回火稳定过程的首次通过时间及其应用

我们省略了显示结果，因为CGMY模拟案例的结果与NTS模拟案例的结果非常相似。3奇异期权定价和数值说明的应用集合X=（X（t））t≥0和Xc=（Xc（t））t≥0分别是一个L'evy过程及其连续近似过程，并假设存在一个包含0的闭合区间I，使得E[eaX（t）]<∞ 对于任何a∈ 一、 我们假设在引理1的条件下存在ηsat I，τ（l）是（1）给出的第一次击中时间。设r和d分别为给定非衍生资产的无风险回报率和连续股息率。标的资产价格过程≥假设0为asS（t）=S（0）eX（t）。本文中的所有市场模型都是基于ris k-中性世界的，该世界没有任何风险。因此，我们假设折扣价格过程（~S（t））t≥0带￠S（t）=e-（r）-d） tS（t）是鞅。在这种情况下，我们将风险中性价格模型称为L'evy市场模型。TS过程类是L'evy过程的一个子类，包括NTS和CGMYprocess。带有TS过程的L'evy过程期权定价模型（即L'evymodel）8 Young Shin Kim经常用于期权定价理论。该模型可以通过描述风险中性度量的fattails和偏度来捕捉期权市场的波动微笑效应（SeeBoyarchenko和Levendorskii[2002a]，Cont和Tankov[2004]，Schoutens[2003]，andRachev et al。

[2011]).NTS市场模型在列维市场模型中，假设（X（t））t≥0是具有参数（α、β、θ、γ、u）的NTS过程，其中u=r- d+β+2θ1-ααθ - β -γα- θα!,然后贴现过程（~S（t））t≥0is鞅，sinceE[~S（t）]=e-（r）-d） tS（0）E[exp（X（t））]=S（0）。在本案例中，我们说基础资产价格过程遵循NTS市场模型。特别是，如果α=1，我们说它遵循NIG市场模型。CGMY市场模型在L'evy市场模型中，假设（X（t））t≥0是带有参数（α、C、λ+、λ）的CGMY过程-, u），其中u=r-d+CΓ（1-α)(λα-1+-λα-1.-)+CΓ(-α) ((λ+- 1)α- λα++ (λ-+ 1)α- λα-) ,然后贴现过程（~S（t））t≥0是NTS marketmodel案例中相同参数的鞅。在这种情况下，我们说基础资产价格过程遵循CGMYmarket模型。模型校准我们使用标准普尔500指数看涨期权和看跌期权校准三个TS（NIG、NTS和CGMY）市场模型的参数。我们从沃顿研究院a Services提供的OptionMetricst M获得标准普尔500指数看涨期权和卖出价格。参数通过最小二乘曲线进行校准，NTS、NIG和CGMY模型的看涨期权和看跌期权价格由Lewis【2001】和Carr及Madan【1999】采用快速傅立叶变换方法计算。对于基准，我们校准了BS模型（Black and Scholes[1973]）参数σ，即波动率。在本次校准中，我们使用2014年10月8日的期权价格，标普500指数的基础价格为S（0）=1968.89，风险中性利率为r=0.12%，标普500指数的股息率为d=1.94%。我们选择货币（=（履约价格）/（当前基础价格））介于0.9和1.1之间，到期时间为7天、32天或52天的看涨期权和看跌期权。我们校准了买入价格的参数，并将价格单独列出。校准参数如表1所示。

在表中，我们提供了三个误差估计值：平均绝对误差（AAE）、平均绝对误差占平均价格的百分比（APE）和均方根误差（RMSE），定义如下：AAE=NXj=1 | Pj-bPj | N，APE=PNj=1 | Pj-bPi | NPNj=1PjN，RMSE=VuTutnxj=1（Pj-bPj）N，更多详情见Schoutens【2003】。T-S过程的首次通过时间及其应用9b和pn是期权的模型价格和观察市场价格，n∈ {1，…，N}，N是观察到的看涨期权价格的数量。正如包括Carr等人【2002年】、Schoutens等人【2003年】和Rachev等人【2011年】在内的许多文献所报道的那样，NIG、NTS和CGMYmarket模型比BS模型具有更好的校准性能，也就是说，这三个L’evy市场模型的三个误差估计量明显小于BS模型的三个误差估计量。τ（l）特征函数的近似如第2节所述，τ（l）的特征函数在数值上近似为φτ（l）（u）≈ e-NTS和C GMY市场模型的lη（u）。根据这一近似值，我们将在以下小节中讨论永久美式看涨期权和看跌期权的定价以及障碍期权的定价。在下面的市场中，我们假设股票价格过程S的priving过程X是NTS（包括NIG）和CGMY过程的连续近似过程。3.1永续美国看涨期权和看跌期权的应用我们考虑行使价格为K的永续美国看涨期权和看跌期权。永续看涨期权的价格等于永续=Kη+（ir）- 1.S（0）（η+（ir）- 1） Kη+（ir）η+（ir）如果S（0）≤ L+S（0）- K如果S（0）>L+，其中L+=η+（ir）Kη+（ir）- 1和η-（ir）是l>0且u=ir时满足（2）和（3）的值。

