基于风险中性价格的代表性代理模型

以下定理说明该集在R中是连通的。请参阅Park（2016）的证明。定理3.4。设δ<λ≤λ和let（δ，g）和（λ，h）分别是对应于（δ，Mδ）和（λ，Mλ）的候选对。如果eδtg（Xt）G-1是鞅，eλth（Xt）G也是鞅-1吨。我们假设有足够多的候选对满足鞅条件。换句话说，由λ定义的数字λ：=inf{λ|（λ，Mλ）∈ M}是su ficiently的购物中心。这个假设是为了保证容许对的存在。如果集合太小或为空，则可能不存在允许的对。有一个有用的标准来检查鞅条件。设（λ，h）为Lh=-λh.当且仅当以下两个条件成立时，该对满足鞅条件：Zξdxh（x）e-Rxξ2k（s）σ（s）dsZξxdyh（y）σ（y）eRyξ2k（s）σ（s）ds=∞ ,Z∞ξdxh（x）e-Rxξ2k（s）σ（s）dsZxξdyh（y）σ（y）eRyξ2k（s）σ（s）ds=∞ .（3.4）我们回顾定义3.2。上述标准意味着过程eλth（Xt）G-1当且仅当（λ，h）诱导的扩散过程没有爆炸时，这是一个阿马丁格尔现象。请参阅Pinsky（1995）第215页。鞅条件可以逐案检查，因此我们不必进一步详细说明。3.5本条的主要贡献之一是调查假设5。现在，在集合{（λ，Mλ）中∈ C |λ≤λ}，我们探索哪些元组满足假设5。为方便起见，putU：={（λ，M（λ））∈ C | hM（λ）满足通常条件}。这里，hM（λ）是对应于元组（λ，Mλ）的函数。符号U继承自术语“通常条件”。设L为氡NikodymderivativedLdQ定义的测量值Ft=exp-Ztv（Xs）ds-Ztv（Xs）dWs,根据假设2，这是一个鞅。XtisdXt=（b）的L-动力学- vσ）（Xt）dt+σ（Xt）dBt=对于布朗运动Bt，k（Xt）dt+σ（Xt）dBt。

在这里，我们使用符号bt与命题3.2中使用的符号一致。为了研究集合U，我们需要采用边界分类的概念。边界0和∞ of（Xt）t≥0在Q下是不可访问的，当且仅当它们在L下是不可访问的。这是因为Q和L在每英尺T上是等价的≥ 从假设1开始，两个边界0和∞ 在度量值Q和L下都无法访问。从现在起，我们将在度量值L定义3.3下讨论更详细的边界分类。设γ（x）=e-Rxξ2k（s）σ（s）ds，Q（x）=σ（x）γ（x）Zxξγ（s）ds，R（x）=γ（x）Zxξσ（s）γ（s）ds。如果R/∈ L（0，ξ）。不可访问的端点0被称为（入口，如果Q∈ L（0，ξ），如果Q，则为自然/∈ L（0，ξ）。终点处不可接近、入口和自然的定义∞ 以类似方式定义。现在，我们陈述了本文的主要定理，这些定理描述了通常的集合U。下面的定理意味着集合U是R的连通子集。定义λ：=sup{λ|（λ，Mλ）∈ U}，则对于所有λ<λ，元组（λ，Mλ）在通常的集合U中。端点（λ，Mλ）可能不在U中。定理3.5。假设δ<λ≤λ. 设g和h分别是对应于tuple（δ，Mδ）和（λ，Mλ）的函数。如果h满足通常条件，则g也满足。换句话说，如果（λ，Mλ）在U中，则（δ，Mδ）也在U中。定理3.6。假设r（·）≥ 0和r（·）在（0，ξ）上有界。那么，集U是非空的，并且仅当0是自然边界时。在这种情况下，对于λ<r：=infx>0r（x），元组（λ，Mλ）位于集合U中。上述定理说明了满足通常条件的元组存在的充分必要条件。定理3.5和3.6的证明分别参见附录A和附录B。在本节的其余部分中，当短期利率函数r（·）为常数r时，我们定义了通常的集合U。

