粗糙Heston模型中的矩爆炸

函数f满足分数Riccati方程（7.1）Dαf=D+df+f，16 STEFAN GERHOLD，CHRISTOPH GERSTENECKER，ARPAD Pinter，其中D（u）：=c（u）cand D（u）：=c（u），初始条件为I1-αf（0）=0。（回想一下，我们经常在符号中抑制对u的依赖。）我们尝试使用分式幂级数ansatz（7.2）f（t）=∞Xn=1an（u）tαnw，系数未知an=an（u）。引理7.1。（参见例[21]）Letα∈ (0, 1). 对于ν>-1，（7.3）Dαttν=tν-αΓ(ν + 1)Γ(ν - α+1）对于ν>-1 + α.（7.4）通过（7.3），分数幂级数（7.2）（形式上）满足初始条件（2.5）。将（7.2）插入（7.1）并使用（7.4），我们得到∞Xn=0an+1vn+1tαn=d+∞Xn=1dantαn+∞Xn=2n-1Xk=1akan-ktαn=d+datα+∞Xn=2dan+n-1Xk=1akan-ktαn，（7.5），其中vn：=Γ（αn+1）Γ（αn- α + 1).注意，VN是一个递增序列；这很容易从以下事实得出oΓ是凸的（参见[32]中的示例11.14）。根据斯特林公式，vn~ （αn）α表示n→ ∞.从（7.5）中，我们得到了an=an（u）：a（u）=d（u）/v，（7.6）an+1（u）=vn+1的卷积递推d（u）和（u）+n-1Xk=1ak（u）an-k（u）, n≥ 1.（7.7）因此，函数f可以表示为f（u，t）=f（u，tα），其中f（u，z）：=∞Xn=1an（u）zn。引理7.2。让u∈ R、 满足案例（A）（回顾第2节中的定义）。然后F（u，·）在零处解析，具有正且有限的收敛半径R（u）。证据为了证明收敛半径为正，我们证明了存在isA=A（u）>0，使得（7.8）| an |≤ Annα-1，n≥ 1.（添加因子nα-1此几何界限有助于归纳证明。）我们有α-α| d | n-1（n+1）α-1+2α-αΓ（α）nα-1Γ（2α）（n+1）α-1.→2α-αΓ（α）Γ（2α），n→ ∞.选择nsuch，使左侧为≤ 3α-所有n的αΓ（α）/α（2α）≥ n、 并使2vn≥ （αn）α表示所有n≥ n

后者是可能的，因为vn~ （αn）α。用a固定数字a≥ 3α-αΓ（α）/Γ（2α），这样Annα-1.≥ |粗糙的HESTON 17型中的| holdsMOMENT爆炸1≤ n≤ n、 让n≥ nand归纳地假设| ak |≤ Akkα-1等待1≤ k≤ n、 从递归（7.7）中，我们得到| an+1 |≤ 2（αn+α）-α| d | Annα-1+Ann-1Xk=1kα-1（n- k） α-1.≤ 2（αn）-α| d | Annα-1+Ann-1Xk=1kα-1（n- k） α-1.自xα起-1（n- x） α-1是（0，n）上x的严格凸函数，最小值为atn/2，很容易看出n-1Xk=1kα-1（n- k） α-1.≤Znxα-1（n- x） α-1dx=n2α-1Zyα-1(1 - y） α-1=Γ（α）Γ（2α）n2α-1，其中最后一个等式来自已知的beta函数在gamma函数方面的表示（见[33]中的12.41）。我们得出| an+1 |≤ 2α-α| d | Ann-1+2α-αΓ（α）Γ（2α）Annα-1=An（n+1）α-1.2α-α| d | n-1（n+1）α-1+2α-αΓ（α）nα-1Γ（2α）（n+1）α-1.≤ An（n+1）α-13α-αΓ(α)Γ(2α)≤ An+1（n+1）α-这就完成了（7.8）的归纳证明。收敛半径的完整性将取决于数量B=B（u）>0的存在，因此（7.9）a≥ Bn，n≥ 为此，定义：=d+n- 1vn+1，n≥ 根据斯特林公式，我们有rn/rn-1= 1 + (1 - α） /无+无（n-2） 作为n→ ∞, 因此最终会增加。让n≥ 2应确保n的Rn增加≥ n、 anddefineb：=最小值{rn，a，a1/2，…，a1/nn}。该数字满足≥ BN代表n≤ nby定义。让我们来确定一些n≥ nand假设，归纳地，ak≥ BK保持1≤ k≤ n、 （7.7）an+1≥vn+1（dBn+（n- 1） Bn）=Bnrn≥ Bnrn公司≥ Bn+1。因此，（7.9）由归纳法证明。18 STEFAN GERHOLD，CHRISTOPH GERSTENECKER，ARPAD Pinter根据引理7.2中的估计，很明显，序列（7.2）的逐项分数导数是允许的，因此（7.2）的右侧实际上代表了初始条件为I1的（7.1）的解f-αf（0）=0，只要满足0≤ t<R（u）1/α。