永久认沽价格等于每股=K1级- η-（ir）S（0）（η）-（ir）- 1） Kη-（ir）η-（ir）如果S（0）≥ L-K- 如果S（0）<L，则S（0）-,其中-=η-（ir）Kη-（ir）- 1和η-（ir）是指当l<0且u=ir时，在（2）和（3）处的值s。附录中提供了有关个人美国看涨期权和看跌期权价格的更多详细信息。使用上述永续买入/卖出公式，我们使用表1所示的校准参数，计算2014年10月8日NIG、NTS和CGMY市场模型的永续美国买入和卖出期权的价格。我们还使用2014年10月8日数据中的基础价格、风险中性回报率和股息率。由于NIG、NTS和CGMY市场模型的永久买入价和卖出价非常相似，我们在图5中仅展示了C G MY市场模型下的价格（实心曲线）。对于基准，我们使用BS模型计算永久美式期权价格（虚线点曲线）。在这种情况下，图中左侧的板块是永久买入价格，右侧的板块是货币的永久卖出价格，从0.8到1.2。我们发现，BS价格或多或少低于CGMY价格。10 Young Shin Kim3.2障碍选项的应用价值障碍选项是最受欢迎的外来选项之一。障碍选项按敲入障碍选项和敲出障碍选项进行分类。当标的资产价格达到某一特定的障碍水平时，即会激活敲入障碍期权。在基础价格达到障碍水平之前，淘汰障碍期权一直有效，但一旦基础价格达到障碍水平，期权价格将变为零。碰撞障碍选项分为向上和向内障碍选项以及向下和向内障碍选项。如果障碍水平高于（低于）当前基础价格，则敲入障碍期权被称为向上和向内（向下和向内）障碍期权。

击倒障碍选项也被上下障碍选项和下下下障碍选项所除。如果障碍水平高于（低于）当前基础价格，则淘汰障碍期权被称为向上和向外（向下和向外）障碍期权。在本节中，我们将讨论欧式障碍看涨期权和看跌期权的定价。设Bbe为障碍水平，K为看涨期权和看跌期权的执行价格，t为到期时间。假设当前的基础设定价格为S（0），让l=log（B/S（0））。如果l<0，则有向下、向内、向下和向外选项；如果l>0，则有向上、向内、向上和向外选项。设r和d分别为给定标的资产的无风险回报率和连续股息率。下行和买入（cdi）、上行和卖出（pui）按cdi=e定价-rTK1+ρ（2π）BρZ∞-∞黑色国际单位H（u）（ρ- iu）（1+ρ- 国际单位）du，ρ<-1和PUI=e-rTK1+ρ（2π）BρZ∞-∞黑色国际单位H（u）（ρ- iu）（1+ρ- 国际单位）du，ρ>0，以及向上和向上呼叫（cui）和向下和输入（pdi）由cui定价=e-rTK1+ρ（2π）BρR∞-∞黑色国际单位H（u）（ρ-iu）（1+ρ-国际单位）du如果K≤ 是-rTK1+ρ2πS（0）ρR∞-∞S（0）K国际单位φX（T-t） （u+iρ）（ρ-iu）（1+ρ-国际单位）如果K>B，ρ<-1和PDI=e-rTK1+ρ（2π）BρR∞-∞黑色国际单位H（u）（ρ-iu）（1+ρ-国际单位）du如果K≥ 是-rTK1+ρ2πS（0）ρR∞-∞S（0）K国际单位φX（T-t） （u+iρ）（ρ-iu）（1+ρ-国际单位）如果K<B，ρ>0，则为du，其中h（u）=Z∞-∞eTψX（u+iρ）- e-ivTψX（u+iρ）+ivφτ（l）（v）dv。由于敲出买入（卖出）期权价格可以通过普通买入（卖出）价格减去敲入买入（卖出）价格来计算，因此本节不考虑敲出买入和卖出期权。关于障碍期权定价的更多细节和证明，请参见附录。值得注意的是，我们用数字计算了这四种敲入期权价格。

