粗糙Heston模型中的矩爆炸

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英文标题：
《Moment Explosions in the Rough Heston Model》
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作者：
Stefan Gerhold, Christoph Gerstenecker, Arpad Pinter
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We show that the moment explosion time in the rough Heston model [El Euch, Rosenbaum 2016, arxiv:1609.02108] is finite if and only if it is finite for the classical Heston model. Upper and lower bounds for the explosion time are established, as well as an algorithm to compute the explosion time (under some restrictions). We show that the critical moments are finite for all maturities. For negative correlation, we apply our algorithm for the moment explosion time to compute the lower critical moment.
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中文摘要：
我们表明，粗糙赫斯顿模型中的矩爆炸时间【El Euch，Rosenbaum 2016，arxiv:1609.02108】是有限的，当且仅当经典赫斯顿模型的矩爆炸时间是有限的。建立了爆炸时间的上限和下限，以及计算爆炸时间的算法（在某些限制条件下）。我们证明了对于所有的成熟度，临界时刻都是有限的。对于负相关，我们应用我们的矩爆炸时间算法来计算下临界矩。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
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2022-6-6 19:16:12 上传

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关键词：Est sto Quantitative Mathematical Restrictions

在粗糙的赫斯顿模型中瞬间爆炸Stefan GERHOLD，CHRISTOPH GERSTENECKER，ARPAD PINTERAbstract。我们表明，粗糙赫斯顿模型中的矩爆炸时间【El Euch，Rosenbaum 2016，arXiv:1609.02108】是有限的，当且仅当经典赫斯顿模型中的矩爆炸时间是有限的。建立了爆炸时间的上限和下限，以及计算爆炸时间的算法（在某些限制条件下）。我们表明，所有成熟期的关键时刻都是有限的。对于负相关，我们应用矩爆炸时间的算法来计算下临界矩。1、引言众所周知，现实资产价格模型的边际分布不应具有太细的尾部（例如，在Black-Scholesmodel中）。在已经提出的许多模型中，尾部是幂律型的。因此，并非资产价格的所有时刻都是确定的。经典模型的矩的存在性已被彻底研究；特别是，我们在这里提到Keller Ressel在一个有效的随机波动率模型上的工作。关键时刻的精确信息——股票价格不再可积的指数，取决于到期日——之所以令人感兴趣，有几个原因。它允许我们近似波动率微笑的翅膀行为，评估一些数值程序的收敛性，并确定将为某些金融产品指定最终价格的模型。关于这些动机的更多细节和参考资料，请参阅[3，20]和[8]中的MomentExplosions一文。此外，当使用傅立叶表示来定价期权时，选择一个好的积分路径（相当于一个好的阻尼参数）来避免高度振荡的被积函数需要知道特征函数的解析性条带。

其边界由临界力矩描述【24，26】。近年来，人们的注意力已经从经典的（跳跃式）差异和L'evy模型转移到了粗糙波动率模型。自Gatheral等人[15]的开创性工作以来，受分数布朗运动启发，有关这些非马尔可夫随机波动率模型的文献迅速增长。Werefer，例如，拜耳等人[4]的许多参考文献。本文给出了粗糙Hestonmodel爆炸时间和临界力矩的一些结果。虽然赫斯顿模型有几个“粗略”的变体，但我们使用的是El Euch和Rosenbaum提出的模型【9】。该模型的动态日期：2018年4月5日。2010年数学学科分类。91G20,45D05。感谢奥地利科学基金会（FWF）在第24880页和第30750页的资助。我们感谢Omar El Euch、Antoine Jacquier和Martin Keller Reself提供的有益意见。2 STEFAN GERHOLD，CHRISTOPH GERSTENECKER，ARPAD Pinter由DST=StpVtdWt给出，S>0，Vt=V+Γ（α）Zt（t- s） α-1λ（(R)v- Vs）ds+Γ（α）Zt（t- s） α-1ξpVsdZs，dhW，Zit=ρdt，其中W和Z是相关的布朗运动，ρ∈ (-1，1）和λ，ξ，v是正参数。平滑度参数α在（，1）中。（对于α=1，模型明显简化为经典的赫斯顿模型。）除了具有微观结构基础外，该模型还具有一个特征函数，可以通过求解分数Riccati方程（相当于非线性Volterra积分方程；见第2节）以有效的方式进行数值计算。它的易处理性使得Rough-Heston模型对实际实现具有吸引力，同时也方便了我们的分析。我们首先分析爆发时间，即固定时刻爆发的成熟度。

