真实世界测量下的量化：快速准确的评估

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英文标题：
《Quantization Under the Real-world Measure: Fast and Accurate Valuation
  of Long-dated Contracts》
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作者：
Ralph Rudd, Thomas A. McWalter, Joerg Kienitz, Eckhard Platen
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  This paper provides a methodology for fast and accurate pricing of the long-dated contracts that arise as the building blocks of insurance and pension fund agreements. It applies the recursive marginal quantization (RMQ) and joint recursive marginal quantization (JRMQ) algorithms outside the framework of traditional risk-neutral methods by pricing options under the real-world probability measure, using the benchmark approach. The benchmark approach is reviewed, and the real-world pricing theorem is presented and applied to various long-dated claims to obtain less expensive prices than suggested by traditional risk-neutral valuation. The growth-optimal portfolio (GOP), the central object of the benchmark approach, is modelled using the time-dependent constant elasticity of variance model (TCEV). Analytic European option prices are derived and the RMQ algorithm is used to efficiently and accurately price Bermudan options on the GOP. The TCEV model is then combined with a $3/2$ stochastic short-rate model and RMQ is used to price zero-coupon bonds and zero-coupon bond options, highlighting the departure from risk-neutral pricing.
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中文摘要：
本文为作为保险和养老基金协议组成部分的长期合同的快速准确定价提供了一种方法。它在传统风险中性方法的框架之外，通过在现实世界概率测度下的期权定价，采用基准方法，应用递归边际量化（RMQ）和联合递归边际量化（JRMQ）算法。回顾了基准法，提出了现实世界的定价定理，并将其应用于各种长期债权，以获得比传统风险中性估价建议的价格更低的价格。增长最优投资组合（GOP）是基准方法的核心对象，它是使用依赖时间的常数方差弹性模型（TCEV）建模的。推导了解析型欧式期权价格，并利用RMQ算法对GOP上的百慕大期权进行了高效、准确的定价。然后，将TCEV模型与3/2美元随机短期利率模型相结合，并使用RMQ对零息票债券和零息票债券期权进行定价，强调偏离风险中性定价。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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关键词：真实世界 Applications Quantitative Computation Traditional

现实世界衡量下的量化：长期合同的快速准确估值拉尔夫·路德（ThomasA.McWalter）*1,2，J¨org Kienitz1,3和Eckhard Plate1,4开普敦大学非洲金融市场与风险管理研究所（AIFMRM），约翰内斯堡大学金融与投资管理系，约翰内斯堡大学数学与自然科学学院，伯吉斯大学，WuppertalFinance学科组和数学与物理科学学院，科技大学悉尼分校2018年1月25日摘要本文提供了一种快速、准确地对作为保险和养老基金协议组成部分的长期合同进行定价的方法。它在传统风险中性方法的框架之外，通过在现实世界概率测度下定价期权，使用基准方法，应用递归边际量化（RMQ）和联合递归边际量化（JRMQ）算法。回顾了基准法，提出了现实世界中的定价定理，并将其应用于各种长期债权，以获得比传统风险中性估值所建议的价格更低的价格。增长最优投资组合（GOP）是基准方法的核心对象，它是使用依赖时间的常数方差弹性模型（TCEV）建模的。推导出了分析性欧洲期权价格，并使用RMQalgorithm对GOP上的百慕大期权进行了高效准确的定价。

然后，将CEV模型与3/2随机短期利率模型相结合，并使用RMQ对零息票债券和零息票债券期权定价，突出了对风险中性定价的背离。1引言有人认为，要求存在风险中性措施是一种不切实际的建模约束，其严重程度足以限制长期定价和享乐策略的有效性【Hulley和Platen，2012年】。然而，如Platen（2006）所述，在不需要等效鞅测度的情况下，可以推导出投资组合优化、衍生品定价和风险管理的统一框架，这是基准方法的开创性工作。在此框架下，一价定律不再适用【Platen，2008年】，资产定价的基本理论【Delbaen和Schachermayer，1994年、1998年】不再适用，因为传统的*通信：tom@analytical.co.zano-套利概念宽松。因此，某些长期合同的可复制性可能低于经典理论的建议。基准方法的核心是增长最优投资组合（GOP）的概念，Kelly在1956年首次探讨了这一概念。这种投资组合策略是这样的，当以共和党的单位表示时，每一项资产都会成为一个超级配股。这允许推导真实世界的定价定理；在现实世界的概率度量下产生最便宜的价格。这项工作的目标是通过使用递归边际量化（RMQ），为基准方法下的长期合同定价提供一个简单的数值工具箱。RMQ由Pag\'es和Sagna【2015】引入，是一种数值技术，用于对随机微分方程（SDE）的解泛函进行最佳逼近。这项工作的主要贡献有两个方面。