我们继续展示爆炸时间T*α（u）可由系数an（u）计算得出。基本事实是R（u）1/α和T之间没有间隙*α（u）。为此，我们需要复杂分析的以下经典结果（[29]，第235页）。定理7.3（普林谢姆定理，1894年）。假设幂级数F（z）=P∞n=0n表示正的有限收敛半径R，所有系数都是非负实数。那么F在R处有一个奇点。定理7.4。假设u∈ 满足案例（A）。通过递归（7.7）和初始值（7.6）确定序列an（u）。然后我们有（7.10）lim supn→∞an（u）-1/（αn）=T*α（u）。证据回想一下，（7.1）的解f（u，·），也可以解Volterra积分方程（2.9）。根据前面（5.16）引用的关于平滑度的参考文献，f（u，·）在整个区间（0，T）上是解析的*α（u））。f（u，t）炸毁堡垒↑ T*命题3.2中的α（u）和t 7→ F（u，tα）在（0，R（u）1/α上是解析的，我们必须有R（u）1/α≤ T*α（u）。假设R（u）1/α<T*α（u）。那么f在R（u）1/α处是解析的。但从z 7开始→ z1/α在R（u）>0时是解析的，组合F（u，z）=F（u，z1/α）在z=R（u）时也是解析的，这与定理7.3相矛盾。因此，R（u）1/α=T*α（u）。众所周知，收敛半径由Cauchy-Hadamardformula[29，p.111]R（u）给出-1=lim supn→∞一个（u）1/n，它总结了证明。注意，在案例（B）中，我们可以像前面的证明一样进行论证。然而，系数不再为正，因此普林谢姆定理不适用。然后，不等式R（u）1/α≤ T*α（u）不必是等式。我们仍然可以计算爆炸时间的下限：（7.11）lim supn→∞|an（u）|-1/（αn）≤ T*α（u）。现在假设我们再次处于案例（A）中。我们现在讨论如何在（7.10）中加速收敛。

Roberts和Olmstead[31]研究了具有（渐近）分馏Kernel的非线性Volterra积分方程解的爆破行为。他们的论点取决于大变元非线性的渐近行为。特别是在我们的情况下，G（u，w）从（2.10）满意G（u，w）~ w或w→ ∞, [31]中的公式（3.2）得出（7.12）f（t）（？）~Γ（2α）Γ（α）（T*α（u）- t）-α、 t型↑ T*α（u）。我们写（？）~ 原因有二：首先，我们的积分方程（2.9）不能完全满足[31]中的技术假设。第二，并非[31]中的所有步骤都是严格的。我们继续试探性地从（7.12）中推断出an（u）的定义渐近。定义Φ（z）：=∞Xn=1an（u）R（u）nzn，通过引理7.2中R（u）的定义，粗糙HESTON模型19a幂级数中的矩爆炸，收敛半径为1。z的渐近性↑ 1可从（7.12）中得出。回想一下，F的爆炸时间和收敛半径与T有关*α（u）=R（u）1/α。Φ（z）=f（Rz）1/α(?)~Γ（2α）Γ（α）（T*α- （Rz）1/α）-α=Γ（2α）Γ（α）R-1(1 - z1/α）-α~ααΓ（2α）Γ（α）R-1(1 - z）-α、 z↑ 奇点分析方法（见[12]第六节）允许将Φ的渐近性转换为其泰勒系数anRn的渐近性。在地毯下扫过一些分析条件，我们得到了一个（u）R（u）n（？）~ααΓ（2α）Γ（α）R-1nα-1Γ（α），n→ ∞,因此（7.13）an（u）（？）~ R（u）-n-1nα-1ααΓ（2α）Γ（α），n→ ∞.数值试验证实（7.13），我们毫不怀疑这是真的（在案例（A）中）。总结，T*α（u）可通过以下算法计算，其收敛速度快于更简单的近似lim supn→∞一-1/（αn）n：算法7.5。设u为满足情形（a）的实数修复nmax∈ N（例如nmax=100），o计算a（u）。