根据定理3.6，U是非空的当且仅当0是自然边界，因此我们假设0是自然边界。对于λ<r，元组（λ，Mλ）总是inU。根据方程（3.2），我们知道λ≥ r、 λ=r的情况相对容易找到集合U。因为{（λ，Mλ）|λ<r} U {（λ，Mλ）|λ≤ r} ，则集合U由对应于tup（r，Mr）的解确定。考虑相应二阶微分方程σ（x）h′（x）+k（x）h′（x）=0的解。通过直接计算，得到了两个线性独立解areh（x）=1+cZxξe-Ryξ2k（s）σ（s）dsdy，h（x）=1。显然，h（x）=1不满足通常的条件。通过考虑函数h（x），我们有以下命题。回想一下γ（x）：=e-Rxξ2k（s）σ（s）ds。3.3中的提议。假设λ=r且0为自然边界。IfR公司∞ξγ（x）dx=∞ andRξγ（x）dx<∞, 那么U={（λ，Mλ）|λ≤ r} 。否则，U={（λ，Mλ）|λ<r}。证据假设∞ξγ（x）dx=∞ andRξγ（x）dx<∞. 那么h（x）w ithc=Rξγ（x）dx是对应于（R，Mr）的函数。清晰边缘→0+h（x）=0，选择c。因此，这个例子在U中。反之亦然。值得注意的是∞ξγ（x）dx=∞ andRξγ（x）dx<∞ 表示扩散过程X具有以下特性：L限制→∞Xt=0= Lsup0≤t型<∞Xt<∞= 1.请参阅Karatzas和Shreve（2012）第345页。我们现在考虑λ>r的情况。请参阅附录C以获得以下定理的证明。定理3.7。假设λ>r且0为自然边界。IfR公司∞ξγ（x）dx=∞, thenU={（λ，Mλ）|λ≤λ}或{（λ，Mλ）|λ<λ}。此外，如果∞ 是自然边界，则U={（λ，Mλ）|λ≤ λ }. IfR公司∞ξγ（x）dx<∞, thenU={（λ，Mλ）|λ<r}。作者推测∞ξγ（x）dx=∞, 右侧边界∞ 是自然边界当且仅当U={（λ，Mλ）|λ≤λ }.3.6容许集本文的目的是在假设1-5下找到容许集A。

容许集满足=M∩ U，因此A是连通子集，因为M和U是{（λ，Mλ）的连通子集∈ C |λ≤λ }.定义λ：=inf{λ|（λ，Mλ）∈ M}，λ：=sup{λ|（λ，Mλ）∈ U}。端点λ和λ可以分别在M和U中，也可以不在M和U中。假设λ≤ λ、 我们得出，对于λ和λ之间的λ，元组（λ，Mλ）是一个可容许的元组。总之，可以通过单参数族恢复客观度量。4恢复理论我们研究了如何将之前的结果用于罗斯恢复。在基于连续时间消费的CAPM中，状态变量XT是市场的总消费（或收入）过程。在金融市场中，总收入等于总股息，因此我们可以假设X是总股息。设St为一个综合股票价格指数，如标准普尔500指数，并假设St支付的总股息是St的函数，即Xt=δ（St）St，其中δ（St）是综合股票价格指数每单位的股息。假设函数δ（s）事先已知，并且是s的一个非减量函数。假设函数π（s）：=δ（s）s是连续二次可微的，具有连续二次可微逆。根据Appen-dix D，变形测度在映射π下是不变的，因此我们可以假设状态变量是St.Ross（2015），也使用了630-633页中的股息或综合股票价格指数（标准普尔500）作为状态变量。设数值Gt为综合股价过程St的财富过程，即Gt=eRtδ（Su）duSt。假设s状态变量Stsatis fiesdst=（r（St）- δ（St）+σ（St））Stdt+σ（St）StdWt。然后dgtgt=（r（St）+σ（St））dt+σ（St）dWt。方程（3.1）对应的算子L isLh（s）=σ（s）sh′（s）+（r（s）- δ（s））sh′（s）- r（s）h（s）。（4.1）有时，Yt:=log stin会导出一个更简单的二阶方程。

