基于风险中性价格的代表性代理模型

（B.2）右侧的两项为L（ξ，∞) 因为它们是正的，左手侧的积分∞ξh′（y）dy=limx→∞h（x）-h（ξ）是有限的。因此，γ（x）Rxξ2h（s）σ（s）γ（s）dsis in L（ξ），∞) 自r（x）起-λ ≥r-λ > 0. 另一方面，由于h是递增的，且h（ξ）=1，我们知道r（x）=γ（x）Zxξσ（s）γ（s）ds≤ γ（x）Zxξ2h（s）σ（s）γ（s）ds。因此，R∈ L（ξ，∞), 假设∞ 无法访问。现在我们证明limx→0+h（x）=0。假设limx→0+h（x）>0。由于h′/γ由方程式（B.1）递增，且h′为正，因此极限存在slimx→0+h′（x）γ（x）=C≥ 0 . （B.3）积分方程（B.1）byRx，我们得到h′（x）=γ（x）C+Zx2（r（s）- λ） h（s）σ（s）γ（s）ds. （B.4）右侧的两项在L（0，ξ）中，因为它们是非负的andRξh′（x）dx=h（ξ）- 林克斯→0+h（x）是有限的。因此，γ（x）Rx2h（s）σ（s）γ（s）ds在L（0，ξ）中，因为r（x）- λ ≥r- λ > 0. 因为h是一个递增的函数和limx→0+h（x）>0，我们得到γ（x）Rxσ（s）γ（s）ds在L（0，ξ）中。根据Fubini定理，Zξγ（x）Zxσ（s）γ（s）ds dx=Zξσ（s）γ（s）Zξsγ（x）dx是有限的。因此，Q在L（0，ξ）中，这意味着0不是自然边界。这是一个传统。(=>) 假设集合U是非空的。设（λ，Mλ）为集合中的一个元素，并用h表示相应的函数。根据Thorem 3.5，我们可以假设λ<r。我们现在证明0是一个自然边界。假设0处的th是入口边界，即Q∈ L（0，ξ）。通过Fubini定理，我们知道γ（x）Zxσ（s）γ（s）ds∈ L（0，ξ）。（B.5）由于h在（0，ξ）上有界，并且r假设在0附近有界，因此得到γ（x）Zx2（r（s）- λ） h（s）σ（s）γ（s）ds∈ L（0，ξ）。（B.6）另一方面，根据方程式（B.3），可以得出limx→0+h′（x）γ（x）=C≥ 0 . 我们认为C=0。假设C 6=0。那么，从方程（B.4）和（B.6）中，γ在L（0，ξ）中。

对于x<ξ/2，我们知道0≤σ（x）γ（x）=σ（x）γ（x）Rξxγ（s）dsRξxγ（s）ds≤σ（x）γ（x）Rξxγ（s）dsRξ/2γ（s）ds=-Q（x）Rξξ/2γ（s）ds，所以我们得到c：=Rξσ（x）γ（x）dx是有限的，因为Q∈ L（0，ξ）。因此，R∈ L（0，ξ），因为f或x<ξ，0≤ -R（x）=γ（x）Zξxσ（s）γ（s）ds≤ γ（x）Zξσ（s）γ（s）ds=cγ（x）∈ L（0，ξ）。这是一个矛盾，因为∞ 是无法访问的边界。因此，C=0。现在我们证明假设Q∈ L（0，ξ）引起一个矛盾。由于C=0且h在增加，从方程式（B.4）和（B.5）中，我们知道h′（x）h（x）=γ（x）h（x）Zx2（r（s）- λ） h（s）σ（s）γ（s）ds≤ γ（x）Zx2（r（s）- λ） σ（s）γ（s）ds≤ cγ（x）Zxσ（s）γ（s）ds∈ L（0，ξ），其中c：=|λ|+su p0≤x个≤ξr（x）。这意味着limx→0+h（x）>0，因为- 林克斯→0+ln h（0）=ln h（ξ）- 林克斯→0+ln h（0）=Zξh′（x）h（x）dxis定义。这与通常情况下满足的假设相矛盾。C定理3.7的证明将显示定理3.7。为此，我们首先证明定理C.1、引理C.1和C。以下为2 s。在本附录中，假设r<λ。定理C.1。设r<λ≤λ. 用h表示对应于（λ，Mλ）的函数。ThenR公司∞ξγ（x）dx=∞ 当且仅当h′>0。证据假设是这样∞ξγ（x）dx=∞. 回想方程式（B.2），H′（x）=γ（x）h′（ξ）- 2(λ - r） Zxξh（s）σ（s）γ（s）ds. （C.1）如果某个点x的h′（x）<0，则对于x>x，h′（x）=γ（x）h′（ξ）- 2(λ - r） Zxξh（s）σ（s）γ（s）ds≤ γ（x）h′（ξ）- 2(λ - r） Zxξh（s）σ（s）γ（s）ds=γ（x）γ（x）h′（x）。SinceR公司∞ξγ（x）dx=∞ h′（x）<0，那么h（x）→ -∞ 作为x→ ∞, 这与h为正的事实相矛盾。因此，我们得到h′≥ 我们现在证明h′>0。假设h′（x）=0。那么σ（x）h′（x）=σ（x）h′（x）+k（x）h′（x）=-(λ - r） h（x）<0，因此h在x处具有局部最大值。这与h′的事实相矛盾≥ 我们现在证明了相反的情况。假设h′>0。

