抛硬币例子来说，这显然是真实的。以下主题涉及第二部分中提出的一般情况。猜想1：最优期望对数增长g*nis不增加n；i、 e.，对于所有n≥ 1，克*n≥ g级*n+1。支持猜想1的证据：我们现在分析的例子是第II I节中伯努利随机变量情景的推广。实际上，我们现在考虑一个由x（k）描述的投币游戏∈ {-γ、 γ}，0<γ≤ 1和p>1/2。与γ=1的earlierscenario相比，分析变得更加复杂，原因如下：当0<γ<1时，总收益Xnno不再具有两点概率质量函数。在这种情况下，对于i=0，1，2，n我们获得位于xi=（1+γ）i（1）的点质量- γ） n个-我- 1相关概率pi=P（Xn=xi）=ni！pi（1- p） n个-i、 这导致了公式GN（K）=nnXi=0pilog（1+Kxi），我们对K进行了最大数值模拟∈ K=[0，1]。为了研究上述猜想，我们对γ的许多值进行了优化。我们现在描述的情况γ=1/2代表了我们的发现。要清楚地看到g*和g*n、 我们绘制了e*n、 =克*- g级*nas是图4中p的函数。与猜想1一致，我们看到g*n> g级*n+1用于p≤ 0.75.然而，更有趣的是，我们观察到≥ 0.75，与g有关的不等式*nto g公司*n+1为最佳价格。也就是说，一旦投注变得“极具吸引力”，高频投注似乎没有任何好处。例如，每十步的预期对数增长赌注与每一步的新赌注相同。

这一观察结果为我们的第二个问题铺平了道路，这个问题涉及到以下一个粗略的问题：在什么情况下增加投注频率是浪费时间？为了解决这一问题，现在引入了一种技术条件，我们称之为“足够的吸引力”（sufficient attraciencessinequality）。e2*e5*e10*0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0000.0010.0020.0030.0040.0050.006pen*图4：误差曲线图e*nVersus pDe定义：i.i.d.随机变量X（k）表示满足足够的吸引力不平等ifE1+X（0）≤ 1、备注：上述描述词“吸引力不足”的使用与我们在大量例子中的经验是一致的，这些例子表明：当赌博对投注者非常有利时，这种不平等倾向于得到满足。作为第一个例子，对于概率为1的X（0）>0的极端情况，我们有一个套利，上面充分的吸引力不等式是微不足道的。事实上，我们现在认为E[1/（1+X（0））]的最小SSO是可取的。要确定这一点，请将θ=E1+X（0）.然后，由于f（z）=1/（1+z）是凸的，应用Jensen\'sinequality可以得到1+E[X（0）]≤ E1+X（0）,其中，对于0<θ≤ 1表示E[X（0）]≥θ- 这个不等式告诉我们，当θ减小到零时，E[X（0）]无边界地增加。换句话说，e[1/（1+X（0））]的小是可取的。这个不平等也告诉我们，足够的吸引力意味着E[X（0）]≥ 更现实地说，对于前一节中考虑的情况，X（k）=γ，概率为p，X（k）=-概率为1的γ- p、 很容易验证，当且仅当ifp满足充分牵引性不等式≥1 + γ.例如，对于γ=1/2的偶数货币支付，我们需要p≥ 0.75. 注意，对于极端情况γ=1，我们需要p=1和所有g*nare相等。

更一般地，对于X（k）的伯努利问题∈ {Xmin，Xmax}和P（X（k）=Xmax）=P，充分的吸引力质量会降低top≥|Xmin |（1+Xmax）Xmax- Xmin。这告诉我们，获胜概率p应该高于so me阈值，以便将赌注视为具有充分吸引力。下面我们提供一个结果，作为我们下一个猜想的补充。均匀分布的足够吸引力：我们现在提供均匀分布的更多细节。这个例子很有趣，因为充分牵引性不等式可以以闭合形式进行分析。假设i.i.d.retur ns X（k）ar e受[a，b]上的统一分布所控制，其中-1<a<0，b>0。为了研究充分的吸引力不平等，我们计算1+X（0）=b- alog公司1+b1+a.现在，对于a在其允许范围内，我们定义min（a）=minb>0:E1+X（0）≤ 1..请注意，统一m分布的充分吸引力不等式很容易被视为等同于A1+a≤如果我们把f（t）=et/（1+t），那么上面的不等式就是f（a）≤ f（b）。自从-1<a<0<b假设在均匀情况下，当且仅当b≥ bmin（a），其中bmin（a）>0解f（b）=f（a），这在Matlab中很容易实现。下面的备注中提供了bmin（A）的公式。备注：上述bmin（a）的描述也可以从兰伯特函数开始。即bmin（a）=-1.- W-1.- （1+a）e-（1+a）其中W-1（·）是下分支满足W的Lambert函数-1(·) ≤ -图5提供了bmin（a）与| a | fo r a的曲线图∈ (-1, 0). 注意，随着a的减少，该图告诉我们需要什么样的b值来维持足够的牵引力。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 | a |图。

