粗糙Heston模型中的矩爆炸

下面的引理为这两种情况提供了关键论点。引理3.5。设G:[0，∞) → [0, ∞) 是在[0，a）和G上正的Lipschitz连续函数≡ [a]上的0，∞) 对于a>0。那么Volterra积分方程的唯一连续解f（t）=Ztk（t- s） G（f（s））数据统计0≤ f（t）≤ a代表所有t≥ 0.证明。G的非负性意味着f≥ 假设t>0的存在使得f（t）>a。通过f的连续性，存在满足f（t）=a和f（s）>a的0<t<t∈ （t，t）。来自G≡ [a]上的0，∞), 我们有ZTTK（t- s） G（f（s））ds=0。因为G是非负的，k是递减的，所以0<f（t）- f（t）=Zttk（t- s） G（f（s））ds+Ztk（t- s）- k（t- s）G（f（s））ds=Ztk（t- s）- k（t- s）G（f（s））ds≤ 0，这是一个矛盾。因此，f满足0≤ f（t）≤ a代表所有t≥ 0提案3.6。在（C）的情况下，（2.9）的解f是非负且有界的，并且全局存在。8 STEFAN GERHOLD、CHRISTOPH GERSTENECKER、ARPAD PINTERProof。修复u∈ R使得c（u）>0，e（u）<0和e（u）≥ 0。请注意，它们的内部质量为0≤ e=e- cc<eimplies a：=-e-√e> 0。此外，从（2.10）可以看出，a是G的最小正根。定义非线性“气体”G（w）：=（G（w），0≤ w≤ a、 0，w>a。那么，G是从e开始的非负Lipschitz连续函数-e> 0。因此，引理3.5得出的唯一连续解f（t）=Ztk（t- s） \'G（\'f（s））D以0为界≤\'f（t）≤ a代表所有t≥ 0。由于[0，a]上的“G=G”，函数“f”求解原始Volterra积分方程“f（t）=Ztk（t- s） G（\'f（s））d，从解的唯一性，我们得到f=\'f。提案3.7。在（D）的情况下，（2.9）的解f是非正且有界的，并且全局存在。证据修复u∈ R使得c（u）≤ 0，相当于u∈ [0, 1]. 注意e=e-cc>e>0表示：=√e-e> 0。此外，从（2.10）可以看出，a是G的最小正根。

定义f-:= -f、 满足（3.4）f-（t） =-Ztk（t- s） G级(-f-（s） ）ds。如果我们将非线性G定义为G（w）：=(-G级(-w） ，0≤ w≤ a、 0，w>a，则'G是从e开始的非负Lipschitz连续函数- e> 0。利用引理3.5，我们得到了f（t）的唯一连续解f=Ztk（t- s） \'G（\'f（s））D以0为界≤\'f（t）≤ a代表所有t≥ 0。此外，f解（3.4），因为G（w）=-G级(-w） 对于所有w∈ [0，a]。解的唯一性产生'f=f-= -f、 因此，解f的界为-一≤ f（t）≤ 0我们已经证明，（A）和（B）正是Volterra积分方程（2.9）的解，以及初始值为（2.5）的分数阶Riccati微分方程（2.4）的解ψ在有限时间内爆炸的情况。下面的引理表明ψ的爆破等价于（2.1）右侧的爆破。引理3.8。如果f是一个非负的连续函数，在有限时间内爆炸，爆炸时间为T，那么Iαtf也在有限时间内爆炸，爆炸时间为T。如果f是有界连续函数，则Iαtf在有限时间内不会爆破。粗糙的赫斯顿9Proof模型瞬间爆炸。首先，假设非负连续函数f在^T处爆炸，且M>0。然后我们可以找到ε∈ （0，^T/2）使得f（T）≥ M代表全部∈ （^T- ε、 ^T）。因此，Iαtf（t）≥ZtT公司*-εk（t- s） f（s）ds≥ M（^T- ε)αΓ(1 + α)≥ M（^T/2）α（1+α）表示所有T∈ （^T- ε、 ^T）。对于第二个断言，假设f是连续的，并且以M>0为界。那么我们有| Iαtf（t）|≤所有t的MΓ（1+α）tα≥ 0爆炸时间的界限我们现在为^Tα（u）建立下限和上限，只要它是有限的（案例（A）和（B））。我们用^Tα（u）表示（2.9）的溶液f（u，·）的爆炸时间。

