回火稳定过程的首次通过时间及其应用

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英文标题：
《First Passage Time for Tempered Stable Process and Its Application to
  Perpetual American Option and Barrier Option Pricing》
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作者：
Young Shin Kim
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper, we will discuss an approximation of the characteristic function of the first passage time for a Levy process using the martingale approach. The characteristic function of the first passage time of the tempered stable process is provided explicitly or by an indirect numerical method. This will be applied to the perpetual American option pricing and the barrier option pricing. Numerical illustrations are provided for the calibrated parameters using the market call and put prices.
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中文摘要：
在本文中，我们将讨论用鞅方法逼近Levy过程的首次通过时间的特征函数。回火稳定过程的首次通过时间的特征函数是明确的或通过间接的数值方法提供的。这将适用于永久美式期权定价和障碍期权定价。使用市场买入价和卖出价为校准参数提供了数字说明。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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关键词：Quantitative illustration Application QUANTITATIV derivatives

Noname手稿编号（将由编辑插入）回火稳定过程的首次通过时间及其在永久美式期权和障碍期权中的应用Pricingyoung Shin Kim于9月22日收到/接受：dateAbstract在这篇论文中，我们将使用鞅方法讨论列维过程的首次通过时间的特征函数的近似值。回火稳定过程的首次通过时间的特征函数通过间接数值方法明确提供。这将适用于永久美式期权定价和障碍期权定价。使用市场买入价和卖出价为校准参数提供了数字说明。关键词L’evy过程·缓和稳定过程·首次通过时间·障碍期权定价·永久美式期权定价杰尔分类：G13、C21、C421简介自从Black和Scholes【1973】引入了无套利期权定价模型和公式以来，Black-Scholes（BS）模型成为最流行的模型金融。此外，路径依赖型奇异期权（包括美国永久期权和障碍期权）的定价是金融领域的一个重要课题。1987年黑色星期一股市崩盘后，期权市场的波动微笑效应被观察到，许多科学家引入了许多先进的模型来描述微笑效应。基于回火稳定（TS）过程的L'evy过程期权定价模型（或简称L'evy模型），包括正常回火稳定（NTS）过程和CGMY过程，是解释欧洲看涨期权价格波动微笑效应的流行模型（见Barndorff Nielsen和Levendorskii【2001】、B arndorff Nielsen和Shephard【2001】、Carr等人【2002】、Boyarchenko和Levendorski【2000】、Koponen【1995】和Rachev等人。

[2011]).算术布朗运动的首次通过时间分布是计算路径相关期权价格的一个重要主题。我们有包括Barndorff Nielsen（1977）在内的文献中布朗运动的第一次通过时间的分布。Hurd和Kuznetsov【2009年】、Rogers【2000年】等人相继研究了L’evy过程的时间分布。Young Shin Kim美国纽约石溪大学商学院电子邮件：aaron。kim@stonybrook.edu2永续美式期权和障碍期权定价不仅研究了onBS模型，还研究了L’evy模型。Gerber和Shiu【1994】使用鞅方法讨论了BS模型上的永久美式期权定价公式，Boyarchenko和Levendorskii【2002b】使用L'evy模型上的维纳霍普夫分解发现了永久美式期权定价公式。BS模型下的障碍期权价格公式见文献，包括Hull【2015年】。此外，Boyarchenko和Levendorskii[2002c]提出了L'evy模型上的障碍期权定价方法。偏积分微分方程法已广泛用于L'evy模型上的障碍期权定价（见C handra和Mukherjee【2016】和Cont和Tankov【2004】）。最近，Boguslavskaya【2014】讨论了使用转换的障碍期权定价方法。在本文中，我们将使用鞅方法讨论一类包含B rownian运动的L'evy过程和TS过程（NTS或CGMYprocess）的第一通过时间的特征函数。由于鞅方法不适用于带跳跃的过程，我们将使用L'evy过程的连续近似。之后，我们找到了L'evy过程第一段时间的特征函数的近似形式。