首先，推导了GOP的时间相关不变方差弹性（TCEV）模型的解析欧式期权价格。这是Baldeaux et al.（2014）提出的公式的扩展，该公式概括了Miller和Platen（2008，2010）提出的先前期权定价公式。其次，RMQ被证明是一种非常有效的工具，用于在恒定利率假设下对GOP上的欧洲期权和在随机短期利率模型下的零息票债券期权进行定价，即Ahn和Gao的3/2模型【1999年】。这种高效的定价机制允许更广泛地应用基准方法。论文进行如下。在第2节中，在双资产标量差异市场的背景下简要回顾了基准方法。规定了增长最优投资组合策略的形式，并导出了现实世界的定价定理。介绍了TCEV模型，详细介绍了其概率特征。在第3节的第一部分中，在恒定利率的假设下，推导了TCEV模型的解析欧式期权定价公式。将这些公式的定价效率与使用RMQ获得的近似价格进行比较。第3节的后半部分涉及随机利率，特别是Baldeaux等人【2015年】引入的混合模型。在随机短期利率与GOP独立的假设下，给出了零息票债券的解析价格。对相关性的影响进行了简要探讨。最后，RMQ用于在此框架下对零耦合债券的欧洲期权进行有效定价。第4节结束。2基准方法本节介绍了Platen（2006年）提出的连续金融市场的一维版本，类似于Platen和Heath（2006年，第9章）的介绍。

有关完整的数学严密性，请参见Platen（2002）对真实世界定价的原始推导，以及跳跃差异框架的扩展【Platen和Heath，2006，第14章】。Platen【2008年】提出了“最低价格定律”的最一般推导，而现实世界的定价就是其结果。假设存在过滤概率空间(Ohm, A、 A，P）。过滤A=（At）t∈[0,∞)假设满足通常条件。考虑一个由两项资产组成的连续金融市场：一个无风险储蓄账户，S={St，t∈ [0, ∞)}, 和一个有风险的主要安全性，S={St，t∈ [0, ∞)}. 它们分别超出SDESST=Strtdt（1）和DST=St（atdt+btdWt），（2）r={rt，t∈ [0, ∞)}, 适应的短期利率过程。这里b={bt，t∈ [0, ∞)} 是一个可预测的严格正过程，称为Swith相对于标准布朗运动的扩散系数W，并假设满足zztbsds<∞几乎可以肯定T∈ [0, ∞), 有限的时间范围。还假设a={at，t∈ [0, ∞)},被称为漂移，是一个可预测的过程，可以满足zt | as | ds<∞,几乎可以肯定。假设SDE（2）具有唯一的强解，例如，参见Platen和Heath【2006年】。在所考虑的市场中，风险证券的数量与维纳进程的数量相同。参考Platen【2004】了解不确定性来源比交易证券更多的情况。将市场风险价格（MPOR）过程定义为θt：=b-1t（at- rt），允许将SDE（2）重新写入为dst=St（（rt+btθt）dt+btdWt））。（3） 假设MPOR过程的绝对值始终是有限的。2.1增长最佳投资组合GOP通常被归因于Kelly【1956年】。Hakanson和Ziemba【1995年】在《增长最优投资策略评论》中指出，伯努利（Bernoulli）的解决方案已经暗示了共和党对St。

