真实世界测量下的量化：快速准确的评估

因此，由Radon-Nikodym导数过程引起的“风险中性度量”将不是概率度量。或者，考虑测度Pθ的存在性，使得贴现GOP在该测度d′S下可能是鞅*t=cα1-在\'\'S*t型adWθt.（10）使用与命题2.2的证明中相同的变换，Yt=ααt*t型2(1-a） ，它是向前延伸的，以表明在这个假设度量下，贴现GOP是维度Δθ=1的BESQ过程的幂-2a1-a<2。由于该过程具有在有限时间内达到零的非零概率，因此测度Pθ不能等价于P，P是原始的真实世界概率测度，X的维数δ=3-2a1-a> 2，永远不要为零。3选项定价在本节中，递归边际量化用于为基准方法提供快速准确的定价。RMQ由Pag\'es和Sagna【2015】引入，并由McWalter等人【2018】扩展到高阶方案。最初，分析欧洲期权价格是在恒定利率的假设下得出的。这些公式分别推广了Miller和Platen【2008、2010】中针对最小市场和修正的恒定方差弹性模型的公式。虽然这些公式是解析式的，但计算起来在数值上很昂贵，并且与通过RMQ获得的快速但近似的价格相比。此外，GOP上的百慕大期权使用传统的蒙特卡罗方法定价，与递归边际量化方法相比，其准确性、速度和效率更高。第二小节涉及Baldeaux等人【2015年】引入的混合模型。混合模型将GOP的TCEV模型与3/2随机短期利率模型相结合。Baldeaux等人【2015年】在假设GOP独立于短期利率的情况下，推导出分析零息票债券价格。

在本节中，数值实验表明，这些价格与RMQ非常接近。本文还研究了独立性假设对零息票债券价格的影响。最后，使用传统蒙特卡罗方法和RMQ对零耦合债券的欧洲期权进行定价。所有仿真均使用MATLAB 2016b在配备2.00 GHzIntel i-3处理器和4 GB RAM的计算机上进行。3.1 Baldeaux等人【2014年】中出现了类似于下面命题3.1和3.2中得出的恒定短期利率表达，其中罢工被选择为储蓄账户的恒定倍数。通过这种方式，Baldeaux等人【2014年】通过限制他们所考虑的罢工类别，避免了指定短期利率的模型。提案3.1。假设利率r不变，则实际价格pT，K（t，S*t） ，在到期时间为t的GOP上的欧洲看跌期权，行权K由pt，K（t，S）给出*t） =-\'\'S*tβ（t）χ0 2eKφ; δ、 （\'\'S*t） 2（1-（a）φ!+ Kβ（t）β（t）“χ0 2（\'S*t） 2（1-（a）φ; δ -2, 0!- χ0 2（\'S*t） 2（1-（a）φ; δ -2，埃克φ!#,whereeK公司=Kβ（T）2(1-a） ，β（t）=exp（rt），δ=3- 2a1- 一Д=Д（T）- Д（t），其中χ0 2（x；δ，λ）表示非中心卡方分布，在x处用自由度δ和非中心性参数λ进行评估，并且Д（t）在命题2.2中定义。证据

