交易账簿基础审查下的资本配置

对于1≤ n≤ N、 1个≤ 我≤ 6, 1 ≤ j≤ 5，ES（Xn（i，j）| X（i））=ES（X（i，j））ES（X（i））vnES公司Xv（i，j）v=1，（13），其中Xv（i，j）=PnvnXn（i，j）。请注意vnES（Xv（i，j））v=1in（13）是ES（X（i，j））的标准Euler分配。FRTB ES下的欧拉分配是标准欧拉分配的加权版本。比例因子（X（i，j））ES（X（i））反映了X（i，j）的独立ES与X（i）的RTB ES之间的比率。该比例因子适用于同一流动性水平的所有风险头寸。当X（i，j）的分布满足某些正则性条件（参见[12，假设）]，则标准欧拉分配可以计算为条件期望（参见[12]）：vnES公司Xv（i，j）v=1=EXn（i，j）| X（i，j）≥ VaR（X（i，j））=: 东南方Xn（i，j）| X（i，j）, （14） 其中，VaR（X（i，j））是在97.5%分位数处计算的X（i，j）的风险值。上述条件期望可通过情景提取方法计算，Hencei由SE表示Xn（i，j）| X（i，j）. 将缩放场景提取方法应用于（13）在计算上也很有效。而不是使用数值微分方案计算（12）中的元素导数vn（i，j）ES（Xv（i））v=1=lim↓0锿X（i）+Xn（i，j）- ES（X（i））,通常需要对每个头寸的波动进行重估，当投资组合损失X（i，j）违反VaR（X（i，j））时，情景提取方法通过平均Xn（i，j）来计算条件预期。在将Euler分配应用于全套风险因素下的FRTB ES，并通过压力期比例因子对分配进行缩放后，我们对IMCC资本费用进行了以下分配。定义3.3（IMCC的Euler分配）。对于1≤ n≤ N、 1个≤ 我≤ 6, 1 ≤ j≤ 5，letIMCCE（Xn（i，j）| X（i））：=0.5ESR，S（X（i））ESR，C（X（i））ESF，CXn（i，j）| X（i）.

（15） 我们将IMCCE（Xn（i，j）| X（i））称为IMCC的Euler分配。对于风险头寸n的风险比例Xnof，我们定义了其Euler分配asimce（Xn | X）=Xi，jimceXn（i，j）| X（i）.FRTB 9提案3.4下的资本分配。IMCC的Euler分配是一种完全分配，即XnIMCCE（Xn | X）=Xn，i，jIMCCEXn（i，j）| X（i）= IMCC（X）。备注3.5。如果如备注2.2所示，Xv（i，j）的预期差额为零，（13）可替换为ES+（Xn（i，j）| X（i））=（ES+（X（i，j））ES+（X（i））SEXn（i，j）| X（i，j）如果ES（X（i，j））>00，否则。IMCC的最终Euler分配仍然是完全分配，因为ES+仍然是阶数为1的均匀分布。当一个投资组合包含相互对冲的子投资组合时，预期缺口下的标准欧拉配置可能会对一些子投资组合产生负配置。由于《新加坡财务报告准则》ES不鼓励跨不同风险因素类别和不同流动性范围进行对冲，因此《新加坡财务报告准则》可以减少或逆转负配置。下面的示例说明了这一点。示例3.6。考虑一个有两个风险头寸的投资组合，其风险头寸分别用Y和Z表示。我们假设Y集中在Rfand和LHj上，Z集中在Rfand和LHj上，1≤ i 6=k≤ 因此，矩阵值随机变量Y和Z分别集中于其（i，j）-th和（k，j）-th分量Y（i，j）和Z（k，j）。我们考虑一个假设情况，Y（i，j）=-Z（k，j）均服从标准正态分布。那么，投资组合X的净损失为零，对于Y（i，j）或Z（k，j），ES的标准欧拉位置为负，即SE（Y（i，j）| X）<0。然而，在FRTB框架下，X（i）=Y（i，j）和X（k）=Z（k，j）。

