基于风险中性价格的代表性代理模型

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英文标题：
《A representative agent model based on risk-neutral prices》
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作者：
Hyungbin Park
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper, we determine a representative agent model based on risk-neutral information. The main idea is that the pricing kernel is transition independent, which is supported by the well-known capital asset pricing theory. Determining the representative agent model is closely related to the eigenpair problem of a second-order differential operator. The purpose of this paper is to find all such eigenpairs which are financially or economically meaningful. We provide a necessary and sufficient condition for the existence of such pairs, and prove that that all the possible eignepairs can be expressed as a one-parameter family. Finally, we find a representative agent model derived from the eigenpairs.
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中文摘要：
在本文中，我们确定了一个基于风险中性信息的代表性代理模型。其主要思想是定价核心是独立于转移的，这得到了著名资本资产定价理论的支持。确定代表性agent模型与二阶微分算子的特征对问题密切相关。本文的目的是寻找所有这些在财务或经济上有意义的特征对。我们给出了这类对存在的充要条件，并证明了所有可能的eignepairs都可以表示为一个单参数族。最后，我们从特征对中找到了一个具有代表性的agent模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：代表性 Mathematical Quantitative economically Differential

基于风险中性价格的代表性agent模型*首尔国立大学数学科学系，1 Gwanak ro，Gwanak gu，首尔共和国，2022年3月。摘要本文确定了一个基于风险中性信息的代表性代理模型。其主要思想是定价核心是独立于转移的，这得到了著名资本资产定价理论的支持。确定代表性代理模型与二阶微分算子的特征对问题密切相关。本文的目的是找到所有这些具有财务或经济意义的特征对。我们给出了这类对存在的一个必要的充分条件，并证明了所有可能的eignepairs都可以用一个单参数族来表示。最后，我们从特征对中找到了一个具有代表性的agent模型。1引言代表代理人模型是金融领域的一个重要概念，许多作者利用代表代理人的稳健性函数来解决许多金融问题。然而，效用函数的选择是巧合的结果，而不是结果。许多作者使用幂函数、对数函数、指数函数及其线性组合作为效用函数的原型。他们选择其中一个的原因是分析的可处理性，而不是不可避免的经济基础。如果我们能找到一个不可避免的理由来解释为什么我们应该选择一个特定的函数，那就更好了，本文部分回答了这个问题。我们的故事从定价内核开始。在金融领域，许多作者致力于阐明资产回报与风险之间的关系。

这种关系反映在一个由市场主体的风险偏好相互作用决定的定价核中。代表代理人定理认为，这种相互作用可以通过市场代表代理人的效用函数来理解。主要目的是表达代理人的效用函数。本文与Ross recoverytheorem（Carr and Yu（2012）、Park（2016）、Qin and Linetsky（2014）、Ross（2015）、Walden（2017））的观点相同。他们利用从衍生工具中获得的风险中性信息*hyungbin@snu.ac.kr, hyungbin2015@gmail.comprices查找定价内核。这一结果很有吸引力，因为他们推翻了普遍认为无法从衍生品价格推断出客观衡量标准的观点。稍后，我们将得出结论，效用函数可以通过风险中性信息作为一个单参数族来确定。本文给出了一个有趣的结果。稍后，在第5.1节中，我们将看到，如果股票价格遵循标准的Black-Scholes模型，那么效用函数被确定为幂函数。Black-Scholes模型推导出了功率效用函数，这是一个令人惊讶的结果，因为这两种理论是独立发展起来的。确定效用函数的宏观经济基础依赖于基于持续时间消费的资本资产定价模型（CAPM）。CAPM的标准论点是，定价核的倒数可以表示为lt=eβtU′（X）U′（Xt），t≥ 0其中U（·）是代表代理人，β>0是代理人的贴现率，（Xt）t≥0是总消费（或收入）过程。读者可以发现，这种表现主义是Ross（2015）中等式（9）的连续时间版本。