设y=ln s，定义κ（y）=r（s）- δ（s），ν（y）=σ（s），ρ（y）=r（s）。THNDYT=（r（St）- δ（St）+σ（St））dt+σ（St）dWt=（κ（Yt）+ν（Yt））dt+ν（Yt）dWt。相应的方程（4.1）变为ν（y）g′（y）+（κ（y）-ν（y））g′（y）- ρ（y）g（y）=-λg（y），其中g（y）=h（s）。5个示例在本节中，我们将探讨Ross恢复的示例。如第4节所述，用St表示综合股价指数。偶尔，为了方便起见，我们会毫不含糊地说Stis是股价。在第5.1节和第5.2节中，分别讨论了经典的Black-Scholes-tock模型和指数CIR-stockmodel，其中短期利率为常数，股息期末利率为常数。第5.3.5.1节探讨了具有对数股息率的经典Black-Scholes股票模型Black-Scholes模型讨论了具有恒定空头利率和恒定股息率的经典Black-Scholes股票模型。该股票的股息以δdt的比率连续支付。假设St遵循几何布朗运动Dst=（r- δ+σ）Stdt+σStdWt，S=1，数值为Gt=Steδt。相应的二阶方程isLh（S）=σsh′（S）+（r- δ） sh′（s）- 相对湿度=-λh（s）。通过直接计算，我们得到λ=（σ-r-Δσ）+r.表示λ≤λ、 可以很容易地表明，值MλisMλ=-r- Δσ+s-r- δσ+2（右- λ） σ和对应于元组（λ，Mλ）ishλ（s）的函数：=s-r-Δσ+r-r-δσ+2（右-λ)σ.函数γ（s）是s-2（右-δ)σ.我们找到了可容许集A。通过使用第3.4节中的方法，可以很容易地检查每个候选对是否可容许，因此A=U。众所周知，端点0和∞ 几何布朗运动的边界是自然边界。应用定理3.6、命题3.3和定理3.7，我们得到a={（λ，Mλ）|λ≤λ}如果2（r- δ） <σ，A={（λ，Mλ）|λ<r}如果2（r- δ) ≥ σ.5.2指数CIR模型我们探讨了入口0边界不可接近的股票模型的一个例子。

根据定理3.6，通常的集合为空，即U= .即使U为空，找到集合M也很有趣。假设空头利率r和股息率δ为常数。Putθ：=r- δ. 设Yt是一个扩展的cir过程，由dyt=（θ+σYt）dt+σpytdwt和2θ给出≥ σ. 众所周知，左边界0和右边界∞ 分别为入口和自然。假设股票价格遵循St=eYtso thatdSt=（θ+σln St）Stdt+σpln Stdwt。相应的二阶微分方程为σln（s）sh′（s）+θsh′（s）- 相对湿度=-λh（s）。然而，过程Yt：=log stin导出了一个更简单的二阶方程σyg′（y）+（θ-σy）g′（y）- rg（y）=-λg（y）。可以很容易地检查gλ（y）：=M2（右- λ） σ，2θσ，y是对应于λ的（λ，Mλ）的解≤ r=λ。众所周知，反超几何函数M（α，β，y）是正的当且仅当α≤ 0、详见秦和林茨基（2014）。我们得到了那个DYT=θ+σYt+σYtg′λ（Yt）gλ（Yt）dt+σpytdbt，其中bt是相应变换测度下的布朗运动。可以很容易地检查eλtgλ（Yt）G-这是一个鞅。考虑渐近行为M（α，β，y）~ eyyα-β/Γ（α）as y→ ∞ 事实上，M′（α，β，y）=（α/β）M（α+1，β+1，y），我们得到y→ ∞,g′λ（y）gλ（y）~σ2θ.方程5.2的漂移具有线性增长率，与CIR模型一样，Yt不符合方程（3.4）中的标准。总之，对应于（λ，Mλ）ishλ（s）的函数：=gλ（lns）和M=λ，h′λ（S）hλ（S）λ ≤ r=λ，r- λθS·M2（右-λ） σ+1,2θσ+1，ln SM2（右-λ） σ，2θσ，ln Sλ ≤ r.5.3对数股息模型在本节中，我们探讨了当s股票的股息以b Log Stdt利率连续支付时回收的可能性。

