凯利投注者应该以什么频率下注？

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英文标题：
《At What Frequency Should the Kelly Bettor Bet?》
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作者：
Chung-Han Hsieh, B. Ross Barmish, John A. Gubner
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We study the problem of optimizing the betting frequency in a dynamic game setting using Kelly\'s celebrated expected logarithmic growth criterion as the performance metric. The game is defined by a sequence of bets with independent and identically distributed returns X(k). The bettor selects the fraction of wealth K wagered at k = 0 and waits n steps before updating the bet size. Between updates, the proceeds from the previous bets remain at risk in the spirit of \"buy and hold.\" Within this context, the main questions we consider are as follows: How does the optimal performance, we call it gn*, change with n? Does the high-frequency case, n = 1, always lead to the best performance? What are the effects of accrued interest and transaction costs? First, we provide rather complete answers to these questions for the important special case when X(k) in {-1,1} is a Bernoulli random variable with probability p that X(k) = 1. This serves as an entry point for future research using a binomial lattice model for stock trading. The latter sections focus on more general probability distributions for X(k) and two conjectures. The first conjecture is simple to state: Absent transaction costs, gn* is non-increasing in n. The second conjecture involves the technical condition which we call the sufficient attractiveness inequality. We first prove that satisfaction of this inequality is sufficient to guarantee that the low-frequency bettor using large n can match the performance of the high-frequency bettor using n = 1. Subsequently, we conjecture, and provide supporting evidence that this condition is also necessary.
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中文摘要：
我们使用Kelly著名的期望对数增长准则作为性能度量，研究了动态博弈环境中的下注频率优化问题。游戏由一系列具有独立且相同分布回报X（k）的下注定义。下注者选择K=0时下注的财富K的分数，并等待n步，然后更新下注大小。在两次更新之间，基于“买入并持有”的精神，先前赌注的收益仍处于风险之中在此背景下，我们考虑的主要问题如下：最佳性能（我们称之为gn*）如何随n变化？高频情况下，n=1，是否总是导致最佳性能？应计利息和交易成本的影响是什么？首先，对于{1,1}中的X（k）是概率p为X（k）=1的伯努利随机变量的重要特例，我们提供了这些问题的相当完整的答案。这是未来使用二项式晶格模型进行股票交易研究的切入点。后几节重点讨论X（k）的更一般的概率分布和两个猜想。第一个猜想很容易说明：在没有交易成本的情况下，gn*在n中不增加。第二个猜想涉及技术条件，我们称之为充分吸引不等式。我们首先证明了满足这个不等式足以保证使用大n的低频投注器可以与使用n=1的高频投注器的性能相匹配。随后，我们猜测，并提供支持证据，证明该条件也是必要的。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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关键词：Quantitative Optimization Mathematical distribution Applications

凯利投注者应该以什么频率下注？谢忠汉（Chung Han Hsieh）、B.Ross Barmish（B.Ross Barmish）和John A.GubnerAbstract（John A.GubnerAbstract）——我们研究了在动态博弈环境中，使用Kelly的三重预期对数增长标准作为绩效指标来优化下注频率的问题。该游戏由一系列具有独立且相同分布回报X（k）的赌注定义。下注者选择K=0时下注的财富K的分数，并等待n步，然后更新下注大小。在更新期间，之前的赌注收益仍处于“买入并持有”的风险之中在这种情况下，我们考虑的主要问题如下：最佳性能如何，我们称之为g*n、 是否更改为n？高频情况下，n=1，是否总是导致最佳性能？应计利息和交易成本的影响是什么？首先，对于X（k）时的重要特例，我们提供了这些问题的完整答案∈ {-1，1}是aBernoulli随机变量，概率p为X（k）=1。这是未来使用非指数格模型进行股票交易研究的切入点。后一部分重点讨论X（k）和两个猜想的更一般的概率分布。第一个猜想很容易说明：没有交易成本，g*第二个猜想涉及我们称之为充分吸引不等式的技术条件。我们首先证明，满足这一不等式足以保证使用大n的低频投注者的性能与使用n=1的高频投注者的性能相匹配。随后，我们推测，并提供支持性证据，证明该条件也是必要的。我

