回火稳定过程的首次通过时间及其应用

标准CGMY流程第一次通过时间的PDF位于右下角。T S过程及其应用的首次通过时间170.8 0.85 0.9 0.95 1 1 1.05 1.1 1.15 1.2200250300350400450500Moneyness（K/S（0））价格CGMY ModelBS Model0.8 0.85 0.9 0.95 1 1 1.05 1 1.15 1.21300140150016001700190020010000moneyness（K/S（0））价格CGMY ModelBS ModelFig。5： CGMY市场模型（SolidCurve）和BS模型（虚线点曲线）下的永久cal l（左）和put（右）价格。18 Young Shin Kim1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 23000102003040506070向下-和-呼叫CGMY BarrierBS Barrier1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300050100150200250300坏-和-输入CGMY BarrierBS BarrierFig。6： 看跌期权（左）和看跌期权（右），价格水平为1750，其中当前基础指数价格S（0）=1968.89，到期时间i S T=1年。实线为CGMY模型的买入/卖出价格，虚线为BS模型。1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 23000204060801020140160182000以上-和-呼叫CGMY BarrierBS Barrier1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 230001020030405060以上-和-输入CGMY BarrierBS BarrierFig。7： 看涨期权（左）和看跌期权（右）价格，其中障碍水平为B=2200，当前基础指数价格S（0）=1968.89，到期时间为T=1年。实心曲线为CGMY模型的买入/卖出价格，虚线为BS模型。T-S过程的首次通过时间及其应用19附录作为附录，我们在L'evy市场模型下讨论了永久美式期权定价和障碍期权定价。永久美式期权L'evy模型上的永久看涨期权和看跌期权价格可以通过Gerber和Shiu（1994）引入的鞅方法获得。在本节中，我们将遵循L'evy市场价格模型的鞅方法。我们考虑执行价格为K的永久美式看涨期权。

如果期权持有人在时间T行使认购权，则持有人获得（S（T）- K） +其中x+=最大值{0，x}。设L为带L的实数≥ K、 持有人将在资产价格首次大于或等于L级时行使认购权。我们定义了首次通过时间τ（L）=inf{t≥ 0 | S（t）≥ 五十} =inf{t≥ 0 | X（t）≥ l} ，其中l=log（l/S（0））>0。那么永久美式调用的当前值为永久=最大≥KE[电子]-rτ（l）（S（τ（l））- K） +]。LetC（L）=E[E-rτ（l）（S（τ（l））- K） +]=（L- K） E【E】-rτ（l）]，这是τ（l）的拉普拉斯变换。应用引理1，我们可以得到Laplacetransform asEhe-rτ（l）i=φτ（l）（ir）=e-lη+（ir），其中η+（ir）是满足（2）和（3）的值，l>0且u=ir。因此我们有c（L）=（L- K） e类-lη+（ir）=（l- K）S（0）Lη+（ir）。通过解决CL（L+）=0，我们找到最佳值L+L+=η+（ir）Kη+（ir）- 因此，我们得到最大值C（L+）=Kη+（ir）- 1.S（0）（η+（ir）- 1） Kη+（ir）η+（ir）。如果L+<S（0），则立即执行看涨期权，因此我们有价格S（0）-K、 因此，永久买入价等于永久买入价=Kη+（ir）- 1.S（0）（η+（ir）- 1） Kη+（ir）η+（ir）如果S（0）≤ L+S（0）- 如果S（0）>L+，则为K。20 Young Shin KimWe考虑行使价格为K的永久美式看跌期权。如果期权持有人在时间T行使看跌期权，则持有人获得（K- S（T））+。设L为0<L的实数≤ K、 当资产价格首次低于或等于L级时，持有人将行使看跌期权。我们定义了首次通过时间τ（L）=inf{t≥ 0 | S（t）≤ 五十} =inf{t≥ 0 | X（t）≤ l} 其中，l=对数（l/S（0））<0。则put IsPaperate的当前值=max0<L≤KE[电子]-rτ（l）（K- S（τ（l）））+]，这是τ（l）的拉普拉斯变换。对于与看涨期权情况相同的参数，我们发现最佳值L-L-=η-（ir）Kη-（ir）- 1，其中η-（ir）是l<0且u=ir时满足（2）和（3）的值。