假设ST的波动率σ为常数，短期利率为常数r.dSt=（r+σ- b log St）Stdt+σStdWt。可以很容易地表明，St=Eytheredyt=（r+σ- bYt）dt+σdWt。相应的二阶微分方程为σsh′（s）+（r- b对数s）sh′（s）- 相对湿度=-λh（s）。将s=Ey和h（s）=g（y），则得出σg′（y）+（r-σ- by）g′（y）- rg（y）=-λg（y）。我们可以检查，对于一些归一化常数c，gλ（y）=cM（r-λ2b，，bσ（y- κ） ）Γ（+r）-λ2b）+2（y- κ） rbσM（r-λ2b+，bσ（y- κ） ）Γ（r）-λ2b）！是gλ的容许函数（即正增长解）(-∞) = 0，gλ(∞) = ∞对于λ≤ r=λWher eκ=rb-σ2b和M（·，·，·）是反超几何函数。相应的变换测度P isdPdQFt=eλtgλ（Yt）G-1t=eλtgλ（log St）G-1 YtisdYt的动力学=r+σ- bYt+σg′λ（Yt）gλ（Yt）dt+σdBt。（5.1）因此，我们得到了St=eYt的P动力学。可以很容易地检查eλtgλ（Yt）G-这是一个鞅。通过考虑第5.3节中M（·，·，·，·）和M′（·，·，·，·）的渐近行为，我们得出| y |→ ∞,g′λ（y）gλ（y）~4b3σ| y |。由于方程（5.1）的漂移具有线性增长率，根据方程（3.4）中的标准，我们知道Ytin不会随着Ytin方程（5.1）的动力学而爆炸。总之，wegetA=λ，h′λ（S）hλ（S）λ ≤ r其中hλ（s）=gλ（ln s）。6结论本文从风险中性指标出发，在连续时间环境下确定了一个具有代表性的代理人模型。该论点的关键思想之一是，对于常数β和正函数φ，定价核的倒数由与转移无关的形式βtφ（Xt）表示。这种形式源自基于连续时间消费的资产定价模型，这是一种著名的资产定价理论。

基于该理论，在函数φ和基本过程Xt上假设了若干条件，如鞅条件、发散到不一致性条件和通常条件。满足这些条件的对（β，φ）称为容许对。本文的主要目的是研究可容许对。探讨了容许对存在的一个充要条件。此外，我们还发现，如果允许对集存在，则允许对集由一个单参数族表示。允许集由鞅集M的下界和U的上界确定。作为特例，当短期利率为常数时，给出了U集。建议对未来的研究进行以下扩展。首先，将恢复扩展到多维状态变量是很有意思的。在这种情况下，对应的图尔-刘维尔方程是一个二阶偏微分方程。其次，找到经济上有意义的方法来测定β是很有价值的。我们无法在本文中提供此类方法。最后，在未来的研究中，恢复理论的实施和实证检验还有很多工作要做。定理3.5引理A.1的证明。假设δ<λ≤λ. 设g和h分别是对应于tuple（δ，Mδ）和（λ，Mλ）的函数。那么我们有g′g-1> h′h-1、证明见引理E.2 in Park（2016）。现在我们证明定理3.5。证据假设h满足通常条件。从引理A.1可以直接看出，g′>0。我们现在显示limx→∞g（x）=∞ . 当x＞ξ时，证明g（x）＞h（x）就足够了。byRxξ与不等式g′g的积分-1> h′h-在引理A中，我们有g（x）- ln g（ξ）>ln h（x）- ln h（ξ）。由于g（ξ）=h（ξ）=1，因此g（x）>h（x）forx>ξ。