通过定义φ（x）：=U′（x）U′（x），（1.1），我们得到了与跃迁无关的公式lt=eβtφ（Xt），t≥ 0稍后在假设3中说明。函数φ的性质继承自CAPM中的效用函数U。效用函数的一般条件如公式（？？）所示。因此，从公式（1.1）的关系来看，函数φ满足：（i）φ>0，（ii）φ′>0，（iii）limx→0+φ（x）=0，（iv）limx→∞φ（x）=∞ . φ上的这四个条件也称为通常条件。该问题将在第3.5节中讨论。其中一个最重要的观察结果是，找到与跃迁无关形式的对（β，φ）的问题转化为算子的特征值/特征函数问题。受Carr和Yu（2012）论文的启发，我们将看到（β，φ）满足二阶微分方程σ（x）φ′（x）+k（x）φ′（x）- r（x）φ（x）=-βφ（x）。（1.2）该微分方程是Ross（2015）中给出的Perron-Frobenius型方程的连续版本。本文的主要目的之一是找到φ满足通常条件的方程（1.2）的解对。所有这些对的集合称为通常集合，并用U表示。通常集合与基础过程X的行为密切相关，尤其是X的Feller边界分类。在第3.5节中，通常集合U将以X的边界分类来表征。本文有两个主要贡献。首先，我们根据X的边界分类提供了存在这些对的必要且充分的条件。此外，我们将提供所有这些对（β，φ）的表示。证明了可能集可以用一个具有上界ed参数的单参数族来表示。其次，我们的结果给出了一个关于校准目标动力学的有趣含义。

到目前为止，我们已经使用非参数或启发式参数模型来校准Xtender客观测度的动态性。本文的结果告诉我们，可以使用经济推导的参数模型来校准目标动力学。本文其余部分的结构如下。第2节描述了本文的基本市场模型，并定义了客观指标。第三节给出了本文的主要结果。我们将确定效用函数的问题转化为二阶微分算子的特征对问题。然后，选择具有财务意义的特征对。第4节将主要结果应用于寻找具有代表性的代理模型。第5节给出了几个例子，最后一节总结了本文。所有证据都在附录中。2金融市场模型2.1风险中性市场风险中性金融市场定义为概率空间(Ohm, （Ft）t≥0，Q）具有一维布朗运动W=（Wt）t≥0通常完成过滤（Ft）t≥0由W生成。假设本文中的所有流程都适用于此过滤（Ft）t≥我们确定了一个正过程G=（Gt）t≥0，称为数字。如果贴现过程S/G是Q下的鞅，则过程S被称为资产。当G是货币市场账户时，该度量Q通常被称为风险中性度量。假设1。设b和σ是（0，∞). 随机微分方程（SDE）dXt=b（Xt）dt+σ（Xt）dWt，X=ξ有唯一强解，且该解在（0，∞). 这个processX在市场上被称为状态变量。众所周知，过程X是一个单变量时间齐次马尔可夫微分。

非爆炸性意味着边界0和∞ 无法访问（定义3.3）。该边界条件合理，因为CAPM中的总消耗量未达到0∞ 在有限的时间内。假设2。状态变量X决定了数值G的动态。更准确地说，假设在（0，∞) 例如，gt=eRt（r（Xs）+v（Xs））ds+Rtv（Xs）dWs。在SDE形式中，过程G遵循dgtgt=（r（Xt）+v（Xt））dt+v（Xt）dWt，G=1。（2.1）假设局部鞅（e-Rtv（Xs）ds-Rtv（Xs）dWs）t≥0是Q下的鞅。式（2.1）中的漂移项可能看起来不符合实际，但事实并非如此（Park（2016））。2.2风险中性市场的客观衡量标准(Ohm, （Ft）t≥0，Q）满足A1-2，我们希望找到满足A3-5的可能客观指标，如下所述。假设3。存在一个实数β和一个φ（ξ）=1的两次连续可微函数φ，使得eβtφ（Xt）/Gt，t≥ 0是Q定义2.1下的鞅。设（β，φ）是满足A3的一对。由dpφdQ定义的每个ftp上的测量值PφFt=eβtφ（Xt）/gt称为转换测度或关于φ的目标测度。对于所有T，该测量值Pφ定义良好≥ 0，因为EQ（IAMt）=EQ（IAMt）适用于∈ F和0≤ t型≤ T其中Mt：=eβTφ（Xt）/Gt。备注2.1。在这个定义中，这对（β，φ）确定了客观度量Pφ。读者可能想知道为什么我们用上标Pφ代替P（β，φ）。稍后我们将看到，实际上，数字β是由φ自动确定的，因此符号P（β，φ）非常丰富。备注2.2。假设3意味着这对（β，φ）可以理解为操作器的ei-genpair。定义定价运算符PTbyPTf（x）：=EQX=x（f（XT）/GT，然后ptφ（x）=EQX=x（φ（XT）/GT）=e-βTEQX=x（eβTφ（XT）/GT）=e-βTφ（x）。最后一个等式成立，因为（eβtφ（Xt）/Gt）0≤t型≤这是一个鞅，它的time-0值是φ（x）。假设4。