THINMCCE公司Y（i，j）| X（i）= 0.5ESR，S（Y（i，j））ESR，C（Y（i，j））ESF，C（Y（i，j）| X（i））=0.5ESR，S（X（i））ESR，C（X（i））ESF，C（X（i））>0。在更现实的情况下，Y和Z不太可能相互抵消，但有效的负相关性在标准Euler分配中引入了负分配。在FRTB框架下，由于它们与不同的风险因素类别相关，因此对每个受约束类别的分配总是积极的。这些正分配将补偿无约束类中潜在的负分配。因此，IMCCE（Y | X）可以不那么负，甚至是正。FRTB 103.2下的资本分配。约束Aumann-Shapley分配。[2]引入了Shapley和Aumann-Shapley分配，其中[11]和[1]关于联盟博弈的结果被应用于资本分配问题。[4]将这两种分配中的概念结合起来，引入了约束Aumann-Shapley分配，其中不同风险头寸的排列仅限于每个业务部门。在FRTB IMA框架中，风险因素扣合规则对风险支持组织产生了自然约束。因此，我们将Shapley型置换限制在每个RF类中。我们引入以下全置换矩阵：L：=10 20 40 60 12010 20 40 120 60...............120 60 40 20 105.×5.L的每一行记录流动性区间的排列{10、20、40、60、120}。有5个！=总共120个排列。对于给定的行r和流动性水平LHj，我们表示-1（r，j）LHJ所在的L列。例如，L-1（2，5）=4，或等效地，L（2，4）=LH=120。给定风险文件Xn、风险因素类别RFi、流动性期限LHj和流动性期限排列（如L中的第r行）。

我们希望首先将ES（X（i））分配给Xn（i，j）。我们将此分配称为FRTB ES的约束Aumann-Shapley（CAS）分配，并将其表示为asCAS（r，Xn（i，j））。为了引入CAS（r，Xn（i，j））的值，让v=（vn）1≤n≤Nbe表示权重的实数序列，Xv，r，j（i）=XnXv，r，jn（i），（16），其中Xv，r，jn（i）是一行，如果L-1（i，`）<L-1（i，j）（即LH`出现在LHjin之前，排列r）；第j列的条目vnXn（i，j）；所有其他列中为零。以矩阵L中的第二行为例，对于j=5we haveXv，2,5n（i）=Xn（i，1），Xn（i，2），Xn（i，3），0，vnXn（i，5））。然后定义（r，Xn（i，j））：=ZvnES（Xv，r，j（i））v=qdq，其中v=q表示所有n的vn=q。直观地说，vnES（Xv，r，j（i））| v=Qi（i，j）方向上的FRTB ES对组合风险的边际贡献，包括Qx（i，j）和所有X（i，`），其流动性期限LH`出现在LHjin排列之前。FRTB 11引理3.7下的资本分配。对于1≤ n≤ N、 1个≤ 我≤ 6, 1 ≤ j≤ 5和1≤ r≤ 5.CAS（r，Xn（i，j））=η（r，i，j）vnES公司Xv（i，j）v=1，（17），其中η（r，i，j）=qP1≤s≤L-1（r，j）ESX（i，L（r，s））-qP1≤s<L-1（r，j）ESX（i，L（r，s））锿X（i，j）. （18） 当X（i，j）的分布满足[12，假设（S）]时，则（17）右侧的导数可替换为SEXn（i，j）| X（i，j）在（14）中。与FRTB ES下的Euler分配类似，约束Aumann-Shapley分配也是标准Euler分配的加权版本。比例因子η（r，i，j）是置换r中X（i，j）诱导的增量FRTB ES与X（i，j）的独立ES之间的比率。在对所有排列进行平均后，我们将以下分配引入IMCCcapital费用。定义3.8（IMCC的CAS分配）。

对于1≤ n≤ N、 1个≤ 我≤ 6, 1 ≤ j≤ 5，IMCCC（Xn（i，j）| X（i））：=0.5ESR，S（X（i））ESR，C（X（i））5！5.Xr=1CASF，C（r，Xn（i，j）），其中CASF，Cis为FRTB ESF，C的约束Aumann-Shapley分配。我们将mccc（Xn（i，j）| X（i））称为IMCC的约束Aumann-Shapley分配。提案3.9。IMCC的CAS分配是一种完全分配，即XnIMCCC（Xn | X）=Xn，i，jIMCCCXn（i，j）| X（i）= IMCC（X）。如果如备注2.2所示，Xv（i，j）的预期差额为零，则CAS分配可以类似于备注3.5进行调整。调整后的CAS分配仍然是完全分配。备注3.10。资本配置的一个重要概念是可加性。考虑X中的子投资组合Y，其中Y从风险预测{Ym}1中聚合≤m级≤M、 我们想知道对投资组合Y的分配是否等于对所有{Ym}的分配之和，即ρ（Y | X）=Pmρ（Ym | X）是否为真。对于bothEuler和CAS分配，这个问题的答案是肯定的。这是因为它们都是常规ES的Euler分配的缩放版本，这本身就是加法。FRTB 123.3下的资本分配。第二步分配。在两种分配方法的第一步之后，资本分配给每个流动性期限调整后的损失Xn（i，j）。对于无约束部分i=6，我们考虑Xn（6，j）=Pi=1Xn（i，j），并使用标准Euler分配将无约束分配分配给每个Xn（i，j），并用IMCC（Xn（i，j）| X（6））表示。现在针对每个1≤ 我≤ 6，因为Xn（i，j）是从10天损失中聚合而来Xn（i，k）与k≥ j、 从分配的资本toX（i，j）中提取与每个X（i，k）相关的资本似乎很自然。从（1）中召回。我们可以把Xn（i，j）看作qlhj的一个投资组合-LHj公司-1Xn（i，k）带k≥ j、 因此，我们使用Euler方法将资本从Xn（i，j）进一步分配到每个qlhj-LHj公司-1Xn（i，k）。