在某些特殊情况下，我们将看到特征函数的闭合形式。如果不允许使用闭式解，则可以使用数值方法来找到它。首次通过时间的特征函数将应用于最终永久美国期权价格和障碍期权价格。本文将结合实证市场数据，讨论定价期权和障碍期权的数值方法和表现。本文的其余部分组织如下。第2节推导了使用鞅方法的某些L'evy过程的首次通过时间的特征函数。本节还讨论了带跳跃的L'evy过程的近似情况。第3节讨论了永久美式期权定价和障碍期权定价，并给出了数字示例。第3节总结了主要发现。在附录中，我们解释了永久美式期权和障碍看涨期权的定价公式是如何得到的。2第一段时间集的特征函数X=（X（t））t≥0成为一个简单的过程。假设φX（t）是X（t）的特征函数（ch.F），ψXis是X的L'evy符号，由ψX（u）=logφX（1）（u）给出，因此φX（t）（u）=etψX（u）（见Applebaum【2004】）。让我∈ R为a级。我们定义了一个信息时间τ（l），使l'evy过程X达到l级，如下所示：τ（l）=（inf{t≥ 0 | X（t）≤ l} 如果l<0inf{t≥ 0 | X（t）≥ l} 如果l>0。（1） 引理1假设X是一个连续的L'evy过程。适用于所有u∈ R、 如果存在复杂函数η（u），则R(-lη（u））<0，φX（1）(-iη（u））定义良好，andiu+ψX(-iη（u））=0（2），则τ（l）的ch.F等于φτ（l）（u）=Eheiuτ（l）i=e-lη（u）。

（3） T-S过程的首次通过时间及其应用∈ R、 如果存在满足（2）的η（u），那么我们有1=et（iu+ψX(-iη（u））=Eheiut+η（u）X（t）i，（4）因为log E[eixX（t）]=tψX（X）。我们有1=Eheiuτ（l）+η（u）X（τ（l））i=Eheiuτ（l）elη（u）i=elη（u）Eheiuτ（l）i，我们得到τ（l）的ch.F作为Eheiuτ（l）i=e-lη（u）。因为我们有-lη（u）|=| E[eiuτ（l）]|≤ E[| eiuτ（l）|]=1，ande-lη（u）=eR(-lη（u））eiI(-lη（u）），我们得到了条件R(-lη（u））≤ 此外，因为我们有η（u）X（t）i=exp（tψX(-iη（u）），方程（4）成立当且仅当iu+ψX(-iη（u））=0。备注21应用Lemm a 1，我们可以通过傅里叶逆变换获得τ（l）的概率密度函数（pdf），如下所示：fτ（l）（x）=2πZ∞-∞e-iuxφτ（l）（u）du=2πZ∞-∞e-iux-lη（u）du。（5） 例1（布朗运动）设X=（X（t））t≥0=（ut+σB（t））t≥0其中（B（t））t≥0是布朗运动，u∈ R、 σ>0。因为X（t）的ch.F是φX（t）（u）=expuiut- tσu方程（2）等于u+uη（u）+ση（u）=0，满足方程的η（u）为η（u）=-u±pu- 2σuiσ。对于这种情况R(-lη（u））<0，我们有η（u）=-u+√u-2σuiσ，如果l>0-u-√u-2σuiσ，如果l<0。因此，X的首次通过时间τ（l）的ch.F为φτ（l）（u）=经验值lu-l√u-2σuiσ如果l>0explu+l√u-2σuiσ如果l<0，这就是众所周知的逆高斯分布的ch.F。4 Young Shin KimWe不能将引理1用于带跳跃的L'evy过程，因为X（τ（L））=L通常不是真的。

为了避免这个问题，我们定义了连续近似过程Xc=（Xc（t））t≥0对于L'evy流程X asXc（t）=X（t）如果t∈ P（t- ti）X（ti+1）+（ti+1- t） X（ti）ti+1- tiif ti<t<ti+1对于ti∈ P是实区间[0，T]asP={xi | 0=x<x<····<xn<·····························。我们称Xc为X的连续近似过程。Xc（t）的特征函数如下：φXc（t）（u）=exp（tiψX（u）+（ti+1- ti）ψX(u） ）对于t∈ [ti，ti+1），其中 =t型- titi+1- ti。我们使用ψX的数值近似(u）≈ ψX（u），那么我们有φXc（t）（u）≈ exp（tiψX（u）+（ti+1- ti）ψX（u））=φX（t）（u），然后我们对Xc使用引理1，近似的ch.F。也就是说，如果η（u）满足（2），那么xC的首次通过时间τ（l）近似于特征函数φτ（l）（u）≈ e-lη（u）。2.1 NTS过程和正态逆高斯过程的情形letα∈ (0, 2), θ > 0, β ∈ R、 γ>0和mu∈ R、 考虑一个纯跳跃L'evy processX=（X（t））t≥0其ch.FφX（t）等于φX（t）（u）=exp（u- β） 宫内节育器-2θ1-ααtθ - iβu+γuα- θα!!.过程X称为NTS过程，参数为（α、θ、β、γ、u），用X表示~ NTS（α、θ、β、γ、u）。NTS过程具有闭合区间的有限指数矩，即E[eaX（t）]<∞ ifa∈γ-β -pβ+2γθ,γ-β+pβ+2γθ.如果X~ NTS（α，θ，β，γ，u），α=1，则过程X称为正态逆高斯（NIG）过程，参数为（θ，β，γ，u），用X表示~ NIG（θ，β，γ，u）。NIG过程X的ch.F等于φX（t）（u）=exp（u- β） iut+2tθ- 2tθθ - iβu+γu!.T-S过程的首次通过时间及其应用5If-X~ NTS（α，θ，β，γ，u），其中u=0，γ=q1- β2.-α2θ具有-q2θ2-α<β<q2θ2-α然后E[X（t）]=0，var（X（t））=t，对于所有t>0。在这种情况下，processX被称为具有h参数（α、θ、β）的标准NTS过程，并用x表示~ stdNTS（α，θ，β）。