虽然经典Heston模型的爆炸时间有一个明确的公式，但对于rough Heston，我们得出了一个众所周知的难题：计算第二类非线性Volterra积分方程（VIE）解的爆炸时间。目前还没有已知的通用算法，在文献中研究过的大多数情况下，只有边界可用。另一个概述见Roberts[30]。利用我们案例的具体结构，我们证明了爆炸时间是有限的当且仅当经典Heston模型是有限的，并且我们提供了一个下限和上限（第3-5节）。作为副产品，建立了分数Riccati方程（分别为VIE）对所有力矩的有效性，其在第6节中达到高潮。在第7节中，我们推导了一个算法来计算爆炸时间，并对参数进行了一些限制。所有到期日的临界时刻都是有限的（第8节），可以通过数值寻根（第9节）计算。我们的方法有两个局限性：首先，要计算临界时刻，成熟度不能太高。其次，我们的算法只能计算ρ>0时的上临界矩，而ρ<0时的下临界矩。由于后者在实践中更为重要，我们在回顾临界时刻和罢工症状之间的关系时，将重点放在隐含波动性的左翼（Lee’s矩公式；见第10节）。文献[10]中的推论3.1与我们的结果相关。对于每个成熟度，它给出了关键时刻的显式下界和上界。将其反转，会在爆炸时间内产生一个较低的边界；后者无法与我们的界限相比。2.PreliminariesEl Euch和Rosenbaum【9】在Rougheston模型中建立了对数价格Xt=对数（St/S）的矩母函数（mgf）的半显式表示。

mgf由（2.1）E【euXt】=exp给出\'vλItψ（u，t）+vI1-αtψ（u，t）,其中ψ满足分数Riccati微分方程（见下文）。约束ρ∈ (-1/√2, 1/√2] 最近在[10]中删除了[9]中的。论文[2]包含分数阶Riccati方程的另一种推导方法，[1]有更一般的结果，将粗糙的Heston模型嵌入到新的一类of fine Volterra过程中。回想一下以下定义（参见示例[21]）：粗略赫斯顿模型3De定义2.1中的瞬间爆炸。（左侧）Riemann-Liouville分数阶积分Iαtof阶α∈ (0, ∞) （2.2）Iαtf（t）：=Γ（α）Zt（t- s） α-1f（s）dS无论何时积分存在，（左侧）Riemann-Liouville分数阶导数Dαtof阶α∈ f的[0，1）由（2.3）Dαtf（t）：=ddtI1给出-αf（t），只要该表达式存在。（分数导数Dαtca也可以定义为α>1，但在我们的上下文中并不需要。）（2.1）中的函数ψ是分数Riccati初值问题的唯一连续解，αtψ（u，t）=R（u，ψ（u，t）），（2.4）I1-αtψ（u，0）=0，（2.5），其中R定义为（2.6）R（u，w）=c（u）+c（u）w+cw，系数c（u）=u（u- 1） ，c（u）=ρξu- λ、 c=ξ>0。对于α=1，这将成为一个标准的Riccati微分方程，它允许使用所有已知的显式解【14，第2章】。R（u，·）的根位于点C(-e（u）±pe（u）），其中e（u）：=c（u）=（ρξu- λ） ，（2.7）e（u）：=e（u）- cc（u）=e（u）-ξu（u- 1).（2.8）以下与分数阶微分方程和Volterra积分方程相关的结果是[21]中定理3.10的特例。定理2.2。

Letα∈ （0，1），T>0，假设ψ∈ C[0，T]和H∈ C（R）。然后ψ满足分数微分方程dαtψ（t）=H（ψ（t）），I1-αtψ（0）=0当且仅当满足Volterra积分方程（VIE）ψ（t）=Γ（α）Zt（t- s） α-1H（ψ（s））ds。利用定理2.2，初始值为（2.5）的Riccati微分方程（2.4）可以转化为非线性Volterra积分方程ψ（u，t）=Γ（α）Zt（t- s） α-1R（u，ψ（u，s））ds。文献[9]中使用该积分方程数值计算ψ。函数f（u，t）：=cψ（u，t）4 STEFAN GERHOLD，CHRISTOPH GERSTENECKER，ARPAD PINTERsolves（2.9）f（u，t）=Γ（α）Zt（t- s） α-1G（u，f（u，s））d具有非线性yg（u，w）=cR（u，w/c）=（w+e（u））- e（u），（2.10），其中e（u）和e（u）在（2.7）和（2.8）中定义。方程（2.9）是一个具有弱奇异核的非线性Volterra积分方程；在第3节中，它将用于分析f（以及ψ）的爆破行为。我们引用了这类方程的以下标准存在唯一性结果。定理2.3。Letα∈ （0，1），克∈ C[0，∞), 假设H:R→ R是局部Lipschitz连续的。然后是T*∈ (0, ∞] 使得Volterra积分方程ψ（t）=g（t）+Zt（t- s） α-1H（u（s））ds在[0，T]上有唯一的连续解ψ*), 在任何较大的右开区间上都没有连续解[0，T**).证据对于T>0的非常小的区间[0，T]上的存在性和唯一性，参见Brunner最近的专著[6]中的定理3.1.4。此处也讨论了最大右开区间的延续（第107页；另见Gripenberg等人[19]第12节）。在[9]中，建立了u的分数Riccati方程∈ iR，而我们对u感兴趣∈ R、 （2.4）–（2.5）和（2.9）的调整∈ R取决于[10]的结果以及f（u，t）对u的解析依赖关系。详情请参见第5节和第6节。