我们用imccrlhj表示结果分配- LHj公司-1Xn（i，k）Xn（i，j）！，k≥ j、 现在使用备注3.10中的可加性性质，我们可以将Xn（i，j）中的所有资本与j相加≤ k以获得~Xn（i，k）asIMCC的贡献Xn（i，k）| X（i）=Xj公司≤kIMCCrLHj公司- LHj公司-1Xn（i，k）Xn（i，j）！。（19） 结合有约束和无约束的分配，分配Xn（i，j），1≤n≤ N、 1个≤ 我≤ 5和1≤ j≤ 5，由IMCCT otal给出Xn（i，k）| X（i）:= IMCC公司Xn（i，k）| X（i）+ IMCC公司Xn（i，k）| X（6）. (20)3.4. 扩展。在前两节中，IMCC的Euler和CAS分配适用于整个电流集的FRTB ES，应力比例因子R、S（X（i））ESR、C（X（i））被视为每个RFi的常数。换句话说，Xn（i，j）诱发的风险贡献是针对ESF，C考虑的，而不是针对ESR，Sand ESR，C。在本节中，我们将考虑Xn（i，j）对应力比例因子的影响。分配的第二步与第3.3节中的步骤相同。定义3.11（IMCC的Euler分配和比例调整）。对于1≤ n≤ N、 1个≤ 我≤ 6, 1 ≤ j≤ 5，letIMCCE，SXn（i，j）| X（i）:= 0.5vnhESR，S十五、j（一）ESR，C十五、j（一）ESF，C十五、j（一）我v=1。根据每个预期缺口的差异，我们获得了FRTB 13提案3.12下的资本分配。对于1≤ n≤ N、 1个≤ 我≤ 6, 1 ≤ j≤ 5，IMCCE，SXn（i，j）| X（i）= 0.5hESR，S（X（i））ESR，C（X（i））ESF，CXn（i，j）| X（i）+ESF，C（X（i））ESR，C（X（i））ESR，SXn（i，j）| X（i）-ESR，S（X（i））ESF，C（X（i））ESR，C（X（i））ESR，CXn（i，j）| X（i）i、 （21）前面的IMCCE表达式促使我们通过缩放调整来定义以下CAS分配。定义3.13。对于1≤ n≤ N、 1个≤ 我≤ 6, 1 ≤ j≤ 5，Letic，SXn（i，j）| X（i）:=0.55!5.Xr=1hESR，S（X（i））ESR，C（X（i））CASF，Cr、 Xn（i，j）+ESF，C（X（i））ESR，C（X（i））CASR，Sr、 Xn（i，j）-ESR，S（X（i））ESF，C（X（i））ESR，C（X（i））CASR，Cr、 Xn（i，j）i、 提案3.14。

具有标度调整的IMCC的Euler和CAS分配都是完全分配，并且满足可加性。4、仿真分析4.1。正相关。此模拟练习说明了不同RFs和LHs之间分配的差异。我们假设只有一个风险头寸，并且所有的X（i，j）具有相同的正态分布，平均值为零，年波动率为30%。我们考虑了以下四种相关结构的场景：（i）独立性：所有X（i，j）都是相互独立的；（ii）均匀正相关：X（i，j）和X（k，l）的每对均具有0.99的相关性；（iii）RFs之间的正相关和LHs之间的零相关：对于任何i 6=k，corr（￠X（i，j），￠X（k，j））=0.99和corr（￠X（i，j），￠X（i，k））=0；（iv）LHs之间的正相关性和RFs之间的零相关性：对于任何i 6=k，corr（≈X（i，j），~X（k，j））=0和corr（≈X（i，j），~X（i，k））=0.99。本练习假设不同RFs和LHs之间存在极端相关性，以突出其对FRTB分配的影响。当相关性适中时，会出现类似的模式，但不太明显。我们模拟了250次独立的10天损失。在每一天中，不同的相关结构如上文所述。假设所有RFs的应力周期比例为1。首先，FRTB 14下的资本分配我们比较了IMCC和97.5%的净损失分布，但没有区分下表中的RFS和LHs。我们称之为97.5%ES正则ES，如下所示。此外，以下比较不应理解为QIS风格的练习，因为当前巴塞尔协议2.5/3实践下的RWA基于VaR度量。