正如我们稍后将看到的，它与T一致*α（u），因此该部分的两个边界都适用于粗糙赫斯顿模型的爆炸时间。我们首先证明它们，因为我们将在T的证明中应用下界*α（u）=^Tα（u）。定理4.1。在（A）和（B）情况下，（2.9）的溶液f（u，·）的爆破时间^Tα（u）满足（4.1）^Tα（u）≥ Γ（1+α）1/αmaxr>1（rα- 1） 1/αr（r- 1） Z∞a（u）wG（u，w）1/αdww，其中（a）情况下a（u）=0，且a（u）=-在情况（B）中，e（u）>0。证据修复满足情况（A）或（B）要求的u。从命题3.2和3.4可以看出，在任何一种情况下，解f都是非负的，从0和limt开始↑^Tαf（T）=∞. 对于任意n∈ Nchoosetn：=最小值{t>0:f（t）=（crn）α+a}，r>1，c>0。使用不等式k（tn-s） <k（tn-1.-s） 对于s∈ （0，tn-1） ，G的非负性，G在[a]上严格递增，∞), 我们有forn∈ Nf（tn）=Ztn-1k（tn- s） G（f（s））ds+ZTNTNT-1k（tn- s） G（f（s））ds≤ f（tn-1） +G（f（tn））ZTNTNTN-1k（tn- s） ds=f（tn-1） +Γ（1+α）G（f（tn））（tn- 田纳西州-1)α.10 STEFAN GERHOLD、CHRISTOPH GERSTENECKER、ARPAD PINTERThus，我们获得的n∈ Ntn公司- 田纳西州-1.≥ Γ(1 + α)1/αf（tn）- f（tn-1） G（f（tn））1/α=Γ（1+α）1/α（rα- 1） 1/αcrn-1G（（crn）α+α）1/α=Γ（1+α）1/α（rα- 1） 1/αr（r- 1） ·crn+1- crnG（（crn）α+a）1/α≥ Γ（1+α）1/α（rα- 1） 1/αr（r- 1） Zcrn+1crnG（sα+a）1/αds。最后，^Tα=T+∞Xn=1（tn- 田纳西州-1)≥ Γ（1+α）1/α（rα- 1） 1/αr（r- 1） Z∞cr公司G（sα+a）1/αds。最大化c>0，然后r>1，并且替代w=sα+a产生Inequality（4.1）。对于α↑ 1，（4.1）简单到（4.2）Z的右侧∞a（u）G（u，x）dx=Z∞a（u）/cR（u，x）dx。在情况（A）中，下限（4.1）在极限α中是尖锐的↑ 1： 我们有一个（u）=0，因此（4.2）正是经典赫斯顿模型的瞬间爆炸时间（2.12）。^Tα的另一个下界可从[10]的推论3.1中获得。数值例子表明，它与定理4.1的界不可比。定理4.2。

