真实世界测量下的量化：快速准确的评估

【2017年】，11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 12成熟度0.3750.380.3850.390.3950.40.405价格相关ZCB价格（缩放）=-0.9=-0.5=0=0.5=0.95 10 15成熟度-0.2-0.100.10.20.30.40.50.60.70.8相关百分比差异影响=-0.9=-0.5=0.5=0.9图7：一系列相关值混合模型中的公平零息票债券价格。已使用。在图7的左面板中，显示了hybridmodel下的零息票债券价格，其关联值范围为-0.9和0.9。选择大范围是为了夸大效果。正相关的影响大于负相关的影响，但相关性的总体影响较小。图中再次放大，将重点放在6个月的时间段上。在图7的右侧面板中，显示了零息票债券价格和零相关性价格之间的百分比差异，用于15年内不同的相关性和到期日。这些数值结果证实了最初的发现：即使相关性值很大，对零息票债券价格的影响也小于0.8%。因此，对于债券定价应用，可以安全地忽略GOP和短期利率之间的相关性。直观地说，这种相关性可以被视为影响MPOR过程的路径，同时保持IR过程的路径不变，例如，当使用Cholesky分解的协方差矩阵运行Euler-MonteCarlo模拟时。然而，MPOR流程的路径对较短期限的零息票债券价格的影响最小，如图6左面板所示。

因此，改变相关性对最终零息票债券价格的影响很小。3.2.2零息债券期权为零息债券的欧洲看跌期权定价，表示为ZCP，在混合模型下，期权在T到期，债券在S>T到期，必须计算以下预期ZCPT，S，K（T，rt，’S*t） ：=ES*tS*TK- PS（T、rT、S*T）+在.图8显示了在T=10年和S=15年的情况下，使用蒙特卡罗模拟和RMQ算法获得的价格。货币罢工时的价格取0.8 0.9 1 1 1.1 1.2货币0.0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.0450.050.055 ZCBMC3 StdRMQ0.8 0.9 1 1.1 1.2货币0.511.522.533.544.55百分比差异C-RMQ绝对差异图8：使用蒙特卡罗模拟和RMQ近似欧洲零息票债券的价格。公平远期债券。与之前一样，IR和MPOR组件的蒙特卡罗模拟分别使用了100000条路径。RMQ算法每年使用12个时间步，对于短速率过程使用50个码字，对于折扣GOP过程使用150个码字。MonteCarlo模拟每次打击耗时2.45秒，而RMQ算法在3.6秒内计算出所有打击的价格。没有可用的参考价格，但使用RMQ算法和蒙特卡罗模拟获得的价格非常接近，表明RMQ有效且准确。除非有一个深度货币点，否则使用RMQlie获得的所有价格都在蒙特卡罗模拟的三个标准偏差范围内。所有罢工价格之间的平均差异不到2%。已经证实，在混合模型的动态下，真实世界零息票债券的价格低于传统风险中性定价所暗示的债券。

如果假设风险中性指标，这将导致零息票债券上Vanilla期权的价格不对称。公平债券的现实世界看跌期权比风险中性债券的风险中性看跌期权更昂贵。当然，看涨期权的情况恰恰相反。图9显示了T=5年和S=10年时的这种行为。对于所描述的示例，公平远期债券使用真实世界定价计算，真实世界和风险中性期权使用相同的删除。4结论本文对基准法进行了回顾，并对双资产连续市场的实际定价进行了推导。事实证明，与经典的风险中性定价方法相比，真实世界定价可能会为长期债券和普通期权产生显著更低的价格。采用方差模型（variancemodel）的时变常数弹性对增长型最优投资组合进行建模。在此模型和假设下，0.55 0.6 0.65 0.7 0.75Strikee00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1价格ZCBFair ZCPRisk neutral ZCP0.55 0.6 0.65 0.7 0.75Strikee00.020.040.060.080.10.12价格ZCBFair ZCCRisk neutral ZCCFigure 9：使用真实世界定价并按照假设的风险中性度量。对于恒定利率，详细推导了分析性欧洲期权定价公式，扩展了Miller和Platen【2008年、2010年】的结果，用于修正的恒定弹性方差模型和程式化的最小市场模型。递归边际量化用于高效准确地生成长期欧洲期权定价面以及增长最优投资组合上的百慕大期权价格。Baldeaux等人的混合模型。