此处的示例旨在通过仅考虑RF和LH约束来显示FRTB IMA的资本影响，并考虑常规ES作为基准。场景IMCC常规ES（i）独立12.48 3.28（ii）均匀正Corr 28.57 16.70（iii）正RF Corr 18.28 7.81（iv）正LH Corr 21.00 7.59表1。FRTB IMCC v.s.常规ES我们可以从表1中看出，IMCC值是常规值的1.7到3.8倍。此外，比较情景（iii）和（iv），我们发现不同LH之间的正相关比不同RFs之间的正相关更能增加IMCC。这是由于方程式（1）中的FRTB LH缩放规则造成的。图1说明了FRTB ES的Euler分配、FRTB ES的CAS分配和常规ES的Euler分配。在组合了受限和非受限分配后，它将分配报告给不同的X（i，j）（见等式（20））。图1显示，两种FRTB分配方法通常分配更多的资本风险因素，流动性期限更长。这一特征是由于以下事实：1）较长的液体层位具有较大的标度（见方程式（1））；2）流动性期限越长，较短的流动性期限分配产生的分配贡献越大（见等式（19））。另一方面，由于来自无约束部分的分配，当风险因素类别之间不存在强正相关时，对同一风险因素类别中每个流动性期限的分配会发生变化。然而，常规ES-Euler分配并没有显示出一致的模式。这是因为损失是在不区分不同的TRF和LHs的情况下汇总的。图1的左上面板显示，即使不存在负相关，正则ES的Euler分配也会呈现较大的变化和负分配。

这些特征是由于常规ES或VaR的Euler分配的不稳定性，这已在【14】中记录。核平滑技术（见[3]）可以提高Euler分配的稳定性。图2显示了将内核平滑技术应用于每个分配方法时的分配结果。对比图1和图2，我们可以看到，在FRTB 15图1下，核平滑技术显著提高了Euler分配资本分配的稳定性。FRTB ES的Euler分配（Euler FRTB ES）、FRTB ES的CAS分配（CAS FRTB ES）和常规ES的Euler分配（Euler RegES）。左上面板：场景（i）；右上面板：场景（二）；左下面板：场景（iii）；右下面板：场景（iv）。每个面板显示了分配给不同X（i，j）的百分比。总资本费用如表1所示。对于常规ES，但对FRTB分配的影响较小。在本练习中，两种FRTB分配下都没有出现负分配，它们之间也没有太大差异。4.2. 套期保值。在第二次模拟练习中，我们分析了三种hedgingrelations场景：两个RFs之间的套期保值（例如CoCo债券的套期保值组合）；2个LH之间的套期保值（例如，用不同的LH在3个巴黎的外汇利率之间进行套期保值，如CNYGBP、USD-GBP、CNY-USD）；以及在同一桶中的两个风险头寸之间进行对冲。为了研究流动性期限调整后的风险头寸之间套期保值的影响，我们将不同的桶视为不同的风险头寸。这样，Xn（i，j）=qLHj-LHj公司-1Xn（i，j），以及FRTB 16下的资本分配图2。核平滑分配不同Xn（i，j）之间的相关性与不同txn（i，j）之间的相关性相同。

这使我们能够关注FRTB规则对对冲配置的影响。我们考虑以下三种相关结构：（i）EQ和IR之间的强对冲：corr（~X（3，j），~X（5，j））=-所有其他对之间的任何j和零相关性为0.99；（ii）LH和LH之间的强对冲：corr（▄X（i，1），▄X（i，2））=-所有i为0.99，所有其他对之间的相关性为零；（iii）同一区间内2个风险头寸之间的强对冲：corr（￠X（i，j），￠X（i，j））=-所有i、j和所有其他对之间的零相关性为0.99。当相关性不太极端时，在这三种情况下获得的直觉仍然是正确的。模拟设置与上一练习中的设置保持相同。IMCC和监管机构报告如下表2所示。从表2可以看出，IMCC是常规ES的2.5到3.6倍。另一方面，由于FRTB限制不同时段之间的套期保值，因此情景（i）和（ii）中IMCC和ES之间的比率在FRTB 17下比情景（iii）中的比率大得多，其中相同时段内的套期保值不受FRTB的限制。情景IMCC常规ES（i）RF对冲7.90 2.17（ii）LH对冲8.43 2.55（iii）头寸对冲0.84 0.33表2。FRTB IMCC v.s.常规ESFigure 3。IMCC和常规ES对包含hedgingcomponents的投资组合的分配。左面板：对冲结构（一）；中间面板：对冲结构（ii）；右面板：对冲结构（三）。每个面板显示了分配给不同X（i，j）的百分比。资本费用总额见表2。图3显示了IMCC和常规ES的不同分配。左图和中间图显示，尽管不同的风险因素或流动性期限桶之间存在负相关，但IMCC的Euler和CAS分配均为正。