早在1738年，彼得堡悖论就出现了（关于这个有趣的离题，参见萨缪尔森（Samuelson）[1977]）。GOP在索赔估价和长期投资组合增长方面的一个重要应用是Long【1990年】，其中表明，在某些约束条件下，风险中性定价等同于以GOP为计价单位的真实概率度量下的定价。GOP是基准方法的核心目标，因此也是现实世界定价的核心目标。在一般的半鞅框架中，Karatzas和Kardaras【2007】表明，“有界风险的有界收益”无套利条件是GOP存在的必要条件和充分条件。Fontana【2015年】将该条件与适用套利声明的范围放在适当的上下文中。在上述市场中，可预测的随机向量过程δ={δt=（δt，δt），t∈[0，T]}被称为策略，如果，对于所有T∈ [0，T]，随机It^o积分ztδsdSsandZtδsdSsexist。用Sδ={Sδt，t表示∈ [0，T]}与策略δ相关的投资组合过程的时间T值，定义为δT=δtSt+δtSt。策略及其相应的投资组合过程被称为自我融资IFDδt=δtdSt+δtdSt，对于所有∈ [0，T]。自我融资条件确保投资组合价值的瞬时变化是由于组成证券价格的变化，而不是外部存款或取款。以下仅考虑自融资投资组合。在这一点上，有必要引入可接受投资组合的概念，以避免传统加倍策略所产生的灾难性机会。可容许策略通常通过绝对下界或可积条件进行约束（参见Hunt和Kennedy【2004年，第7章】的讨论）。

将只考虑严格正Portfolios的集合V+，从而提供零处的绝对下界。对于Sδ∈ V+，定义投资组合分数πjδ，t=δjtSjtSδt，作为每个资产投资组合总价值的分数，Sjt，对于j∈ {0, 1}. Portfoliofractions可以是负数，但必须始终总和为1。使用（3），V+中自我融资投资组合的SDE现在可以写成dsδt=Sδt（rt+πδ，tbtθt）dt+πδ，tbtdWt.It^o公式的简单应用提供了组合对数sδt=gδ，tdt+πδ，tbtdWt的SDE，以及组合增长率gδ，t=rt+πδ，tbtθt-（πδ，tbt）。（4） 共和党是使增长率最大化的投资组合，即对数投资组合的漂移。数学上，一个严格正的投资组合价值过程，Sδ*= {Sδ*t、 t型∈ [0，T]}，如果对于所有T∈ [0，T]和所有Sδ∈ V+，不等式gδ*,t型≥ gδ，tholds几乎可以肯定。从增长率最大值的一阶条件（4）中，可发现扫描中的最佳投资分数为πδ*,t=b-1tθt。因此，GOP的SDE由bydSδ给出*t=Sδ*t（（rt+θt）dt+θtdWt），（5）带t∈ [0，T]和Sδ*> 0、或有债权现在可以使用GOP作为计价标准或基准，根据真实世界概率度量进行定价，详情如下。2.2现实世界定价将GOP作为基准和数字，考虑由比率^Sδt=SδtSδ给出的基准投资组合的演变*t、 It^o公式提供了SDEd^sδt=（δt^Stbt-^Sδtθt）dWt，（6）根据^St=StSδ*t、 基准证券价格流程。由于（6）中不存在漂移，很明显，基准投资组合形成（A，P）-局部鞅。

因此，根据Fatou引理，所有非负投资组合，在基准测试时，都是（A，P）-超级马丁格尔。确定在停止时间τ到期的非负或有权益Vτ∈ [0，T]，作为一种τ-可测量的支付，在基准测试时具有明确的预期。注意vτ不必是平方可积的。让SVtdenote生成一个非负的自我融资投资组合，该投资组合复制了该声明，即SVτ=Vτ。ThenSVtSδ*t型≥ E“VTSδ*T由基准非负自我融资投资组合的超级可转让资产持有。一个证券价格过程，相当于一个自我融资、复制的投资组合，如果其基准值形成（A，P）-鞅，则称为公平（在经典的风险中性环境中，公平过程的概念相当于Geman et al.（1995）提出的概念）。在基准方法下，这将导致最低可能的价格，这是本节的预期结果。定理2.1（真实世界定价）。对于任何公平的证券价格过程，V={Vt，t∈ [0，T]}，T∈ （t，∞), 一个是真实世界的定价公式vt=Sδ*tE“VTSδ*T在#。（7） 定理2.1中的期望值是在真实世界的概率测度P下得出的。在假设可以执行等效的概率测度变化的情况下，继Geman等人[1995]之后，候选Radon-Nikodym导数过程从当前真实世界的数字测度对（Sδ*, P） ，对于风险中性数值度量对，（S，Pθ），为λθ（t）=dPθdPAt=StSSδ*Sδ*t=^St^S。