在（A）和（B）情况下，（2.9）的溶液f（u，·）的爆破时间^Tα（u）满足（4.3）^Tα（u）≤ 4Γ（1+α）1/αZ∞w^G（u，w）1/αdww，式中（A）中的^G=G，以及^G≡ -eon[0，-e） 和^G=G开[-e∞) 案例（B）。证据修复满足情况（A）或（B）要求的u。根据命题3.2和3.4，在任何一种情况下，解f都是正的（0，∞), 从0和极限开始↑^Tαf（T）=∞. 对于任意n∈ n选择（4.4）tn：=最大{t<tα：f（t）=（crn）α}，r>1，c>0。（A）中的定义“G：=G”，而（B）中的定义“G：=”Ga来自（3.2）。自'G≤ G和'G是正的，并且严格递增，对于n∈ Nf（tn）≥Ztnk（tn- s） \'G（f（s））ds≥Ztntn公司-1k（tn- s） \'G（f（s））ds≥Γ（1+α）(R)G（f（tn-1） ）（tn- 田纳西州-1)α.粗糙HESTON模型中的矩爆炸11因此，我们得到了n∈ Ntn公司- 田纳西州-1.≤ Γ(1 + α)1/αf（tn）(R)G（f（tn-1))1/α=Γ（1+α）1/αcrn'G（（crn-1） α）1/α=Γ（1+α）1/αrr- 1·crn-1.- crn公司-2？G（（crn-1)α)1/α≤ Γ（1+α）1/αrr- 1Zcrn公司-1科恩-2.\'G（sα）1/αds。因此，^Tα=T+∞Xn=1（tn- 田纳西州-1)≤ t+Γ（1+α）1/αrr- 1Z∞cr公司-1.\'G（sα）1/αds。请注意，从t的定义来看，它取决于c>0和r>1。事实上，在t=0时，fis仅为零，这意味着t→ 0作为c↓ 0.接受极限c↓ 0，然后在r>1上最小化，替换w=sα产生^Tα≤ 4Γ（1+α）1/αZ∞w'G（w）1/A dwwIn案例（A），我们完成了。在（B）的情况下，我们得到了'G='Ga。然后，a的支配收敛定理↑ -埃耶尔德不等式（4.3）。这些界限的数值示例见图1-3。5、爆炸时间在粗略的赫斯顿模型中，我们在第3节中确定了（2.1）的右侧，使用VIE（2.9）的解决方案f定义，当且仅当满足情况（A）或（B）的条件时爆炸。如前所述，我们将f（u，·）的爆炸时间写成^Tα（u）。回想一下T*α（u）表示粗糙赫斯顿模型的爆炸时间，如第（2.11）节所述。

本节的目的是说明^Tα（u）=T*α（u），且（2.1）适用于所有u∈ R和0<t<t*α（u）。在介绍的最后，已经提到了[10]中的以下结果。引理5.1（推论3.1 in【10】）。对于每一个t>0，都有一个开放区间（2.1）适用于该区间中的所有u。引理5.2。Volterra积分方程（2.9）的解f是不同的。r、 t.u及其衍生产品满意度f（u，t）=Zt（t- s） α-1Γ(α)G（u，f（u，s））+G（u，f（u，s））f（u，s）ds。（5.1）证明。我们检查了Gripenberg等人[19]中定理13.1.2的要求。多项式G（u，w）是可微分的。内核（t- s） α-1/Γ（α）=：k（t- s） 是[19]意义上的连续类型；见定理12.1.1的备注，其中说明了k的局部可积性是该性质的一个有效条件。引理5.3。（i） 如果（A）我们有f（u，t）<0表示u<0，且f（u，t）>0表示u>0。（ii）如果u满足情况（B），那么如果^Tα（u）也同样适用-t非常小。12 STEFAN GERHOLD、CHRISTOPH GERSTENECKER、ARPAD PINTERProof。我们只讨论u<0的情况，因为u>0是类似的。（i） 注意，（5.1）是一个“线性可变利益实体”，可以写成（5.2）f（u，t）=g（t）+Zt（t- s） α-1K（u）（t，s）f（u，s）ds，其中我们定义（t）：=Zt（t- s） α-1Γ(α)G（u，f（u，s））ds，（5.3）K（u）（t，s）=K（u）（s）：=G（u，f（u，s））Γ（α）（5.4），使符号接近[5]中第6.1.2节的符号。显然，（5.2）不是真正的线性VIE，因为未知函数f出现在g和K（u）中。但我们的目标不是解决它，而是控制f、 这个观点很好。与案例（A）一样，我们从c（u）>0和e（u）得到≥ 0该u≤ λ/(ρξ) < 0.此外，我们有e（u）=ξρ/2<0，c（u）=u- 1/2<0，因此前（u，s）e（u）+cc（u）<0，因为c=ξ/2>0和f（u，s）≥ 提案3.2中的0。