当短期利率不变时，储蓄账户是确定性的，t=exp（rt）=：β（t）。按照标准，以数字为单位的支付预期可以表示为两个预期的差值，pT，K（t，S*t） =ES*tS*T（K- S*T）+在= E英寸*t’S*Tβ（T）Kβ（T）-\'\'S*T+在#=(R)S*tβ（t）β（t）KE\'\'S*TInKβ（T）>S*到在-\'\'S*tβ（t）E墨水β（T）>S*到在.使用命题2.2，第一个期望可以根据维度δ=3的asquared Bessel过程的幂重写-2a1-a> 2，E\'\'S*tInKβ（T）>S*到在= E十、-(δ-1） Д（T）I{eK>XД（T）}在=ZeKX公司-(δ-1） pδ>2（X，Д（T）；Xх（t））dX，转变密度pδ>2，由附录A中的（23）给出。现在，附录A中的对称关系（26）可应用于yieldZeKX-(δ-1） pδ>2（X，Д（T）；XИ（t））dX=X-(δ-1） ^1（t）ZeKp4-δ（X，Д（T）；Xх（t））dX，其中待积分的最终密度是（17）给出的标准递减密度。边界可以按asX重写-(δ-1） ^1（t）ZeKp4-δ（X，Д（T）；XИ（t））dX=(R)S*t型Z∞p4页-δ（X，Д（T）；XИ（t））dX-Z∞eKp4-δ（X，Д（T）；XИ（t））dX,并使用附录中的（19）和（20\'\'S*tInKβ（T）>S*到在=\'\'S*t“χ0 2（(R)S*t） 2（1-（a）φ; δ -2, 0!- χ0 2（\'S*t） 2（1-（a）φ; δ -2，埃克φ!#.类似地，可以直接从跃迁密度（23），E计算第二个期望值墨水β（T）>S*到在=ZeKpδ>2（X，Д（T）；XИ（t））dX=χ0 2eKφ; δ、 （\'\'S*t） 2（1-（a）φ!.欧式看涨期权的解析表达式可以用同样的方法推导，但推导过程避免了上述要求的范数递减密度。提案3.2。

假设利率为常数r，则实际价格为cT，K（t，S*t） ，在到期时间为t的GOP上的欧洲看涨期权，行使K由ct给出，K（t，S*t） =(R)S*tβ（t）“1- χ0 2eKφ; δ、 （\'\'S*t） 2（1-（a）φ!#- Kβ（t）β（t）χ0 2（\'S*t） 2（1-（a）φ; δ -2，埃克φ!,所有定义如提案3.1.5 10 15成熟度11.522.533.544.555.56价格分析欧洲认沽价格真实世界认沽风险中性认沽10 15成熟度01020304050607080风险中性与真实世界认沽价格的百分比差异图1：到期时间为15年的货币欧洲认沽期权获得的风险中性和真实世界价格的比较。为了进行比较，假设一个假设的风险中性指标Pθ，该指标下的贴现GOPdynamics由（10）给出。虽然该度量值不等于P，但当罢工K>0时，风险中性看涨期权价格（表示为cRNT，K）对应于上述Δθ=1的实际世界看涨期权价格-2a1-a、 之所以会出现这种情况，是因为度量值仅对S的值有所不同*大约为0，这是看涨期权定价问题中的积分避免了正面罢工。然而，风险中性看跌期权，即pRNT，K，在长期期限内，其价格明显高于实际世界看跌期权。要了解这一点，请考虑put调用奇偶校验的数学基础，（K- S*T） +=（S）*T- K）+- S*T+K。

（11） 以GOP为基准，在实际度量下取期望值，提供公平看跌期权平价关系pT，K（t，S*t） =cT，K（t，S*t）- S*t+KPT（t，S*t） ，其中公平或真实的零息票债券价格由PT（t，S）给出*t） =ES*tS*T在=β（t）β（t）E\'\'S*t’S*T在=β（t）β（t）χ0 2（\'S*t） 2（1-（a）φ; δ -2, 0!.当然，采用贴现的风险中性预期（11）提供了经典的看跌期权平价关系，pRNT，K（t，S*t） =cRNT，K（t，S*t）- S*t+Kβ（t）β（t）。由于假设的风险中性看涨期权价格与现实世界的看涨期权价格一致，且PT（t，S*t）≤β（t）β（t），图2：带有RMQ定价误差的欧洲看涨期权价格面。现实世界的看跌期权价格必须小于或等于风险中性看跌期权价格。图1说明了采用经典风险中性定价理论的长期货币认沽期权价格与命题3.1提供的价格之间的差异，这些价格是通过实际定价获得的。所使用的参数取自Baldeaux等人【2015年】，其中根据经验数据进行估计，α=51.34，η=0.1239，c=0.1010，a=0.2868。初始贴现GOP设定为50，恒定短期利率设定为5%。到期期限为每两个月一次，从5年到15年。图1的左面板显示了短期期限的价格对应关系，随着期限的延长，风险中性看跌期权变得越来越昂贵。图1的右面板显示了风险中性看跌期权和现实世界看跌期权之间的差异，即经典风险中性期权价格的百分之一。在15年的到期日，实际世界看跌期权的购买成本降低了70%。作为RMQ的第一个示例，图2显示了分析欧洲看涨期权价格表以及RMQ定价错误。