在客观测度Pφ下，过程X=（Xt）t≥0接近完整性为t→ ∞ 概率为1。这一假设可能有争议，但典型的经验数据表明，总消费量随着时间的推移而增长。因此，可以合理地假设，在客观度量下，总消费过程不会随着时间的推移而反复出现，也不会变为零。众所周知，任何不收敛于左边界的瞬态时间齐次马尔可夫扩散过程总是接近右边界，正如t→ ∞. 在这方面，这一假设是合理的。现在，我们证明关于φ的合理假设。效用函数U（x）的一般条件如下：（i）U′>0（ii）U′<0（iii）limx→0+U′（x）=∞ （iv）limx→∞U′（x）=0。由φ（x）=U′（x）/U′（x），我们通过直接计算得到以下假设。假设5。函数φ满足以下条件（i）φ>0（ii）φ′>0（iii）limx→0+φ（x）=0（iv）limx→∞φ（x）=∞ .本文将上述四个条件称为φ上的一般条件。当且仅当U（x）：=Rx·1/φ（y）dy满足效用函数的通常条件时，可以很容易地检查函数φ满足通常条件。定义2.2。对于实数β和正函数φ∈ C（0，∞ ), 如果对满足A3-5.3分析模型，我们说（β，φ）是可容许对。本文的主要目的是找到所有可容许对（β，φ）（即满足A3-5）可原谅风险中性市场(Ohm, （Ft）t≥0，Q），A1-2。本文的主要贡献是研究A5。

以下是我们感兴趣的内容。（i） 找到满足A1-2的风险中性市场的充分条件，以便存在一对合适的组合。（ii）如果存在此类可接受对，则表示所有此类对。事实证明，这种对可以用一个参数族来表示。3.1二阶微分算子在这一部分中，我们观察到，找到满足A3的对（β，φ）的问题转化为找到二阶微分算子的特征对的问题。定义运算符l byLφ（x）=σ（x）φ′（x）+k（x）φ′（x）- r（x）φ（x），（3.1），其中k：=b- σv.关于以下定理的证明，请参见Park（2016）。定理3.1。设β为实数，φ为两次连续可差函数。如果对（β，φ）满足假设3，则（β，φ）是算子的特征对-五十、 相反，如果（β，φ）是运算符的eig对-五十、 theneβtφ（Xt）/Gt，t≥ 0是Q下的局部鞅。通过本文，得到了微分方程Lh=-λh将由（λ，h）表示。这个定理指导了本文的策略。我们首先将注意力限制在Lh=-λh，h>0且h（X）=1，则排除不满足A3-5的对（λ，h）。定理3.2。如果r（x）≥ 0，存在一个数λ≥ 0.对于λ<λ，它有两个线性相关的正解，对于λ>λ，它没有正解，对于λ=λ，它有一个或两个线性独立的解。定义r：=infx>0r（x）。考虑r（x）- r、 得到λ≥ r（3.2）参考Pinsky（1995）第146页和149页进行证明。r（x）的条件≥ 0在财务上是合理的，因为短期利率r（Xt）在实践中通常是非负的。我们通过以下方式更有效地表示该对（λ，h）。