由此我们获得G（u，f（u，s））<0，因此所有t的G（t）<0∈ [0，T*α（u））。根据runner[5]的定理6.1.2，我们可以用预解核Rα（·，·），（5.5）表示（5.1）的解f（u，t）=g（t）+ZtRα（t，s）g（s）ds。预解核具有显式表示（见[5]）（5.6）Rα（t，s）=（t- s） α-1.∞Xn=1Qα，n（t，s），其中Qα，1（t，s）：=K（u）（t，s）=K（u）（s），Qα，n（t，s）：=（t- s） （n）-1） αΦα，n（t，s），n≥ 2，Φα，n（t，s）：=K（u）（s）Z（1- z） α-1z（n-1)α-1Qα，n-1（t，s+（t- s） z）dz，n≥ 2.（5.7）从预解核的这种表示，以及（5.4）在（A）情况下非负的事实，很明显Rα≥ 由于g<0，因此我们从（5.5）得出以下结论：f（u，t）<0表示所有t∈ [0，^Tα（u））（ii）回想一下，我们假设u<0，因为u>0是类似的。我们必须说明（5.8）τ（u）：=inf{0<T<^Tα（u）：f（u，·）<0 on（t，^tα（u））}满足τ（u）<^tα（u）。我们使用以下事实：G（u，w）<0表示w大，G（u，w）>0表示w大，f（u，t）爆炸为t↑^Tα（u）。因此，g来自（5.3）满意度（5.9）极限↑^Tα（u）g（T）=-∞,和K（u）满足极限↑^Tα（u）K（u）（T）=+∞. 因此，我们可以选择ε>0，使得对于^tα（u），g（t）<0，K（u）（t）>0- ε ≤ t<^tα（u）。粗糙HESTON模型13Z中的力矩爆炸∈ [0，1]和满足^tα（u）的任何s，t<^tα（u）- ε ≤ s≤ t、 我们有S+（t- s） z≥ s≥^Tα（u）- ε.使用（5.7）中的观察结果，我们从一个简单的归纳证明中看到，qα，n（t，s）>0，n≥ 1，^Tα（u）- ε ≤ s≤ t<^tα（u）。这同样适用于预解核（5.6），（5.10）Rα（t，s）>0，^tα（u）- ε ≤ s≤ t<^tα（u）。通过（5.5），我们得到（5.11）f（u，t）=g（t）+Zt-εRα（t，s）g（s）ds+Ztt-εRα（t，s）g（s）ds。现在请注意（5.12）Zt公司-εRα（t，s）g（s）ds -Ztt公司-εRα（t，s）g（s）ds as t↑^Tα（u），其中右侧为正。实际上，（5.12）源自（5.9）和（5.10），因为（5.12）左侧的g（s）是O（1）。

因此，让t↑^Tα（u），我们发现负项g（T）+Rtt-ε在（5.11）的右侧占优势。这就完成了证明。引理5.4。让u∈ R和0<t<^tα（u）。那么f（·，t）在u证明下是解析的。根据【6】中的第3.1.1节，可以通过连续迭代和延拓来构造解。我们只是表明，第一个迭代步骤导致了一个解析函数，因为到达任意t<^tα（u）所需的更多步骤可以类似地处理。定义迭代f=0和fn+1（v，s）：=Γ（α）Zs（s- τ)α-1G（v，fn（v，τ））dτ，n≥ 在一个非常小的时间间隔内，fn（v，·）一致收敛到f（v，·），然后可以通过求解更新的积分方程等方法继续求解（见[6]），直到我们达到^Tα（v）。