，anmax（u）通过递归（7.7），o计算近似值（7.14）an（u）n1-αΓ(α)ααΓ(2α)-1α（n+1）n=nmax≈ T*α（u）表示爆炸时间。我们强调，虽然导致（7.13）的论点是启发性的，但我们在定理7.4中严格证明了T*α（u）是（7.14）左侧的lim sup。启发式部分是次指数因子n1-α×const将近似的相对误差从O（log nn）提高到O（n）。请注意，我们计算爆破时间的方法当然可以扩展到更一般的分数Riccati方程。最后，如上所述（见（7.11）），我们可以计算T的下界*α（u），如果它是有限的，但u在情况（A）之外：算法7.6。设u为满足情形（B）的实数修复nmax∈ N（例如nmax=200），o计算a（u），anmax（u）通过递归（7.7），o计算近似下界| an（u）|-1/（αn）n=最大值/吨*爆炸时间的α（u）。备注7.7。至于算法7.5的适用性，假设ρ<0（类似注释适用于不太常见的情况ρ>0）。从（2.7）开始，我们有（u）~ρξu>0表示u↓ -∞, 所以我们是在案例（A）中，对于足够大的| u |。更准确地说，情况（A）对应于间隔u∈ (-∞, λ/(ξρ)]. 对于u from20 STEFAN GERHOLD、CHRISTOPH GERSTENECKER、ARPAD Pinter间隔，爆炸时间可通过算法7.5计算。在u=λ/（ξρ）的右侧，有一个（可能为空）间隔，对应于情况（B），其中t*α（u）仍然是有限的，但无法应用算法7.5。尽管如此，一个下界可以由（7.11）计算，并且我们有定理4.1和4.2中的下界，可以很容易地用数值计算。

继续沿u轴向右移动，ween计算一个包含[0，1]的间隔，其中T*α（u）=∞ （案例（C）和（D））。之后，T*α（u）再次变为有限，但这些u属于情况（B），为T留下了界限*仅α（u）-14-12-10-8-6图1。u<0的力矩爆炸时间和界限。参数为α=0.6，ρ=-0.8，λ=2，ξ=0.2。灰色矩形位于间隔上方(-∞, λ/(ξρ)] = (-∞, -12.5]对应于情况（A）。左实心曲线：T*α、 按算法7.5计算。右实心曲线：下限，由算法7.6计算。虚线：分别来自定理4.1的边界。4.2.虚线：T*（经典赫斯顿模型）-14-12-10-8-6图2。如图1所示，但α=0.75。在本节结束时，我们注意到可以通过将（7.2）中的系数替换为（7.13）的右侧来近似f。让我们在粗略的赫斯顿模型21-14-12-10-8-6图3中写出瞬间爆炸的bn（u）。如图1所示，但α=0.9。请注意，T*α（左solidcurve）接近T*（经典Heston模型，即α=1；dottedcurve）。后者的保留前N个精确系数，得出近似值f（u，t）≈∞Xn=10亿（u）tαn+NXn=1an（u）- bn（u）tαn=ααΓ（2α）Γ（α）t*α（u）αLi1-α（吨/吨*α（u））α+NXn=1an（u）- bn（u）tαn，（7.15），其中Liν（z）：=P∞n=1zn/nν表示多段对数。虽然这种近似即使对于较小的N（见[17]）也非常准确，但它仅限于满足实际u的情况（A），因此不适用于期权定价。8、临界力矩的有限性虽然我们分析了迄今为止粗糙赫斯顿模型的爆炸时间，但在力矩爆炸的大多数应用中（见引言），临界力矩su+（T）：=sup{u∈ R:E【euXT】<∞},u-（T）：=inf{u∈ R:E【euXT】<∞}, T>0，（8.1）值得关注。