我们写（2.11）T*α（u）：=sup{t≥ 0:E【Sut】<∞}, u∈ R、 目前，粗略的赫斯顿模型中的爆炸时间。在经典情况下（α=1），显式表达式t*（u） =（R∞R（u，w）dw，R（u，·）在[0]上没有根，∞),∞, 否则，（2.12）=√|e（u）|π- 阿尔茨坦e（u）√|e（u）|, e（u）<0，√e（u）日志e（u）+√e（u）e（u）-√e（u）, e（u）≥ 0，e（u）>0，∞, e（u）≥ 0，e（u）<0，（2.13）已被Andersen和Piterbarg发现[3]（另见[20]）。这是显式特征函数的结果，它不适用于粗糙的Hestonmodel。我们区分以下情况：∈ R： （A）c（u）>0，e（u）≥ 0，（B）c（u）>0，e（u）<0和e（u）<0，（c）c（u）>0，e（u）<0和e（u）≥ 0，（D）c（u）≤ 由于我们的一些结果涉及ρ<0和u满足的情况（A），因此我们明确了ρ<0的notecase（A）：u≤λρξ.ROUGH HESTON模型5中的力矩爆炸注意，（A）和（B）组合的情况正是力矩爆炸时间T*（u） 在经典的赫斯顿模型中，由（2.13）确定。我们现在可以陈述我们的第一个主要结果。定理2.4。对于u∈ R、 瞬间爆炸时间T*粗糙Heston模型的α（u）是有限的，当且仅当u满足（A）或（B）。这相当于T*（u） （经典赫斯顿模型的爆炸时间）有限。定理2.4的证明包括两个主要部分。首先，命题3.2、3.4、3.6和3.7讨论了（2.9）的解在（A）（D）情况下的爆破行为，引理3.8表明f的爆破（毫不奇怪）导致（2.1）右侧的爆破。其次，我们在第5节中证明了f（u，·）（2.9的解）的爆炸时间与T一致*α（u）（拉夫赫斯顿模型的爆炸时间）对于所有u∈ R、 如定理2.3之后所述，从现有文献的结果来看，这不是显而易见的。3.

Volterra积分方程的爆炸时间我们首先引用Brunner和Yang[7]的结果，该结果描述了由正函数和递增函数定义的非线性Volterra积分方程的爆炸行为。我们注意到，我们随后的证明（从命题3.2开始）中的一些论点与[7]中使用的论点相似。或者，可以扩展[16]附录A中的论点；这里，u is in[0，1]。提案3.1。假设G：[0，∞) → [0, ∞) 是连续的，以下条件保持不变：（G1）G（0）=0，G严格递增，（G2）limw→∞G（w）/w=∞,（P） φ：[0，∞) → (0, ∞) 是一个正的、非递减的连续函数，（K）K：（0，∞) → [0, ∞) 是局部可积的，K（t）：=Rtk（z）dz>0是一个非递减函数。此外，假设限制→∞φ（t）=∞ k（z）=czα-1α>0，c>0。那么Volterra积分方程的解h（t）=φ（t）+Ztk（t- s） G（h（s））ds在有限时间内爆炸当且仅当（3.1）Z∞UwG（w）1/αdww<∞对于所有U>0。证据这是Brunner和Yang[7]中推论2.22的一个特例，G不依赖于时间。在案例（A）中，命题3.1的所有假设均已满足，仅需检查可积性条件（3.1），以确定（2.9）的解f是否在有限时间内爆炸。提案3.2。在（A）的情况下，（2.9）的溶液f从0开始，随后为正，并在有限时间内爆炸。证据修复u∈ R使得c（u）>0和e（u）≥ 0、注意e- e> 本例中为0。