现在，用引理的陈述来表示u和t。对于一个非常小的开放复杂邻域U 3 U，很容易看出T<^Tα（v）对v成立∈ U、 定义γ：=1∨ supv公司∈U | v |和η：=1∨tαΓ（α+1）。然后是c≥ 1这样，对于任意v∈ U和w∈ C、 | G（v，w）|≤ c（| w）|∨ 1)∨ γ（| w |∨ 1) ∨ γ≤ cγ（| w|∨ 1） =：θ（| w |∨ 1).通过fn的定义，一个简单的归纳证明表明（5.13）supv∈我们∈[0，t]| fn（v，s）|≤ （θη）n-1，n≥ 根据参数积分的标准结果（文献[11]中的定理IV.5.8），界限（5.13）意味着每个函数fn（·，t）都是以U为单位解析的。从文献[6]第3.1.1节的界限来看，很容易看出收敛性fn（v，t）→ f（v，t）是局部均匀的。r、 t.v表示固定t。众所周知（见[18]中的定理3.5.1），这意味着极限函数f（·，t）是解析函数。引理5.5。功能u 7→^Tα（u）随u增加≤ 0，u减小≥ 1.14 STEFAN GERHOLD、CHRISTOPH GERSTENECKER、ARPAD PINTERProof。回想一下，^Tα（u）=∞ 在情况（C）和（D）中，包括u∈ [0, 1]. 对于案例（A），这个断言来自引理5.3的第（i）部分。

让u满足情况（B），这里我们再次假设w.l.o.g.，u<0。假设^Tα（·）不增加。然后我们可以选取u<0，使得u的任何左邻域都包含一个点u，其^Tα（u）>^Tα（u）。从连续性f（见引理5.4），引理5.3的第（ii）部分，以及（5.8）中τ的连续性，有u<usatising^Tα（u）>^Tα（u）和T<^Tα（u），使得矩形{（u，t）：u中的f（u，t）<0≤ u≤ u、 t型≤ t<^tα（u）}。那么，limt↑^Tα（u）f（u，T）=∞ 意味着（5.14）极限↑^Tα（u）f（u，T）=∞,因为不平等f（u，t）<0表明f（u，·）的爆炸速度必须至少与f（u，·）一样快。但（5.14）与^Tα（u）>^Tα（u）是矛盾的。引理5.6。让u∈ R和0<t<^tα（u）。那么（2.1）成立，其中（如上）f=cψ，f（u，·）是（2.9）的解。证据我们假设u<0，作为u≥ 0的处理方式类似。引理5.5，u 7→^Tα（u）增加。在这个证明中，我们为（2.1）的右侧写M（u，t），为mgf写M（u，t）=E[euXt]。现在fix u<0和0<t<^tα（u），使得（u，t）与递增函数^tα（·）的图有正距离。显然，它需要考虑具有此属性的对（u，t）。根据引理5.1，有v-< v+使（5.15）M（v，t）=▄M（v，t），v-< v<v+。我们现在证明（5.15）扩展到u≤ v≤ v+通过解析延拓。根据特征函数的一般结果（文献[34]中的定理II.5a和II.5b），v 7→~M（v，t）在垂直条带w中是解析的-< 复平面的Re（v）<w+，且在v=w处具有奇点-. 如果我们假设w-> u、 引理5.4导致了一个矛盾：（5.15）的左侧将在v=w时进行分析-,右边单数。这表明，通过解析延拓，可以将（5.15）扩展到最左边的u。下面的定理完成了定理2.4的证明。定理5.7。让u∈ R、 则^Tα（u）=T*α（u）和（2.1）保持0<t<t*α（u）。证据