使用力矩爆炸时间T的上限*α在定理4.2中，我们现在将显示每个成熟度t>0的临界时刻的完整性。计算u+（T）和u-（T）在第9节中讨论。定理8.1。在粗糙赫斯顿模型中，临界力矩u+（T）和u-（T）对于每T>0是有限的。证据只有u+（T）的完整性被证明，作为u的证明-（T）非常相似。表示T的上界*（4.3）中的α（u）乘以所有u的B（u）∈ 在（A）和（B）情况下为R。首先，我们证明，对于足够大的u，我们总是在（A）或（B）情况下，这取决于相关参数ρ的符号。从（2.7）和（2.8）中，很容易看出（8.2）e（u）~ξρu和e（u）~ -ξ′ρuas u→ ∞,其中ρ=1- ρ. 因此，对于足够大的u，最终e（u）<0。在下一步中，我们表明，上界B（u）收敛到0，因为u→ ∞. 事实上，在22年，STEFAN GERHOLD、CHRISTOPH GERSTENECKER、ARPAD PINTERcase（A）是（4.3）satis fiesz中的积分∞wG（u，w）1/αdww=ZuwG（u，w）1/αdww+Z∞uwG（u，w）1/αdww≤ G（u，0）-1/αZuw-1+1/αdw+Z∞华盛顿大学-1.-1/αdw≤ 铜-1/α，u→ ∞,对于某些c>0，使用单调性G（u，w）≥ G（u，0），不等式G（u，w）≥wand G（u，0）=cc（u）~cuas u→ ∞.如果我们最终在案例（B）中是u→ ∞, 然后-e（u）>0和-e（u）>0适用于所有足够大的u。注意，在这种情况下，G（u，·）在-e（u），最小值为-e（u）。因此，（4.3）中的积分满足∞wG（u，w）1/αdww=Z-2e（u）wG（u，w）1/αdww+Z∞-2e（u）wG（u，w）1/αdww≤ (-e（u））-1/αZ-2e（u）w-1+1/αdw+41/αZ∞-2e（u）w-1.-1/αdw=α(-e（u））-1/α(-2e（u））1/α+41/α(-2e（u））-1/α≤ 铜-1/α，u→ ∞,对于某些c>0，使用单调性G（u，w）≥ -e（u），不等式G（u，w）≥（w+e（u））≥ 带4开[-2e（u），∞) 和（8.2）。总之，我们有limu→∞B（u）=0。自0起≤ T*α（u）≤ B（u），爆炸时刻T也是如此*α、 即limu→∞T*α（u）=0。现在让T>0任意。

然后存在u∈ R使得T*α（u）<T表示所有u≥ u、 这个不等式意味着E[euXT]=∞ 适用于所有u≥ u、 因此u+（T）≤ u根据前面的证明，很容易得出u+（T）和u-（T）属于订单T-α为T↓ 这与经典的Heston模型（α=1）一致，其中衰变阶为T-1，通过反转（2.13）。9、计算临界力矩我们首先收集一些关于力矩爆炸的文献中显然没有明确说明的简单事实。力矩爆炸时间和临界力矩的定义分别如（2.11）所示。(8.1).引理9.1。设S=（St）t≥0=（外部）t≥0是一个正随机过程。其瞬间爆炸时间用T表示*（u） ，u∈ R、 以及关键时刻byu-（T）和u+（T），T>0。（i） T型*（u） u的增加≤ 0，u减小≥ 0。（ii）如果S是鞅，则u+（T）减小，并且u-（T）增加。（iii）假设S是鞅。如果T*（u） 严格按间隔D+：={u减少≥ 1:T*（u） <∞},然后T*= （u+）-1开D+。类似地，如果T*（u） 严格按照间隔增加-:= {u≤ 0:T*（u） <∞},然后T*= （u）-)-1月日-.粗略的赫斯顿23Proof模型瞬间爆炸。（i） 作为T*（u） =∞, 我们可以假设u>0（u<0类似）。该估计遵循Jensen不等式，自x 7→ 对于0<u，xv/uis凸面≤ v、 （ii）我们只考虑u+。因为S是鞅，所以我们有u+≥ 1、对于任意数字u≥ 1和0<T≤ T、 我们有东[南|英尺]≥ 条件Jensen不等式。这显示了断言。（iii）我们仅证明第一个陈述。注意，（i）表示D+是一个区间。现在假设u∈ D+满意度<u+（T*（u） ）=支持*（u） ]<∞}.这意味着有v>u满足E[SvT*（u） ]<∞. 因此，T*（v） =T*（u） ，与T的严格减少相矛盾*. 最后，假设u≥ 1饱和度u>u+（T*（u） ）。