使用相同的参数，X~ NIG（θ，β，γ，u），其中u=0，γ=q1-β2θ带-√2θ < β <√2θ，然后E[X（t）]=0，对于所有t>0，var（X（t））=t。在这种情况下，过程X被称为带参数（θ，β）的标准NIG过程，并用X表示~ stdNIG（θ，β）。将引理1应用于过程X~ NIG（θ，β，γ，u），我们发现η（u）满足（2），即0=（2θ+iu）+（u- β） η（u）- 2θθ - βη（u）-γη（u）或(u - β)+ 2θγη（u）+2（2uθ+（u- β） iu）η（u）- u+4θiu=0。最后，我们得到了解η（u）=-(2uθ + (u - β） iu）±q（2uθ+（u- β） iu）+（u- β） +2θγ）（u- 4θiu）（u- β)+ 2θγ.由于NIG过程是一个纯跳跃L'evy过程，我们不能直接使用引理1。相反，我们使用进程X的连续近似进程Xcof作为分区P。满足条件R(-lη（u））<0对于所有u，我们有过程Xcasφτ（l）（u）的第一段时间τ（l）的ch.F≈（经验值-lη+（u）如果l>0exp-lη-（u）如果l<0，其中η+（u）=-(2uθ + (u - β） iu）+q（2uθ+（u- β） iu）+（u- β） +2θγ）（u- 4θiu）（u- β） +2θγ和η-（u）=-(2uθ + (u - β） 国际单位）-q（2uθ+（u- β） iu）+（u- β） +2θγ）（u- 4θiu）（u- β)+ 2θγ.为了进行数值说明，我们在图1中给出了标准NIG分布的pdf和标准NIG过程的首次通过时间。为了绘制图表，我们对方程（5）使用快速傅立叶变换方法，其中ch.F为第一次通过时间。设X=（X（t））t≥0~ stdNIG（θ，-β） ，Y=（Y（t））t≥0~ stdNIG（θ，β），参数θ=1，β=1/2，设B=（B（t））t≥0是标准布朗运动。我们分别考虑X和Y的连续近似过程xc和yc。在左侧和右侧的图版中，实心曲线代表X，虚线代表Y，灰点曲线代表B。在左侧图版中，我们显示了X（1）=Xc（1）（实心）和Y（1）=Yc（虚线）的pdf分别向左倾斜和向右倾斜。

pdfof B（1）（虚线点）是一种对称的标准普通pdf。设τXc（l）、τYc（l）和τB（l）分别为水平l=3时Xc、Yc和B的首次通过时间。在6张年轻的Shin-Kim右图中，我们展示了τXc（l）（实心）、τYc（l）（虚线）和τB（l）（虚线点）的pdf。由于X（1）（Y（1））的分布向左（右）倾斜，而B（1）的分布是对称的，因此τXc（l）（τYc（l））的模位于τB（l）模的稍右（左）位置。将引理1应用于过程X~ NTS（α，θ，β，γ，u），我们发现η（u）满足（2），即0=iu+（u- β） η（u）-2θ1-ααθ - βη（u）-γη（u）α- θα!, （6） 它没有显式解，但我们可以用数值方法找到解。此外，NTS过程也是一个纯跳跃L'evy过程，我们使用NTS过程的连续近似过程来查找第一个通过时间的ch.F。对于数值说明，我们在图2中给出了标准NTS分布的函数η（u）、ch.F和pdf，以及标准NTS过程的首次通过时间的pdf。我们考虑两个标准的NTS过程X~ stdNTS（α，θ，-β） 安迪~ 参数α=1.25，θ=1，β=0.3，水平l=3的标准DNT（α，θ，β）。左上板和右上板分别是X和Y的η（u），位于isfy（6）。中间的左板和右板是e-lη（u）对于stdNTS（1.25，1，-0.3）和STDNTS（1.25、1、0.3）。X（1）和Y（1）的Pdf分别是左下角板上的虚线和实线。设Xc和Yc是关于X和y的连续y近似过程。Xc和Yc第一次通过时间的Pdf’在数字上分别近似为右下板上的虚线和实线。左下角和右下角的点划线曲线分别为标准正态分布的pdf和标准布朗运动第一次通过时间的pdf。