通过改变对初始GOP价值的执行，货币的价值会有所不同，到期时间每月设置一次，从10年到15年不等。使用弱阶2.0 RMQ方案【McWalter等人，2018年】，每年有12个时间步，50个码字在时间上保持不变。最终误差小于0.15%，与成熟度和金钱无关。正如树型方法所预期的那样，误差会在货币上波动。计算RMQ网格到15年只需不到1秒的时间。在图3中，使用最小二乘蒙特卡罗模拟和RMQ对5年到期的百慕大GOP看跌期权和月度行使机会进行定价。蒙特卡罗模拟是一种500000路径长步长模拟，使用贴现GOP的精确传递度。RMQ算法同样是弱阶2.0模式，具有12个时间步和100个码字。蒙特卡罗算法每次罢工大约需要14.9秒，而RMQ算法只需要0.5秒来为所有罢工定价。在最坏的情况下，两种方法之间的最大差异为价格的1.4%。因此，这些方法在不同的打击中非常一致，RMQ算法的速度明显快于0.8 0.9 1 1 1.1 1.2 MoneyNesses01245678910价格近似百慕大看跌期权价格RMQ0.8 0.9 1 1.1 1 1.2 MoneyNesses00.20.40.60.811.21.4百分比差异MC-RMQ绝对差异图3：使用最小二乘蒙特卡罗和RMQ定价的百慕大看跌期权。进行计算。请注意，对于低货币性，RMQ结果可能比最小二乘蒙特卡罗结果更准确，因为蒙特卡罗模拟可能不可靠，无法保留货币选项。3.2随机短期利率在本小节中，Baldeaux等人[2015]研究的混合模型通过延长短期利率和贴现GOP之间的独立性假设而得到扩展。

它展示了随着到期日的增加，现实世界中的零息票债券价格如何显著低于风险中性价格。还提供了欧洲零息票债券看跌期权的快速准确数字定价。Baldeaux等人【2015年】进行了一项实证调查，以确定哪种短期利率模型与贴现GOP的TCEV模型相结合，在定价和对冲长期零息票债券时表现最好。他们的调查得出结论，Ahn和Gao（1999年）的三分之二短期利率模型在捕捉真实世界短期利率动态以及提供零息票债券的最低价格方面优于竞争模型。在实际测量下，3/2短期利率模型由drt=κ（θrt）描述- rt）dt+σr3/2tdWrt，（12），r>0。以下命题3.3摘自Baldeaux等人【2015年】。提案3.3。如果驱动短期利率的布朗运动Wr独立于驱动GOP的布朗运动W，则在t到期的公平零息票债券的时间t价格由pt（t，rt，’S给出*t） =ES*tS*T在= E\'\'S*t’S*TStST公司在= 米（秒）*t、 t，t）G（rt，t，t），（13）5 10 15成熟度0.820.840.860.880.90.920.940.960.981摩尔估值组件5 10 15成熟度0.30.350.40.450.50.550.60.650.70.75IR估值组件图4：混合模型下公平零息票债券价格的分析组件和IR组件。带M（\'S*t、 t，t）=E\'\'S*t’S*T在= χ0 2（\'S*t） 2（1-（a）φ; δ -2, 0!（14） 表示风险成分的市场价格，g（rt，t，t）=EStST公司在= E经验值ZTtrsds公司在（15） 表示利率（IR）成分。证据共和党与短期利率以及储蓄账户的独立性，使得（13）中的预期可以分为（14）和（15）的乘积。