因此，永久输出价格等于Toperpetual=K1级- η-（ir）S（0）（η）-（ir）- 1） Kη-（ir）η-（ir）如果S（0）≥ L-K- 如果S（0）<L，则S（0）-.障碍期权集P i是欧式期权的支付函数。例如，行使价格K的欧洲看跌期权由∏（S（t））=（S（t）给出- K） +和∏（S（T））=（K- S（T））+。屏障等级为B、成熟时间为T的敲入式屏障选项按以下等式VI=e定价-rTE公司π（S（T））1τ（l）<T其中l=对数（B/S（0））。请注意，l<0表示向下和进入屏障选项，l>0表示向上和进入屏障选项。因为我们有∏（S（T））=∏（S（T））1τ（l）<T+∏（S（T））1τ（l）≥T、 可通过以下等式VO=e获得淘汰障碍期权价格-rTE公司π（S（T））1τ（l）≥T= e-rT公司E[π（S（T））]- Eπ（S（T））1τ（l）<T= 五、-Vi，其中V=e-rTE[π（S（T））]。请注意，l<0表示向下和向外屏障选项，l>0表示向上和向外屏障选项。情况1：当障碍期权价格与无障碍期权价格相同时，∏（S（T））=π（S（T））1τ（l）<TIf∏（S（T））=π（S（T））1τ（l）<Vi=e-rTE公司π（S（T））1τ（l）<T= e-rTE[π（S（T））]。例如（1）up和in call option wi t h K>B，我们有（S（t）- K） +=（S（T）-K） +τ（l）<T，和（2）K<B的向下和卖出期权，我们有（K- S（T））+=（K- S（T））+τ（l）<T。T S过程的首次通过时间及其应用21例2：π（S（T））6=π（S（T））1τ（l）<TIf∏（S（T））6=π（S（T））1τ（l）<T，我们有vi=e-rTE公司π（S（T））1τ（l）<T= e-rTEhEh∏（S（0）eX（T）-X（τ（l））+X（τ（l）））1τ（l）<T |τ（l）ii=e-rTEhEh∏（S（0）eleX（T-τ（l）））1τ（l）<Tτ（l）ii=e-rTZTEh∏（S（0）eleX（T-t） ）1t<Tifτ（l）（t）dt，其中fτ（l）是τ（l）的pdf。因为我们有S（0）el=B和fτ（l）（t）=2πZ∞-∞e-ivtφτ（l）（v）dv，cibecomesVi=e-rT2πZTEh∏（BeX（T-t） ）iZ∞-∞e-ivtφτ（l）（v）dv dt=e-rT2πZ∞-∞ZTEh∏（BeX（T-t） ）ie-ivtdtφτ（l）（v）dv。

（8） 通过使用傅里叶变换的欧式期权定价公式（见Carr和Madan【1999】、Lewis【2001】和Rachev et al【2011】），我们得到了Eh∏（BeX（T-t） ）i=2πZ∞-∞Bi（u+iρ）e（T-t） ψX（u+iρ）^∏（u+iρ）du，其中∏（z）=R∞-∞e-复数z和ρ的izx∏（ex）dx是一个实常数，因此ψX（u+iρ）和^∏（u+iρ）对于所有u∈ R、 因此我们有vi=e-rT2πZ∞-∞ZT2πZ∞-∞Bi（u+iρ）e（T-t） ψX（u+iρ）^∏（u+iρ）du e-ivtdtφτ（l）（v）dv=e-rT（2π）Z∞-∞Z∞-∞Bi（u+iρ）^∏（u+iρ）中兴通讯（T-t） ψX（u+iρ）e-ivtdt duφτ（l）（v）dv=e-rT（2π）Z∞-∞Bi（u+iρ）^∏（u+iρ）Z∞-∞eTψX（u+iρ）- e-ivTψX（u+iρ）+ivφτ（l）（v）dv duLetH（u）=Z∞-∞eTψX（u+iρ）- e-ivTψX（u+iρ）+ivφτ（l）（v）dvthenVi=e-rT（2π）Z∞-∞Bi（u+iρ）^∏（u+iρ）H（u）du。22 Young Shin Kim欧洲看涨期权和看跌期权看涨期权收益∏（S（t））=（S（t）- K） +，我们有^∏（u+iρ）=Z∞日志Ke-i（u+iρ）x（ex- K） dx=Kρ+1-iu（ρ- iu）（ρ+1- iu），ρ<-1对于看跌期权收益∏（S（T））=（K- S（T））+，我们有∏（u+iρ）=Zlog K-∞e-i（u+iρ）x（K- ex）dx=Kρ+1-iu（ρ- iu）（ρ+1- iu），ρ>0。在案例2中，下行和买入期权价格（cdi）以及上行和卖出期权价格（pui）总是存在。

因此，我们有他们的价格ascdi=e-rTK1+ρ（2π）BρZ∞-∞黑色国际单位H（u）（ρ- iu）（1+ρ- 国际单位）du，ρ<-1和PUI=e-rTK1+ρ（2π）BρZ∞-∞黑色国际单位H（u）（ρ- iu）（1+ρ- 国际单位）du，ρ>0对于上行和买入期权价格（cui）以及下行和卖出期权价格（pdi），我们考虑案例1，最终得到cui=e-rTK1+ρ（2π）BρR∞-∞黑色国际单位H（u）（ρ-iu）（1+ρ-国际单位）du如果K≤ 是-rTK1+ρ2πS（0）ρR∞-∞S（0）K国际单位φX（T-t） （u+iρ）（ρ-iu）（1+ρ-国际单位）du i f K>B，ρ<-1.和PDI=e-rTK1+ρ（2π）BρR∞-∞黑色国际单位H（u）（ρ-iu）（1+ρ-国际单位）du如果K≥ 是-rTK1+ρ2πS（0）ρR∞-∞S（0）K国际单位φX（T-t） （u+iρ）（ρ-iu）（1+ρ-国际单位）du i f K<B，ρ>0。上述向上、向内、向下和向内通话对应的向上、向外、向下和向外通话按cuo=c定价- cui，cdo=c- cdi，其中c是具有执行价格K和到期时间T的普通看涨期权价格。与上述向上、向内、向下和向内投入相对应的向上、向外、向下和向外投入按puo=p定价- pui，pdo=p- pdi，其中p是普通看跌期权价格，执行价格为K，到期时间为T。