从方程（C.1）中，我们知道h′（ξ）Zxξγ（y）dy=h（x）- h（ξ）+2（λ- r） Zxξγ（y）Zyξh（s）σ（s）γ（s）ds dy。为了证明这一点，R∞ξγ（x）dx=∞, 由于右侧的第一项h（x）为正，因此足以表明z∞ξγ（x）Zxξh（s）σ（s）γ（s）ds dx=∞ .另一方面，因为∞ 我们知道这是一个难以逾越的边界∞ξγ（x）Zxξσ（s）γ（s）ds dx=∞ .由于h是正的并且在增加，我们得到了期望的结果。引理C.1。设r<λ≤ λ. 如果h是Lh的正和递增溶液=-λh，thenh（0）：=limx→0+h（x）=0。证据可以很容易地表明e（λ-r） th（Xt）是局部鞅。由于正lo-calmartingale是一个超鞅，因此e[e（λ-r） th（Xt）]≤ h（X）=h（ξ）。由于h在增加，我们有e（λ-r） th（0）≤ E[E（λ-r） th（Xt）]≤ h（ξ）。因此，h（0）≤ e-(λ-r） th（ξ）。让t→ ∞, 我们得到了预期的结果。引理C.2。设λ<λ。设h分别为（λ，Mλ）对应的函数。如果（λ，h）满足鞅条件andR∞ξγ（x）dx=∞, 那么h是无界的。证据设h和g是对应于（λ，Mλ）和（λ，Mλ）的函数。由于（λ，h）满足鞅条件，因此（λ，Mλ）也满足定理3.4。设P是相对于（λ，Mλ）的变换度量。T henh（ξ）=等式[e（λ-r） th（Xt）]=EP[（g-1h）（Xt）]e-(λ-λ） tg（ξ）。（C.2）第一个等式成立，因为（λ，h）满足鞅条件。假设h是有界的，即对于某些常数c，h<c。通过引理A.1，如定理3.5的证明中所述，我们知道，对于0<x<ξ，h（x）<g（x），对于x>ξ，h（x）>g（x），其为（g-1h）（x）<1对于0<x<ξ和（g-1h）（x）<重心-1（x）表示x>ξ。SinceR公司∞ξγ（x）dx=∞, g根据定理C递增。1，我们知道（g-1h）（x）<重心-1（x）<重心-1（ξ）=c，x>ξ。因此，可以得出（g-1h）（x）<c+1，所有x>0。根据方程式（C.2），我们得到h（ξ）=EP[（g-1h）（Xt）]e-(λ-λ） tg（ξ）≤ （c+1）e-(λ-λ） tg（ξ）。让t→ ∞, 它在h（ξ）处跟随th≤ 0