根据引理5.6，只剩下证明^Tα（u）≥ T*α（u）。（显然，引理5.6意味着^Tα（u）≤ T*α（u）。）但从地图t 7的连续性可以清楚地看出这一点→~M（u，t）=间隔（0，t）上的E【euXt】*α（u））。此连续性源自t 7的连续性→ Xt，Doob的次鞅不等式，并支配收敛。为了以后使用（第9节），我们给出了以下替代论点：另一个证明是^Tα（u）≥ T*α（u）。让我们假设有uwith^Tα（u）<T*α（u）。从定理4.1很容易看出，连续函数u 7→^Tα（u）倾向于+∞ 当u<0接近^Tα（u）=∞. 因此，有u>uw，其中^Tα（u）<^Tα（u）<T*α（u）。我们在引理5.4中看到，u 7→ f（u，t）对任何固定t都是解析的。但它对固定u也是解析的w.r.t。根据Lubich[27]中的定理1，它本身基于Miller和Feldstein[28]早期的工作，因此f（u，·）对整个区间（0，^tα（u））是解析的。根据哈托格斯定理（文献[22]中的定理1.2.5），粗糙赫斯顿模型15中的weMOMENT爆炸得出结论，二元函数f（·，·）是连续的。因此，^Tα（u）处的爆破（u，·）意味着（5.16）limu↓uM（u，^Tα（u））=∞.（同样，我们在（2.1）的右侧写M，在mgf的右侧写M。）ByLemma 5.6，~M（·，^Tα（u））也在那里爆炸，因此在u处有一个奇点。由于u<u，我们从推论II得出结论。[34]中的1b，即M（u，^Tα（u））=∞.当S=存在鞅时，这意味着M（u，t）=∞ 对于所有t≥^Tα（u）。特别是，它与^Tα（u）<T相矛盾*α（u）。分数Riccati方程对复杂UAL的有效性尽管本文的重点是实际u，但当用于期权定价时，需要在复杂参数下评估mgf。下面的结果完全符合分数Riccati方程（2.4），分别是VIE（2.9），因此。

如上所述，我们写T*α（u）表示S的瞬间爆炸时间，^Tα（u）表示VIE的爆炸时间（2.9）。定理6.1。让u∈ C、 然后T*α（u）=T*α（Re（u）），和（2.1）保持0<t<t*α（u）。引理6.2。让u∈ C、 然后^Tα（u）≥ T*α（u）。证据假设^Tα（u）<T*α（u）。VIE（2.9）转化为（Re（f），Im（f））的二维真实VIE。As^Tα（u）<∞, 我们从[19]中的定理12.1.1得到，（Re（f），Im（f））分解为t↑^Tα（u）。这与7的连续性相矛盾→ E【euXt】，其中后者如定理5.7的证明所示。定理6.1的证明。第一条语句从| euXt |=eRe（u）Xt中清晰可见。现在，lett>0是任意的。如上所述，我们为（2.1）的mgf和右手侧分别写▄M和M。根据定理5.7，对于实区间中的v，我们有M（v，t）=~M（v，t）：={v∈ R:T*α（v）≥ t} 。函数M（·，t）在条带（6.1）{v上是解析的∈ C：Re（v）∈ 一} ={v∈ C:T*α（v）≥ t} 。根据引理5.4中的相同论点，函数M（·，t）在集合{v上是解析的∈ C：^Tα（v）≥ t} ，其中包含引理6.2的条带（6.1）。因此，通过解析延拓，M（·，t）和▄M（·，t）同意（6.1）。这意味着评估。计算爆炸时间回想一下，对于固定的u∈ R、 爆炸时间T*粗糙赫斯顿模型的α（u）是f（t）=f（u，t）=cψ（u，t）的爆破时间，其中ψ解决了分馏里卡蒂初值问题（2.4）–（2.5）。从定理2.4我们知道，T*α（u）<∞ 在第2节中定义的（A）和（B）情况下。我们现在开发了一种方法（算法7.5）来计算T*α（u）表示u满足情形（A）的条件。在案例（B）中，可以计算出一个下限，这个下限有时比明确的下限（4.1）更尖锐。