简介本研究的出发点是Kelly的预期对数增长标准，该标准最初用作各种顺序下注问题的性能指标；参见[1]和[2]-[5]中的进一步发展。这一准则不仅为赌博理论提供了基础，而且也是股票市场投资组合优化研究的起点；e、 g.，见【6】-【10】。此外，在本文献中，已确定了使用Kelly准则所产生的一些理想性质。这些性质中最重要的是一些论文中建立的渐近性能保证。最后，关于这些主题的最新论文样本包括[11]-[15]。更具体地说，经典的凯利下注问题是通过一系列独立和身份的下注来描述的。Hung Han Hsieh是威斯康辛州麦迪逊市威斯康辛大学电气和计算机工程系的一名研究生，正在攻读博士学位，邮编53706。电子邮件：hsieh23@wisc.edu.B.Ross Barmish是威斯康星州麦迪逊市威斯康星大学电气与计算机工程系的教员，邮编53706。电子邮件：barmish@engr.wisc.edu.JohnA.Gubner是威斯康星州麦迪逊市威斯康星大学电气与计算机工程系的教员，邮编53706。电子邮件：john。gubner@wisc.edu.callydistributed（i.i.d.）返回具有已知概率分布的X（k）。下注者指定正在下注的财富Kb的分数，以寻求最大化账户价值V（k）的预期对数增长，从k=0到最终阶段k=N。

在中间阶段k，如果账户值为V（k），并且由于赌注大小为KV（k），则收益或损失由KX（k）V（k）给出，更新后的账户值为V（k+1）=（1+KX（k））V（k）。在此背景下，本文考虑了Kelly问题的一个新版本，即优化下注频率。每次下注后，在下注发生更新之前，强制执行nsteps的等待期。在更新期间，之前的赌注收益仍处于“买入并持有”的风险之中当两人打赌的时候，叫它t、 非常小，这被视为高h频率的情况t islarge，这对应于“买入并持有”[11]中在连续几何布朗运动后的旋转优化中重新考虑了这两个极端情况。与这项工作相比，我们的目标是在离散时间内分析更一般的情况，即收益率的概率分布和时间间隔更新之间的时间间隔是任意的。我们考虑从低到高的整个频率范围。在我们上面描述的新环境中，我们认为存在以下问题：如何实现最佳性能，我们称之为g*n、 随等待时间变化nt更新之间？高频情况n=1是否总能获得最佳性能？交易成本的影响是什么？首先，我们为一个重要的特例提供了相当完整的答案，当X（k）是一个伯努利随机变量，对应于可能性为p的赢宁g的均币赌注。在凯利的原始工作中，这可以被视为一个简单的有偏投币博弈，并作为未来使用二项式晶格模型进行股票交易研究的n切入点。

在PAP r的这一部分中，分析还扩展到考虑闲置现金的实际利息和交易成本。与直觉一致，当涉及交易成本时，低频下注者可能比高频下注者做得更好。本文的后几节重点讨论X（k）的更一般概率分布和两个猜想。第一个猜想很简单：没有交易成本，g*nis不增加n；i、 例如，g*n≥ g级*n+1对于所有n。也就是说，增加下注频率只能提高绩效。这就提出了以下问题：假设猜想是真的，那么不等式g*n≥ g级*n+1必须严格？也许g*n=克*对于所有n？如果是这样，粗略地说，这将表明高频下注是“浪费时间”你也可以在不更新的情况下在k=0下注一次。第二个猜想与上述问题密切相关。为此，我们与技术条件合作1+X（0）≤ 正如在续集中所解释的，这种不平等很容易被解释为投注“吸引力”的指标。因此，当这种ine质量得到满足时，betis就具有足够的吸引力。我们首先证明，该条件实际上足以保证g*n=克*那么，我们猜想满足这个不等式也是一个必要条件。