（14）的右侧直接来自命题2.2提供的贴现GOP的已知转移密度，而（15）的右侧则来自储蓄账户的定义，（1）。由于上述主张，如果（15）中的预期是在风险中性措施下进行的，那么公平的零息票债券价格可以解释为传统风险中性债券价格G（rt，t，t）和风险成分市场价格M（S）的乘积*t、 t，t）。注意，MPOR分量显式表示逆折扣GOP过程的所有路径在时间T未达到零的概率。当T变为单位时，该概率变为0；最终，增长最优投资组合支配着任何其他交易资产，确保以GOP表示的资产预期价值为零。这种行为可以在图4的左面板中看到，其中使用上一节中的模型参数将MPOR组件划分为15年。请注意，5 10 15成熟度0.250.30.350.40.450.50.550.60.650.70.75价格分析ZCB价格fair ZBrisk neutral ZCB5 10 15成熟度024681012141618百分比差异风险中性与现实ZCB图5：混合模型中的分析公平零息票债券价格与5至15年期限的假设风险中性债券价格相比。5年后，MPOR成分仅显著低于1。这表明，对于这些参数，理论上真实世界的债券价格和使用经典风险中性定价获得的债券价格，在大约8年的期限内是一致的。提案3.4。

在3/2短期利率模型下，G（rt，t，t）=Γ（α- γ） x（rt，t，t）γΓ（α）F（γ，α，-x（rt，t，t）），α=σκ + (1 + γ)σ, γ =σpφ+2σ- φx（r，t，t）=2κθσeκθ（T-t）- 1.r、 φ=κ+σ，其中f是第一类反超几何函数，或Kummer函数。证据见Ahn和Gao【1999年，第3节】。IR成分如图4的右面板所示，使用Baldeaux等人[2015]从市场估计的3/2模型参数，κ=3.5726，θ=0.096，σ=0.7960，初始短期利率选择为r=0.05。最后，图5显示了15年到期的分析公平零息票债券价格，并与风险中性债券价格进行了对比。图5的右侧面板显示了假设风险中性债券和实际债券之间的差异，以经典风险中性债券价格的百分比表示。到期日为15年的公平债券购买成本降低18%。很明显，公平债券将继续低于11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 12成熟度0.3750.380.3850.390.3950.40.405价格近似ZCB价格（缩放）公平ZCBMC3 StdRMQ5 10 15成熟度00.511.522.533.5绝对误差10-3MC和RMQ误差3 STDRMQ图6：使用蒙特卡罗模拟和RMQ近似公平零息票债券价格。在三分之二的动态下，随着成熟度的进一步延长，成本会更高。演示这些合同的套期保值超出了本工作的范围。然而，Hulley和Platen【2012年】已经证明，理论上真实世界的债券价格可以准确对冲。在图6中，使用蒙特卡罗模拟和RMQ算法近似了公平的零息票债券价格。IR和MPOR成分的蒙特卡罗模拟均使用100000条路径进行计算。

考虑到每个成熟度，MPOR分量可能会有很长的步长，因为确切的过渡密度是已知的，但3/2模型是使用Euler-Maruyama方案模拟的，每年有6个时间步长。RMQ算法每年还使用6个时间步，对于短期利率过程使用50个码字，对于折扣GOP过程使用150个码字。蒙特卡罗模拟的计算时间为13.5秒，而RMQ算法的计算速度是5.1秒的两倍多。两种方法的绝对误差都很小；图6的左面板已缩放至6个月，以便可以看到近似值和分析值之间的差异。蒙特卡罗方法在整个周期内呈现出一些偏差，因为超过三个标准偏差界限的点比预期的多。TheRMQ算法在整个成熟度范围内都处于误差范围内。3.2.1短期利率和GOP相关性的影响尽管短期利率和GOP之间的独立性假设似乎具有局限性，但Baldeaux等人【2015年】提供了一些经验证据。他们使用每日3个月美元国库券利率作为拟定的短期利率，使用EWI114等权指数来近似GOP。他们发现，协变量仍接近于零，且趋势不明显。Platen和Rendek【2012年】提出了使用多样化的世界指数近似GOP的理论。现在已经证明，RMQ方法也可以有效地处理短期利率与GOP之间的相关性。为了解释相关性，Rudd等人开发了联合RMQ算法。