（8） 如果λθ（t）是严格正（a，P）-鞅（而不是严格的局部鞅），那么概率测度变化确实可以执行，yieldingVt=Sδ*tE“VTSδ*TAt#=Eλθ（T）λθ（T）StSTVT在= EθStSTVT公司在,关于这个经典结果的简单证明，请参见Platen和Heath【2006年，引理5.2.3】。根据贝叶斯定理，其中最后一个表达式是经典的风险中性定价公式。这样，风险中性定价是现实世界定价的特例，仅当λθ（t）描述严格正（a，P）-鞅时才适用。这转化为对风险市场价格θt的约束，即共和党的波动性。这种波动率必须规定为λθ（t）是鞅，例如，如果θtsatis是Novikov条件，或者更一般地是Kazamaki条件【Revuz和Yor，1999年】。为了计算定理2.1中的期望值，必须显式地对GOP建模。下一节将介绍一个现实的GOP模型，该模型排除了风险中性定价。2.3建模GOP考虑一个简单的双资产市场，仅由无风险银行账户和增长最优投资组合组成，分别遵守（1）和（5）。贴现的GOP由*t=S*tSt，这意味着*t=\'S*t（θtdt+θtdWt）。δ*-为简单起见，上标已从GOP符号中删除。为了计算（7）中的预期，MPOR过程θt必须显式建模。Baldeaux等人【2014年】提出了GOP的TCEV模型。它简洁、易于处理、估计可靠，可以为各种衍生工具及其套期保值比率提供明确的公式。TCEV模型规定为θt：=c\'\'S*tαt一-1和αt:=αeηt。这里的参数限制为c>0，a∈ (-∞, 1） ，α>0，η>0。

请注意，CEV模型概括了由Platen【2001】首次引入并由Miller和Platen【2008】详细分析的最小市场模型（MMM），以及Heath和Platen【2002】修改的恒定弹性方差模型（MCEV）。通过直接替代，TCEV模型下贴现GOP的SDE为isd*t=cα2（1-a） t型\'\'S*t型2a级-1dt+cα1-在\'\'S*t型adWt。（9） 下面的命题2.2描述了该过程的行为，该命题在Baldeaux et al.（2014）中以稍加修改的形式出现。提案2.2。流程*= {S*t、 t型≥ 0}满足以下分配平等*t（d）=X2（1-a） Д（t）=X（δ-1） Д（t），其中X={XД，Д≥ 0}是维数δ=3的平方贝塞尔过程-2a1-ainИ-时间，时间变换由Д（t）=（1）给出- a） α2（1-a） c2ηe2（1-a） ηt- 1..证据确定年初至今=ααt*t型2(1-a） 这样的话=α2(1-a） c（1- a） （3）- 2a）- 2(1 -a） ηYtdt+2（1- a） α1-acpYtdWt。这是一个CIR过程，因此根据附录a中的命题a.1，Yt=e-2(1-a） ηtXД（t）。自年月日起*t=eηtY2（1-a） t，这就完成了证明。贴现GOP与维度δ=3的平方贝塞尔过程（BESQ）之间关系的直接结果-2a1-a> 2，是指贴现的GOP从未达到szero（见附录a.1）。一个更微妙的结果是，以这种方式对共和党投资组合建模，排除了等效风险中性概率度量的存在。如第2.2节所示，移动到风险中性度量的候选Radon-Nikodym导数过程由（8）给出。但是，现在^St=\'S*t=X1-ΔИ（t），并且根据附录A.1中导出的BESQ过程的对称关系，上述表达式右侧的过程是严格的局部鞅。