【2015年】通过将TCEV模型与Ahn和Gao【1999年】的三分之二短期利率模型相结合，构建了增长最优投资组合。在这种组合模型下，RMQ被用来有效地为长期零息票债券和零息票债券期权定价。使用联合RMQ算法研究了在增长最优投资组合和随机空头利率之间引入相关性的影响，结果表明，相关性只会产生较小的影响。本文将RMQ算法应用于传统风险中性框架之外，强调其作为基准法下长期合同定价机制的有效性。参考D。H、 Ahn和B.Gao。期限结构动力学的参数非线性模型。《金融研究回顾》，12（4）：721–7621999。J、 Baldeaux、K.Ignatieva和E.Platen。一个易于处理的指数模型，近似于增长最优投资组合。《非线性动力学和计量经济学研究》，18（1）：2014年1-21月。J、 Baldeaux、M.C.Fung、K.Ignatieva和E.Platen。长期债券定价和混合模型。《应用数学金融》，22（4）：366–3982015。F、 Delbaen和W.Schachermayer。资产定价基本定理的一般版本。Mathematische Annalen，300（1）：463–5201994年。F、 Delbaen和W.Schachermayer。无界随机过程资产定价的基本定理。Mathematische Annalen，312（2）：215–2501998年。W、 费勒。两个奇异的扩散问题。《数学年鉴》，54（1）：173-182，1951年。C、 丰塔纳。连续金融市场的弱和强无套利条件。《国际理论与应用金融杂志》，18（01）：15500052015。H、 Geman、N.El Karoui和J.-C.Rochet。计价方式的变化、概率测度和期权定价的变化。《应用概率杂志》，32（2）：443–4581995。N、 哈坎松和齐姆巴。

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讨论论文，跨学科研究项目373：经济过程的量化和模拟，2000,91，柏林，2001。统一资源定位地址http://hdl.handle.net/10419/62176.urn:nbn:de:kobv:11-10048178。E、 压板。连续完全市场中的套利。《应用概率的进展》，34（3）：540–5582002。E、 压板。不完全跳跃差异基准模型的定价和套期保值。在AMSIMS-SIAM金融数学夏季联合研究会议上。美国数学学会，2004年。E、 压板。基准融资方法。《数学金融》，16（1）：131–151，2006年。E、 压板。最小价格定律。悉尼理工大学技术报告。QFRC研究论文215，2008年。E、 Platen和D.Heath。量化金融的基准方法。Springer，2006年。E、 压板和R.Rendek。通过简单的多元化来近似计算基准投资组合。《资产管理杂志》，13（1）：34–502012年。D、 Revuz和M.Yor。连续鞅与布朗运动。斯普林格，1999年。R、 陆克文、T.A.McWalter、J.Kienitz和E.Platen。随机波动模型的快速量化。可从SSRN 29561682017获取。P、 A.萨缪尔森。圣彼得堡悖论：定义、剖析和历史描述。《经济文学杂志》，15（1）：24–551977年。M、 施罗德。计算方差期权定价公式的常数弹性。《金融杂志》，44（1）：211–2191989。附录A：平方贝塞尔过程本附录总结了与现实世界定价相关的平方贝塞尔过程的特性。引入w={wt=（wt，wt，····，wnt）>，t∈ [0, ∞)}, n维标准布朗运动∈ N、 让进程R={Rt=| wt |，t∈ [0, ∞)}, 是欧几里德标准值w，使得（Rt）=Pni=1（wit）。

It^o的公式提供了d（Rt）=n dt+nXi=12witdwit。对于任何t>0的情况，P（Rt=0）=0，因此dwt=RtnXi=1witdw是通过Lev'y特征化的实值布朗运动，并且R满足性（Rt）=n dt+2RtdWt。设置Xt=（Rt）。然后，对于每个δ∈ N和X=X≥ 0，托卡斯底微分方程的唯一强解dxt=δdt+2p | Xt | dWt，被称为维数为δ的平方贝塞尔过程，表示为贝塞尔δt。虽然这种直觉推理只解释了正维数和整数维数的平方贝塞尔过程，但这可以扩展到δ∈ R【Revuz和Yor，1999年】。定义A.1（BESQδt）。对于每个δ∈ R和x∈ R、 X=X时，唯一的强解todXt=δdt+2p | Xt | dWt，（16）被称为维度δ的平方贝塞尔过程，从X开始，用贝塞尔δt表示。为了将增长最优投资组合建模时产生的随机微分方程与平方贝塞尔过程联系起来，Jeanblanc et al.（2009）的命题6.3.1.1介绍如下。提案A.1。设S={St，t∈ [0, ∞)} 是一个Cox-Ingersoll-Ross过程，满足dst=κ（θ- St）dt+σpStdWt，其中S=x≥ 0和κ，θ>0，定义Д（t）=σ4κ（eκt- 1). ThenSt=e-κtXД（t），其中XД（t），Д（t）≥ 0是尺寸δ=4κθσ的BESQΔД（t）过程。这使得平方根过程可以表示为时间变换的平方贝塞尔过程，对于该过程，跃迁密度是很好理解的。这是一个从零开始的连续局部鞅，其二次变化很容易验证。a.1平方贝塞尔过程的跃迁密度Lindsay和Brecher【2012】研究了三种不同区域（按维数δ分类）下平方贝塞尔过程的跃迁密度。