我们使用表1中的估计参数计算2014年10月8日的买入和卖出价格，其中标普500指数的基础是S（0）=1968.89，风险中性利率为r=0.12%，详情见Hull【2015】。T-S过程的首次通过时间及其应用11标准普尔500指数的股息率为d=1.94%。我们假设到期时间为T=1年，我们选择的履约价格介于1600和2300之间，即K∈{1600, 1625, ··· , 2300}. 由于NIG和NTS市场模型下的障碍期权价格与CGMY市场模型下的价格没有显著差异，我们只显示了CGMY市场模型下的障碍期权价格。对于基准，我们将CGMY价格与基于BS模型的障碍期权价格进行比较。在图6中，看跌期权和看跌期权的价格分别显示在左侧和右侧的板中，因为B级障碍为1750。CG MY模型上的障碍期权通常大于BS模型上的价格，因为CGMY分布是左偏的，且CGMY分布的尾部比高斯分布更厚。由于CGMY分布的左偏态，敲入期权存活的概率比BS模型的概率大。在图7中，上行和买入看跌期权价格分别显示在左侧和右侧板中，因为B级障碍为2200。在这种情况下，BS障碍期权价格不同于CGMY障碍期权价格。此外，我们使用快速Fouriertransform算法实现了四障碍期权定价公式。为了完成这一数值计算，我们使用MatlabT M2015a ona PC，该PC配备Intel CORE i7T微处理器（3.00GHz双核）和MS WindowsT M10操作系统。获得看跌期权和看跌期权价格需要59.9秒，获得看跌期权和看跌期权价格需要67.6秒。

获得下跌和买入期权价格需要69.3秒，获得下跌和卖出期权价格需要61.4秒。4结论在本文中，我们使用鞅方法和连续近似过程找到了一个L'evy过程的第一个通过时间的特征函数的近似值。更准确地说，我们发现了三个TS过程（NIG、NTS和CGMY过程）的首个消息时间的ch.F和pdf的近似值，无论是显式的还是数字的。它被应用于永久美式期权和障碍期权的定价。同时提供了使用市场看涨期权和看跌期权价格校准参数的数字说明。我们获得了一种在TS市场模型下找到这些奇异期权的可行方法。该结果也可用于信用风险管理中的违约概率分析。感谢卡尔加里大学kayne商学院的Kyuong Jin Choi教授，他为完成本研究提供了动力。此外，所有剩余的错误都是我自己的。参考D。Applebaum。列维过程与随机微积分。剑桥大学出版社，纽约，2004.12 Young Shin KimO。巴恩多夫·尼尔森。粒子大小对数的指数递减分布。伦敦皇家学会会刊A：数学、物理和工程科学，353（1674）：401–4191977。ISSN 0080-4630。内政部：10.1098/rspa。1977.0041. 统一资源定位地址http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/353/1674/401.O.E.Barndorff Nielsen和S.Levendorskii。正态逆高斯型Feller过程。《定量金融》，1:318–3312001。O、 E.B arndorff Nielsen和N。谢泼德。正常修改的稳定过程。牛津大学经济系经济学系列工作论文，72，2001年。F、 布莱克和M.斯科尔斯。期权和公司负债的定价。

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2： l=3级标准NTS过程首次通过时间的函数η（u）、ch.F和pdf。左上角是stdNTS（1.25，1，0.3）的函数η（u），右上角是stdNTS（1.25，1，-0.3). 左中是TDNTS（1.25，1，0.3）的特征函数，右中是stdNTS（1.25，1，-0.3). standardNTS发行版的Pdf位于左下角。标准NTS流程的第一次通过时间的PDF位于右下角。T S工艺及其应用的首次通过时间150 5 10 15 20 25 3000.0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.0450.050 5 10 15 20 25 3000.0050.010.0150.020.0250.030.0350.0450.05图。3： stdNTS首次通过时间的相对直方图（1.25，1，-0.3）模拟采样路径（左）和stdNTS（1.25，1，0.3）模拟采样路径（右）。16 Young Shin Kim0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-2.-1.5-1.-0.500.511.520 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-0.3-0.2-0.100.10.20.3-5 0 500.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5 stdCGMY（0.75,3,1）stdCGMY（0.75,1,3）std BM0 5 10 15 20 25 3000.010.020.030.040.050.06 stdCGMY（0.75,3,1）stdCGMY（0.75,1,3）std BMFig。4： 函数η（u）和ch.F用于标准CGMY过程的首次通过时间。左上角是stdCGMY（0.75，3，1）的函数η（u），右上角是stdCGMY（0.75，1，3）。左中是TDCGMY的特征函数（0.75，3，1），右中是stdCGMY的特征函数（0.75，1，3）。P标准CGMY分布的df位于左下角。