二阶微分方程的解h由初值h（X）和初始导数h′（X）唯一确定。通过归一化，我们可以假设h（X）=1，然后解由h′（X）确定。因此，在h（X）=1的假设下，解对（λ，h）可以用（λ，h′（X））表示。有时，我们使用没有歧义的术语：元组（λ，h′（X））对应于对（λ，h）。将使用两个术语元组和d对来区分这些含义。使用元组的概念，我们通过以下方式定义所有可容许元组的集合。答：=（λ，h′（ξ））∈ R（λ，h）满足假设3、4和5.受定理3.1的启发，我们首先考虑Lh=-λh，h>0。我们记得假设1中的X=ξ。定义3.1。我们说（λ，h′（ξ））∈ Ris是候选元组，或者我们说（λ，h）是候选元组，如果（λ，h）是L h=-λh，h（·）>0，h（ξ）=1。用C表示候选元组集。C：=（λ，h′（ξ））∈ R左侧=-λh，h>0，h（ξ）=1.我们简化了C的状态性质。定理3.2保证集合C是非空的ifr（x）≥ 回想一下，λ是C元素第一个坐标的最大值，即λ=max{λ|（λ，z）∈ C}。对于带λ的任何λ≤ λ、 we s etMλ：=sup（λ，z）∈Cz，mλ：=inf（λ，z）∈捷克。有时，我们分别使用符号M（λ）和M（λ）来代替Mλ和Mλ，以避免出现双下标，如hMλ和hMλ。3.1中的提议。Letλ≤λ. 对于mλ的任何z≤ z≤ Mλ，元组（λ，z）在C中。上述命题可以很容易地由方程Lh=-λh有两个线性独立解，任何解都可以用这两个解的线性组合来表示。对于严格的证明，请参阅Park（2016）。

因此，C的λ片是连通紧集。3.2变换度量对于候选对（λ，h），定理3.1表示（eλth（Xt）/Gt）t≥0是3.2中Q.命题下的局部鞅。设（λ，h）为候选对，使得（eλth（Xt）/Gt）t≥0是鞅（即，（λ，h）满足假设3）。然后是一个过程（Bht）≥0由dBht定义=-（σh′h-1.-v） （Xt）dt+dwt是在变换测度Ph下的B布朗运动。在这种情况下，X的h动力学为Xt=（B- vσ+σh′h-1） （Xt）dt+σ（Xt）dBht=（k+σh′h-1） （Xt）dt+σ（Xt）dBht。（3.3）偶尔，我们使用符号P和（Bt）t≥0代替Phand（Bht）t≥0，无歧义。即使当（eλth（Xt）/Gt）t≥0不是鞅，我们可以在等式（3.3）中考虑扩散过程。定义3.2。扩散过程（Xt）t≥定义为dxt=（k+σh′/h）（Xt）dt+σ（Xt）dbt，称为由对（λ，h）或元组（λ，h′（ξ））诱导的分化过程。3.3内部分歧我们将注意力转移到假设4。以下定理规定了候选四元组诱导满足假设4的转换度量。有关证据，请参见Park（2016）。定理3.3。Letλ≤ λ. 元组（λ，Mλ）诱导的分化过程接近于t→ ∞ 概率为1。对于带mλ的z≤ z<Mλ，当t→ ∞ 以正概率。综上所述，得出如下结论： {（λ，Mλ）∈ C |λ≤ λ } .从现在起，我们主要关注带λ的元组（λ，Mλ）≤λ.3.4鞅条件我们现在探讨第3.2节中讨论的鞅条件。对于任意给定的元组（λ，h′（ξ）），我们知道过程eλth（Xt）G-1是局部鞅。考虑诱导鞅eλth（Xt）G的元组集（λ，Mλ）-1t，即M：={（λ，Mλ）| eλth（Xt）G-这是一个鞅}。显然，A是M的子集。