他们遵循费勒（Feller）[1951]的经典分析，费勒接着解决了与（16）更一般版本相关的福克-普朗克方程。A、 1.1情况δ≤ 0当δ≤ 0时，X=0边界是可达到的且是吸收的。相关福克-普朗克方程的基本解是跃迁密度δ≤0（XT，T；X）=2TXTX公司(δ-1） 经验值-XT+X2TI1-δ√XTXT文本, （17） 其中，Iν（x）是指数为ν的第一类修正贝塞尔函数。通过检验，上述结果与非中心卡方密度pδ有关≤0（XT，T；X）=Tpχ0 2XT；4.- δ、 XTT公司, （18） 表示为非中心性参数的函数，例如z∞xpδ≤0（X，T；X）dX=Z∞xpχ0 2XT；4.- δ、 XT公司dX=χ0 2XT；2.- δ、 xT公司. （19） 施罗德（Schroder）[1989]展示了上述最后一步。然而，该密度为范数递减，Z∞pδ≤0（X，T；X）dX=χ0 2XT；2.- δ, 0≤ 1，（20），因为它不包括过程被零吸收的概率。Lindsay和Brecher【2012】提出通过在原点pfullδ上添加Dirac massat来构建一个完整的、范数保持的密度≤0（XT，T；X）：=21.- χ0 2XT；2.- δ, 0\'\'δ（XT）+pδ≤0（XT，T；X），（21），其中‘（X）是狄拉克δ函数。那么X的分布由p（X）给出≤ XT | X）=ZXTpfullδ≤0（X，T；X）dX=1- χ0 2XT；2.- δ、 XTT公司. （22）A.1.2在0<δ<2的情况下，当0<δ<2时，X=0边界可以达到，并且可以吸收或反射。如果选择吸收边界，则前一节的分析成立，pA0<δ<2（XT，T；X）：=pfullδ≤0（XT，T；X）。如果选择反射边界，则密度中贝塞尔函数指数的符号会发生变化，pR0<δ<2（XT，T；X）=2TXTX公司(δ-1） 经验值-XT+X2TIδ-1.√XTXT文本（23）=Tpχ0 2XTT；δ、 XT公司,因此，它与非中心卡方密度直接相关，而不会逆转Xt和Xseen在δ中的作用≤ （18）中的0个案例。

这种密度显然是范数保持的。A、 1.3在δ>2的情况下，当δ>2时，过程不能达到零，因此无法规定边界条件。转变密度与反射情况下的类型相同，pδ>2（XT，T；X）=Tpχ0 2XTT；δ、 XT公司. （24）A.1.4对称关系δ>2时，跃迁密度由（24）给出。当仅考虑吸收边界时，对于所有δ<2，跃迁密度的范数递减部分由（17）给出。这两个表达式之间存在简单的对称关系，pδ（XT，T；X）=p4-δ（X，T；XT），（25），这有助于本文考虑的期权定价问题。此外，X（1-δ） Tpδ（XT，T；X）=X（1-δ） pδ（X，T；XT）=X（1-δ） p4页-δ（XT，T；X）。（26）第一个方程来自使用（23）或（17）的简单算法，第二个方程来自上述第一个对称关系（25）。上述结果的一个重要含义是，如果X是δ>2且X>0的BESQδ过程，则过程Zt=X（1-δ） 这是一个严格的局部鞅。这是因为上面最后一项的积分严格小于1：E[ZT]=Z∞X（1-δ） pδ>2（X，T；X）dX=Z∞X（1-δ） p（4-δ） <2（X，T；X）dX=X（1-δ)χ0 2XT；δ -2, 0< Z、 事实上，根据法图引理，它是一个上鞅，因为它在下面有界