然后是1≤ v<u，使E[SvT*（u） ]=∞. 对于轨道t≥ T*（u） ，我们得到E[Svt]=EE[垂直高度|英尺*（u） ]≥ E[SvT*（u） ]=∞.这意味着T*（v） =T*（u） ，再次与T*. 如果第（iii）部分的假设成立，那么我们可以通过数值求解方程T来计算爆炸时间的临界动量*（u+（T））=Tresp。T*（u）-（T））=T。然而，请注意，对于合理的随机波动率模型，严格的单调性可能会失败。在3/2模型[25]中，显式特征函数表明，临界时刻不依赖于成熟度（对于正成熟度），爆炸时间仅假设值为零和不完整。另一方面，在经典的赫斯顿模型中，很容易从（2.13）得出*（u） （回想一下，指数表示α=1）是u的严格单调函数：在有限集上，T*对于负u严格增加，对于正u严格减少。通过引理9.1的第（iii）部分，这意味着我们有（9.1）T*（u+（T））=T和T*（u）-（T））=T，T>0。因此，尽管临界力矩不允许有明确的表达式，但可以使用（2.13）和（9.1）计算临界力矩，并使用适当的起始值进行数值寻根。虽然我们毫不怀疑，爆炸时间的严格单调性扩展到了粗糙的赫斯顿模型，但这似乎不容易验证。如果我们接受给定值，则可以计算ρ<0 fromT的下临界力矩*α（u-（T））=T。再次，我们关注下临界力矩，因为这样我们可以应用算法7.5来计算T*α表示ρ<0。回想一下，此算法仅适用于≤ λ/（ρξ），相当于情况（A）。因此，T在（9）中不能太大，即u-（T）满足案例（A）。

（通常，这一要求并不太令人望而却步。）为T的严格单调性提供一些指示*α、 回想一下，根据引理5.3，如果u<0满足情况（A），f（u，t）=cψ（u，t）（见第2节）严格减少w.r.t.u。因此，严格的小函数f（u，·）的爆炸时间比f（u，·）的爆炸时间长，其中u<u<0，这似乎是合理的（尽管尚未证明）。另一个迹象是，定理4.1和4.2中的边界是严格单调的，通过将它们区分为w.r.t.u可以看出。即使严格单调性不成立，我们也肯定有-（T）=sup{u<0:T*α（u）=T}（9.2）u+（T）=inf{u>1:T*α（u）=T}（9.3）24 STEFAN GERHOLD，CHRISTOPH GERSTENECKER，ARPAD Pinter，对于所有T>0的情况，其支持数值计算（在上述T限制下）。（9.2）和（9.3）的有效性从（5.16）中可以清楚地看出：如果T*α（·）在某个区间上是常数，位于零的左侧，例如，当u从右侧接近区间的右端点时，mgf爆炸。渐近性的应用在导言中，我们提到了我们工作的几个潜在应用。在这一节中，我们给出了其中一个方面的一些细节：了解临界时刻可以为大罢工和小罢工的隐含波动率提供一阶渐近性。我们为隐含波动率写出σ（k），其中k=log（k/S）是对数货币性。根据Lee的矩公式[23]，隐含波动率的左翼满足（10.1）T·lim supk→-∞^σ（k）| k |=2- 4.聚氨基甲酸酯-（T）- u-（T）+u-（T）.我们关注负对数货币性，因为斜率取决于下临界矩，算法7.5在重要情况下计算ρ<0。作为具有有限临界矩的随机模型，粗糙Heston模型的边缘密度具有幂律尾。