5： 足够的吸引力：bmin（a）与| a |足够定理：满足足够的吸引力不等式保证条件*= g级*nholds适用于所有n≥ 1、证明：假设充分的吸引力不平等成立，我们首先声称gn（K）是不减损的。从ddkgn（K）=ddKE[log（1+KXn）]开始，并注意到Xnis有界，导致概率论，例如，参见[18]和[19]，允许我们转换上述微分和期望运算符。因此，ddKE[对数（1+KXn）]=EddKlog（1+KXn）= EXn1+KXn.现在注意到不等式z1+Kz≥ 1.-1+Z适用于所有K∈ [0，1]和所有z>-1，我们得到Ddke[对数（1+KXn）]≥ 1.- E1+Xn.利用X（k）是i.i.d.的事实。，我们观察到1+Xn= E“n-1Yk=01+X（k）#=E1+X（0）n≤ 现在把这个和前面的不等式结合起来，我们得到了dDkgn（K）≥ 0表明gn（K）在K中是非d递减的。因此，gn（K）在K=1时最大。因此，对于所有n，我们有g*n=gn（1）。只需观察th atgn（1）=nE[对数（1+Xn）]=nn-1Xk=0E[对数（1+X（k））]=E[对数（1+X（0））]=g*这就完成了证明。备注：效率定理告诉我们，当betis足够有吸引力时，买入并持有投注者可以达到与高频投注者相同的投注绩效。同样值得一提的是，退化情形E[X（0）]=0，没有被我们的初始假设所涵盖，很容易显示为所有g*n=0；i、 e.最佳值为K*n=0，对应于不下注。猜想2：满足足够的吸引力对于条件g是必要的*= g级*nto全部保留n≥ 1、猜想2的支持证据：首先要注意的是，我们进行了一些初步的数值实验，结果支持对常用分布的猜测，如伯努利分布、均匀分布、三角形分布、β分布和截断正态分布。

也就是说，在满足充分吸引力不平等的情况下，对于许多情况，我们进行了必要的优化，以发现*n、 t我们发现g的数值精度*n≈ g级*对于我们考虑的N范围。为了进一步证明充足吸引力的必要性，请在图4中观察p≥ 0.75，我们有g*n=克*对于n=2、5和10。对于均匀分布的情况，虽然图中没有显示，但我们的数值实验也显示g*n=克*对于n≤ 20.VI.结论和未来工作在本文中，我们研究了在动态环境中，以Kelly的庆祝指数期望对数增长标准作为绩效衡量标准来优化下注频率的问题。我们对X（k）是一个具有偶数金钱回报的伯努利随机变量的重要特例进行了详细的分析。我们还将分析扩展到包括闲置现金的应计利息和交易成本。伯努利方程的结果支持我们的第一个猜想，即最优期望对数增长率*nis a在n中不增加。我们还研究了任意低频下注仍能达到与非常高频下注相同性能的条件。为此，我们表明，对足够吸引力的满足感确保了g*n=克*随后，我们推测，足够的吸引力也是必要的，并提供了数字证据支持。关于进一步的研究，一个明显的延续将是更详细地研究这两个猜想。未来研究的另一个问题是将本文的结果扩展到一个包含许多相关随机变量的投资组合场景；i、 我们取X（k）为向量，而不是这里考虑的标量。

对于K是权重向量的更一般情况，我们设想凹面编程将发挥重要作用，因为当多维优化形成时，计算可伸缩性可能成为一个重要问题。参考文献【1】J.L.Kelly，“信息率的新解释”，《贝尔系统技术期刊》，第35.4卷，第917-9261956页。[2] H.A.Latan\'e，“风险企业的选择标准”，《政治经济学杂志》，第67卷，第144-1551959页。[3] L.Breiman，“有利游戏的最佳赌博系统”《第四届伯克利数学统计与概率研讨会论文集》，第1卷，第63-681961页。[4] N.H.Hakanson，“关于有无序列相关性的最佳短视投资组合政策”，《商业杂志》，第44卷，第324-3341972页。[5]E.O.Thorp，“有利游戏的最佳赌博系统”，《国际统计研究所评论》，第37卷，第273-2931969页。[6] T.M.Cover和J.A.Thomas，《信息论要素》，Wiley，2012年。[7] D.G.Luenberger，《投资科学》，牛津大学出版社，纽约，2011年。[8] E.O。Thorp，“21点体育博彩和股市中的Kelly标准”，《资产负债管理手册：理论与方法》，第1卷，385-428页，Elsevier Science，2006年。[9] L.C.Maclean、E.O.Thorp和W.T.Ziemba《长期资本增长：Kellyand分数Kellyand资本增长标准的优缺点》，《量化金融》，第10卷，第681-6872010页。[10] L.C.MacLean，E。O、 Thorp和W.T.Ziemba，《Kelly CapitalGrowth投资标准：理论与实践》，世界科学出版公司，2011年。[11] D.Kuhn和D.G.Luenberger，“对数最优投资组合选择中再平衡频率的分析”，《定量金融》，第10卷，第221-234页，2010年。[12] 第五条。

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