换言之，这种不确定性完全体现了一种情况，即在这种情况下，提高投注频率不会带来任何好处。第三节中的伯努利随机变量分析和第五节中描述的数值实验为这种结构提供了支持。控制理论背景下的Kelly准则：虽然这里的分析没有参考控制理论，有趣的是，所考虑的这类问题很容易用反馈系统的语言重新表述。这样的表述与我们以前的工作是一致的；e、 g.，见【14】-【17】。为了进一步解释，如果我们引入符号I（k）来表示确定每个阶段“投资”或bet的控制器的输出，我们将I（k）=KV（k）识别为线性时变反馈，增益k为Kelly分数。该控制理论设置如图1所示。我们还指出，当X（k）是一个向量而不是一个标量时，这种重新表述可以推广到处理这种情况；参见【14】和【15】。对于我们在未来工作中设想的股票市场投资组合应用程序，这将发挥重要作用。图1：凯利式赌博反馈配置I。问题公式从k=0开始，我们假设X（k）是一系列i.i.d.随机变量。我们称X（k）为返回值，并假设xmin≤ X（k）≤ xmax，其中Xminand和xmax是令人满意的支持点-1.≤ Xmin<0<Xmax<∞.隐含在不等式中-1.≤ xmi以上是，投注者输掉的金额不能超过投注金额的100%。现在，对于每个人≥ 1表示赌注之间的周期数，我们定义了一个新的随机变量xn=n-1Yk=0（1+X（k））- 1由X（k）诱导。这个新的随机变量是总回报，它有自己的界限，可以从xminandxmax获得。

也就是Xn≤ （1+x最大）n- 1.=Xn，最大值；Xn公司≥ （1+Xmin）n- 1.=Xn，min，注意Xn，min≥ -1和Xn，最大值<∞. 换句话说，无论使用什么等待期n，博彩损失仍然不能超过100%，博彩收益是有限的。现在，对于n的任何固定值，我们寻求最大化期望的对数g rowthgn（K）=nE[对数（1+KXn）]受约束K∈ K，其中K代表“豪斯”或博彩公司实施的“博彩规则”。在涉及频率分析的第一部分工作中，为简单起见，我们在续集中采用K=[0，1]；有关详细信息，请参见下面的rem ARK。相关的最佳预期对数增长现在是asg*n、 =最大值∈Kg（K）和任何K*n∈ K满足gn（K*n） =克*nis称为最佳方钻杆分数。假设证明E[X（0）]≤ 0 le a ds到K*对于所有的n，n=0，也就是说，在没有失去普遍性的情况下，根本不设为最优，在续集中，我们的长期假设是e[X（0）]>0。备注：上述约束K=[0，1]的解释如下：首先，要求K≥ 0强制设定为非负。粗略地说，这是不允许下注的“反面”。例如，如果一枚均币在正面获得回报，那么K<0可以解释为在反面下注，这是不允许的。在股票市场上，这相当于“卖出”与K相关的第二个不等式，名称ly K≤ 通常被称为现金融资约束。也就是说，它强制下注大小不超过帐户值V（k）。换句话说，这不允许杠杆从“房子”延伸到投注者。本文中提出的范式对于K的各种其他选择仍然有效。粗略地说，这里给出的许多结果的扩展是使用“生存”的概念来完成的，它不允许任何可能导致V（K）<0的赌注。