这就给我们带来了矛盾。证据现在我们证明定理3.7。假设是这样∞ξγ（x）dx=∞. 用r<λ<λ固定任意λ，并设h为对应于（λ，Mλ）的函数。根据定理C.1，h′>0。根据引理C.1，由于h是正的且在增加，limx→0+h（x）=0。引理C.2，我们有limx→∞h（x）=∞. 因此，h满足通常的条件，即，（λ，Mλ）在U中。根据定理3.5，可以得出{（λ，Mλ）|λ<λ} U、 这是期望的结果。我们现在证明如果∞ 是自然边界，则U={（λ，Mλ）|λ≤λ }. 设hbe为（λ，Mλ）对应的函数。通过相同的参数，我们有h′>0和limx→0+h（x）=0。必须表明limx→∞h（x）=∞. 根据方程式（B.2），我们得到h′（x）=γ（x）h′（ξ）- 2(λ - r） Zxξh（s）σ（s）γ（s）ds.因为括号内的项是x的递减函数，并且左侧的h′（x）对于所有x都是正的，通过让x→ ∞, 因此，C：=h′（ξ）-2(λ-r） r∞ξh（s）σ（s）γ（s）ds为非负。上述方程可用h′（x）=γ（x）表示C+2（λ- r） Z∞xh（s）σ（s）γ（s）ds≥ 2(λ - r） γ（x）Z∞xh（s）σ（s）γ（s）ds。（C.3）另一方面，应用Fubini定理，我们知道th atZ∞ξγ（x）Z∞xσ（s）γ（s）ds dx=Z∞ξσ（s）γ（s）Zsξγ（x）dx ds=∞因为∞ 是一个自然边界。因此，方程式（C.3）右侧的积分变为∞ξγ（x）R∞xh（s）σ（s）γ（s）ds dx=∞ 因为CEH是一种缓解功能。这意味着limx→∞h（x）=∞.现在假设R∞ξγ（x）dx<∞. 根据定理C.1，对于r<λ的任何λ≤λ、 相应的函数h不满足条件h′>0。因此，U {（λ，Mλ）|λ≤ r}。当λ=r时，根据位置3.3证明中的相同参数，我们知道（r，Mr）不在U中，所以U {（λ，Mλ）|λ<r}。另一方面，{（λ，Mλ）|λ<r} 定理3.6明确了U。

因此，U={（λ，Mλ）|λ<r}。D一个不变性质let Xtbe是一个满足dxt=k（Xt）dt+σ（Xt）dw且杀伤率r（x）的扩散过程。然后对应的生成器isLh（x）=σ（x）h′（x）+k（x）h′（x）- r（x）h（x）。固定生成元L的容许对（λ，h）。让（a，b）在R中有一个开区间。假设π：（0，∞) 7.→ （a，b）是一个具有连续二次可微逆e的连续二次可微双射映射。然后π是递增的或递减的，所以我们可以假设π是递增的。定义Yt=π（Xt）和h（y）=h（π）-1（y））。然后Ytsatis fiesdyt=（kπ′+σπ′）（Xt）dt+（σπ′）（Xt）dWt=（kπ′+σπ′）o (π-1（Yt））dt+（σπ′）o (π-1（Yt））dwt，杀伤率r（π-1（y））。相应的发电机isLπH（y）=（σπ′）o (π-1（y））H′（y）+（kπ′+σπ′）o (π-1（y））H′（y）- r（π-1（y））H（y）。该对（λ，H）是LπH=-λH。此外，我们有dphdqFt=eλth（Xt）G-1t=eλtH（Yt）G-1t=dPHdQ因此，（λ，h）和（λ，h）会产生相同的变换测度。因为XT接近于作为t的完整性→ ∞ 在Ph下（通过可容许对的定义），过程Yt=π（Xt）接近右边界b，即t→ ∞ 根据PH值，很明显，功能HSA满足通常条件（i）、（ii）和（iii）、（iv）取代了limitslimx→0+h（x）=0，limx→∞h（x）=∞作者：Limy→a+H（y）=0，石灰→b-H（y）=∞ .参考Peter Carr和Jiming Yu。风险、回报和罗斯恢复。《衍生品杂志》，20（1）：38–592012年。Ioannis Karatzas和Steven Shreve。布朗运动与随机微积分，第113卷。Springer Science&Business Media，2012年。亨宾公园。具有周期性和瞬态过程的罗斯恢复。《定量金融》，16（5）：667–6762016年。罗斯·G·平斯基。《正调和函数与扩散》，第45卷。剑桥大学出版社，1995年。李冠琴和瓦迪姆·莱因茨基。

马尔可夫定价算子的正特征函数：Hansen-Scheinkman因子分解和Ross恢复。arXiv预印本arXiv:1411.30752014。史蒂夫·罗斯。恢复定理。《金融杂志》，70（2）：615–6482015。约翰·沃尔登。通过无限扩散过程进行恢复。《金融评论》，21（4）：1403–14442017。