对于与标准NIG情况相同的参数，虚线和实线的wehave模式分别位于点划线曲线的左侧和右侧，位于右下角的板中。最后，将通过特征函数获得的pdf与模拟样本路径的第一通行时间分布进行比较。我们分别表示τXc（1）和τYc（1）的pdf为τXc和fτYc。我们生成了20000条stdNTS样本路径（1.25，1，-0.3），使用Rachev等人【2011】中解释的逆变换方法。也就是{Xj（nt） | n=1，2，···，1，440}带时间步长t=1，2，···，20000时的1/48年分数。然后我们得到了30年的样本路径。设置l=3，如上例所示，我们找到一组最短时间asT={njt | nj=min{n，因此Xj（nt） >l | n=1，···，1440}，j=1，···，20000}。我们在图3的左图中给出了T和fτXcon的相对直方图。我们对stdNTS（1.25，1，0.3）进行了相同的测试，并在图3.2.2 CGMY ProcessLetα案例的右板上显示了基于模拟的stdNTS（1.25，1，0.3）和fτYcon的第一次通过时间的相对直方图∈ （0，2），C，λ+，λ-> 0和u∈ R.纯跳跃L′evy过程X，其ch.Fis等于φX（t）（u）=exp(u - CΓ（1- α)(λα-1+- λα-1.-))宫内节育器- tCΓ(-α) ((λ+- iu）α- λα++ (λ-+ iu）α- λα-)T S过程及其应用的首次通过时间7被称为CGMY回火稳定过程（见Carr等人[2002]）或带参数的CGMY过程（α、C、λ+、λ-, u），并用X表示~ CGMY（α，C，λ+，λ-, u). 对于闭合区间，GMY过程具有有限的指数矩，即E[eaX（t）]<∞ 如果a∈ [-λ-, λ+]. 如果X~ CGMY（α，C，λ+，λ-, u）其中u=0和C=Γ (2 - α)(λα-2++ λα-2.-)-1当所有t>0时，E[X（t）]=0且var（X（t））=t。

在这种情况下，过程X被称为带参数（α，λ+，λ）的标准CGMY过程-) 并用X表示~ stdCGMY（α，λ+，λ-).对于给定的u，我们发现η（u）满足（2），即0=iu+（u- CΓ（1- α)(λα-1+- λα-1.-))η（u）（7）- CΓ(-α) ((λ+- η（u））α- λα++ (λ-+ η（u））α- λα-)没有明确的解决方案。正如（6）中的NTS过程案例，我们也能够从数值上找到（7）的解，而ch.F是引理1中的方程。对于数值说明，我们考虑两个标准的C G MY过程X~ stdCGMY（0.75、3、1）和Y~stdCGMY（0.75，1，3），l级=3。我们还取了xc和yc，它们分别是X和Y的连续近似过程。我们在图4中给出了标准CGMY分布的函数η（u）、ch.F和pdf，以及标准CGMY过程的首次通过时间的pdf。左上和右上板分别是stdCGMY（0.75，3，1）和stdCGMY（0.75，1，3）的η（u）。左中板和右中板分别是stdCGMY（0.75，3，1）和s t dCGMY（0.75，1，3）的chF。stdCGMY（0.75，3，1）和stdCGMY（0.75，1，3）的Pdf分别是左下板上的虚线和实线。xc和yc的第一次通过时间的Pdf分别是右下板上的虚线和实线。左下角和右下角的点划线曲线分别为标准正态分布的pdf和标准布朗运动的首次通过时间的pdf。对于与标准NIG情况相同的参数，我们有虚线和实线的模式分别位于虚线点曲线的左侧和右侧，分别位于右下角的板中。我们可以对stdCGMY（0.75，1，3）和stdCGMY（0.75，3，1）进行与前一节中标准NTS情况相同的模拟实验。