在下一节中，虽然不是很突出，但当交易成本被引入分析时，生存条件很容易发挥作用。有关这些更一般的情况的更多详细信息，请参阅reade r[15]。另一点需要注意的是，上面的函数gn（K）可以很容易地表示为K。对于K是标量的情况，无论函数是否凹，gn（K）的数值最大化都很简单。然而，对于K可以作为权重因子的更多一般情况，凹度起着重要作用，因为计算的可处理性可能是一个问题。读者请参阅[14]和[20]，以了解有关此主题的更多详细讨论。最后，在定义上述预期对数增长gn（K）时，重要的是要注意因子1/n。这是必要的，因此，在区分n值的性能上，比较是“苹果对苹果”换句话说，由于gn（K）与每n个周期的e-bet相关，我们将预期的对数增长调整为每个周期。如果我们将n视为每单位时间的下注次数，那么下注频率由1/n给出。III.伯努利随机变量的结果在导言中进行了讨论，现在我们考虑一个简单的偶数货币抛硬币游戏的动机情况。与E[X（0）]>0的长期假设一致，我们假设p>1/2是头部的概率。现在，将be ts之间的步数视为变量，下注者考虑每n个时间步对下注大小进行凯利式调整的可能性。

在调整期间，允许货币“骑行”，并将由此产生的利润或损失结转到后续赌注中，并被视为“未实现”，直到n个硬币流被执行为止。实际上，因为X（k）∈ {-1，1}是一个伯努利随机变量，我们的频率依赖性方法可以用封闭的形式进行，我们的结果对于g*n＞1可与经典的Kelly解进行比较，对于n＝1，该解由K给出*= 2p级-1和相关的最佳预期对数增长*= p对数（2p）+（1- p） 日志（2- 2p）。产生的性能作为频率的函数，在下面的定理中描述。定理1：对于p>1/2且上文所述的金钱回报为偶数的硬币游戏，最优Kellyfraction isK*n=npn- 1n- 1相关的最佳预期对数g增长由g给出*n=pnlog p+1.- pnn公司日志1.- pnn公司- 1.+ 日志2。证明：我们首先观察到总回报由xn=2n给出- 概率pnandXn=-1具有概率1- 请注意。现在我们计算预期的对数增长gn（K）=nE[对数（1+KXn）]=n[pnlog（1+（2n- 1） K）+（1- pn）日志（1- K） ]并找到其衍生物gn公司K=npn（2n- 1） 1+（2n- 1） K级-1.- pn1- K.将其设置为零，我们得到最大值的唯一候选f，称之为K=K*n、 给定byK*n=npn- 1n- 1是可行的；i、 e.，K*n∈ [0, 1]. 现在利用gn（K）是凹的事实，结合上面零竞争点的唯一性，可以得出K*nis全局最大化器；e、 g.，见【20】。最后，为了完成我们的分析，我们将K替换为*ninto gn（K）。冗长而直截了当的计算导致*n=pnlog p+1.- pnn公司日志1.- pnn公司- 1.+ 日志2。2 4 6 8 10 12 14 16 18 20赌注之间的步数n0.050.10.150.20.250.30.350.4gn*p=0.6p=0.7p=0.8p=0.9图。

2： 最佳预期对数增长与NRECORDS：为了更清楚地证明上述公式e得出的pe形式的频率依赖性，在图2中，对于各种p值，我们绘制了g*nas a等待期的函数n.注意g*nis非递增，表明下注“越快越好”在下一节中，我们提供了关于这些结果在多大程度上可推广到X（k）的更一般概率分布的猜测。四、 交易成本和应计利息现在表明，本文中的问题公式如何容易扩展，以包括交易成本和闲置现金应计利息的考虑。就交易成本而言，我们考虑百分比费用0<ε的情况≤ 每次更新赌注时，“豪斯”都会对1进行评估。如果这发生在阶段k，则电荷为εKV（k）。常识告诉我们，随着ε的增加，高频下注的好处将被抵消。下面的示例证实了这一点。此外，对于闲置现金的情况，让r表示每个期间的利息率。在n次更新赌注之间有n步，从k=0到k=n的应计利息为（1+r）n（1- K- εK）V（0），预计最佳al分数K*N应增加s r增加；也就是说，当一种无风险的替代品可用时，在一场有风险的赌博中牵制资金的动机就会减少。为了简洁起见，我们简单地总结了在扩展公式中如何处理上述两个考虑因素。如果它说，利息和交易成本的影响可以“集中到”回报中。