（在这里和下面，我们通常会在符号中抑制u。）如果we6 STEFAN GERHOLD、CHRISTOPH GERSTENECKER、ARPAD Pinter将Volterra积分方程（2.9）写成f（t）=φ（t）+Ztk（t- s） 非线性的G（f（s））Ds G（w）=w+2ew且φ（t）=e-eΓ（1+α）tα，使用（2.10）和（7.3），然后条件c>0和e≥ 0保证φ和'G为正，并且在（0，∞) φ（0）=G（0）=0。因此，对于正值，解f为正值，且f（0）=0。（正性来自于[7]中的引理2.4，或[6]中的引理3.2.11。）很容易检查命题3.1的所有假设（G1）、（G2）、（P）和（K）是否满足。此外，limt→∞φ（t）=∞ andZ公司∞Uw'G（w）1/αdww≤Z∞华盛顿大学-1.-1/αdw<∞对于所有U>0。根据命题3.1，解f在有限时间内爆炸。在（B）情况下，命题3.1不能直接应用于（2.9）的解f。因此，必须对Volterra积分方程进行修改，以满足命题3.1的假设，即f仍然是修改后方程的亚解，即f满足（2.9）“≥” 而不是“=”。首先，我们提供了解和子解的比较引理。引理3.3。设G:[0，∞) → (0, ∞) 是严格递增的连续函数，T＞0。假设g是Volterra积分方程g（t）=Ztk（t）的唯一连续解- s） G（G（s））ds，t∈ [0，T]，其中k满足命题3.1中的条件（k）。如果f是一个连续的次分辨率，f（t）≥Ztk（t- s） G（f（s））ds，t∈ [0，T]，然后是f（T）≥ g（t）适用于所有t∈ [0，T]。证据对于任何c∈ （0，T）定义fc（T）：=f（T+c）表示T∈ [0，T- c] 。从G的正性可以看出，fc（0）=f（c）>0和fc（t）≥Ztk（t- s） G（fc（s））ds，t∈ [0，T- c] 。由于g（0）=0，因此g（0）<fc（0）。我们想在整个间隔[0，T]上显示g<fc- c] 。

因此，假设t∈ （0，T- c] 存在，因此0≤ g（s）<fc（s）（对于所有s）∈ [0，t）和g（t）=fc（t）。然而，由于g严格地增加，我们有0=fc（t）- g（t）≥Ztk（t- s）G（fc（s））- G（G（s））ds>0，这是一个矛盾。因此，不等式g（t）<fc（t）=f（t+c）适用于所有t∈ [0，T- c] 。自c起∈ （0，T）是任意的，结果很容易得出。提案3.4。在（B）的情况下，（2.9）的溶液f从0开始，随后为正，并在有限时间内爆炸。证据修复u∈ R使得c（u）>0，e（u）<0，e（u）<0。注意，在这种情况下，非线性G明显为正（2.10）。然而，严格来说，G是粗略赫斯顿模型7中的力矩爆炸，在[0，-e] 。为了解决这个问题，让0<a<-定义修改后的非线性“Gaas（3.2）”Ga（w）=（wa+ee+a，0≤ w<-e、 G（w），w≥ -e、 然后是一个正的、严格递增的Lipschitz连续函数，从a和Ga开始≤ G、 设f为Volterra积分方程（3.3）的唯一连续解（回忆定理2.3）(R)f（t）=Ztk（t- s） \'Ga（\'f（s））ds=φ（t）+Ztk（t- s） \'G（\'f（s））DSG=\'Ga-a和φ（t）=aΓ（1+α）tα。请注意，（3.3）中的第二个等式位于（7.3）之后。由于φ和'G的正性（0，∞), 溶液f在（0，∞) 也函数φ、G和k满足命题3.1中的假设（G1）、（G2）、（P）和（k）。此外，limt→∞φ（t）=∞ 和“G满意度”（3.1）。根据命题3.1，“f”在限定时间内爆炸。因为f满意度（2.9）和“Ga”≤ G、 因此，f是修正Volterra积分方程的一个子解，即f（t）≥Ztk（t- s） \'Ga（f（s））ds。引理3.3意味着f≥\'f。因此，f也会爆炸。情况（C）和（D）是指（2.9）中的溶液f在一定时间内不会爆炸的情况。事实上，正如我们将看到的，f根本不会爆炸。