以同样的方式，可以证明limx→0+g（x）=0，表示0<x<ξ的g（x）<h（x）。定理3.6的证明当r（x）在0附近有界时，将使用下列引理来证明定理3.6。重新定义r：=infx>0r（x）。引理B.1。假设r（·）≥ 0和λ<r。设h为Lh=-λh.则hC既不能达到正的局部极大值，也不能达到负的局部极小值。证据假设h在x处有一个正的局部极大值。Th en h′（x）=0和h′（x）≤ 0。从左侧=-λh，则σ（x）h′（x）=σ（x）h′（x）+k（x）h′（x）=（r（x）- λ） h（x）>0，这是一个矛盾。以类似的方式，可以证明h不能达到负的localminimum。引理B.2。假设r（·）≥ 0和λ<r。设b和c是两个c<b的数字，不一定在mλ和mλ之间，设hb和hc分别是对应于偶（λ，b）和（λ，c）的函数。然后，对于x>ξ，hb（x）>hc（x），对于0<x<ξ，hb（x）<hc（x）。证据由于h′c（ξ）=c<b=h′b（ξ），且hb（ξ）=hc（ξ）=1，因此存在一个hc<hb的区间（ξ，x）。假设x<∞. 然后hb（x）=hc（x）。这意味着g：=hb- bcis解决方案Lg=-λg和g在ξ和x处有两个零。根据引理B.1，由于g既可以达到正的局部最大值，也可以达到负的局部最小值，因此g应为相同的零。这给我们带来了一个矛盾。以类似的方式，可以表明hb（x）<hc（x）为0<x<ξ。引理B.3。假设r（·）≥ 0和λ<r。设hM（λ）和hM（λ）分别是响应于（λ，Mλ）和（λ，Mλ）的函数。然后h′M（λ）>0，h′M（λ）<0。证据我们证明了h′M（λ）>0。设b为实数，b>Mλ，用对应于（λ，b）的hbthefunction表示。我们证明了HB是单调递增函数。通过定义Mλ，HB在x>0的点处有一个零。它在x<ξ时跟随th，因为hM（λ）是正的，而在x>ξ时，通过引理B.2，hb（x）>hM（λ）（x）。

我们得到，当hb（x）=0且hb（ξ）=1时，hb（x）在x>x上单调递增，否则hb有一个正的lo-Calmax，这与Lemm a B.1相矛盾。很明显，h′b（x）>0，因为如果h′b（x）=0，则HB等于零。hbis在x附近严格递增，因此hbis单调递增onx<x，因为hbis没有负的局部极小值。总之，hbis在（0，∞ ).现在我们证明，对于所有x>0的情况，h′M（λ）（x）>0。它可以很容易地显示为thm（λ）（x）=肢体→M（λ）+hb（x），因为hb可以用hM（λ）和hM（λ）的线性组合表示：hb=b- 毫米- mhM+M- bM公司- mhm。在这里，有一段时间，我们分别使用M和M来代替M（λ）和M（λ），以避免沉重的概念。S因为hM（λ）是单调递增函数的极限，hM（λ）是单调递增函数，即h′M（λ）（x）≥ 0表示所有x>0。假设h′M（λ）（x）=0，在某个点x>0。那么σ（x）h′（x）=σ（x）h′（x）+k（x）h′（x）=（r（x）- λ） h（x）>0。在这里，我们用h代替hM（λ）来避免沉重的概念。T hus，h′\'M（λ）（x）>0，这与hM（λ）单调递增的事实相矛盾。综上所述，对于所有x＞0的情况，h′M（λ）（x）＞0。结果表明，对于所有x＞0的情况，h′m（λ）（x）＜0的方式相似。现在我们证明定理3.6的证明。(<=) 假设0是自然边界。注意，根据假设1，∞ 是自然入口边界。固定λ<r，并将h设为对应于元组（λ，Mλ）的函数。我们证明h满足通常的条件。利用引理B.3，得到了h′＞0的一般条件之一。现在我们展示limx→∞h（x）=∞. 假设thatlimx→∞h（x）是有限的。回顾定义3.3中γ的功能。通过直接计算，h′γ′=2（右- λ） hσγ。因此h′（x）=γ（x）h′（ξ）+Zxξ2（r（s）- λ） h（s）σ（s）γ（s）ds.