可违约期限结构模型中的模糊性

在这方面，假设（6）P（t，t）={τ>t}exp-ZTtf（t，u）du！0≤ t型≤ T≤ T*.初始正向曲线T 7→ 然后假设f（0，T）是有效可积的，远期利率过程f（·，T）遵循它^o过程满足f（T，T）=f（0，T）+Zta（s，T）ds+Ztb（s，T）dWs，对于0≤ t型≤ T≤ T*. 原则上，T≥ T*可以在没有其他困难的情况下考虑。假设1。我们需要以下技术假设：（i）初始正向曲线是可测量的，并且可在[0，T]上积分*]:ZT公司*|f（0，u）| du<∞,模糊7下的信用风险（ii）漂移参数a（ω，s，t）是R值O B-可测可积子[0，T*]:ZT公司*ZT公司*|a（s，t）| dsdt<∞,（iii）波动性参数b（ω，s，t）为Rd值，O B-可测量，和SUPS，t≤T*kb（s，t）k<∞.设置为0≤ t型≤ T≤ T*,a（t，t）=ZTta（t，u）du，b（t，t）=ZTtb（t，u）du。引理4.1。在假设1下，它认为，ZTtf（t，u）du=ZTf（0，u）du+Zta（·，u）du+Ztb（·，u）dWu-0的Ztf（u，u）DU≤ t型≤ T≤ T*, 几乎可以肯定。这如下所示，例如参见[12]中的引理6.1。4.2. 无套利，违约强度不明确。通过阐述基于强度的动态期限结构模型中不存在套利的经典因素。注意，在Pλ下，H的补偿器或双可预测投影Hpt由Hpt=Rt给出∧τλsds。通过Doob-Meyer分解，Mλ：=H- Hp，0≤ t型≤ T*是Pλ-鞅。我们使用银行账户进行贴现。它的值由一个从1开始的随机过程给出，我们假设存在一个短期利率，即银行账户的值过程是γ（t）=exp（Rtrsds），具有一个F-可预测过程。我们假设P（RT*RSD<∞) = 1、然后，我们得到以下结果。提案4.2。考虑测量值Q(Ohm, 燃气轮机*) 和Q~ P、 假设假设1成立，Mλ是Q-鞅。

那么Q是局部鞅测度当且仅当（i）f（t，t）=rt+λt，（ii）漂移条件'a（t，t）=b（t，t）,持有dt dQ几乎可以肯定为0≤ t型≤ T≤ T*关于{τ>t}。证据我们设置E=1- H和F（t，t）=exp-RTtf（t，u）du. 那么（6）可以写成P（t，t）=E（t）F（t，t）。按部分屈服积分dp（t，t）=F（t-, T）dE（T）+E（T-)dF（t，t）+d[E，F（·，t）]t.8 TOLULOPE FADINA和THORSTEN SCHMIDTFor{t<τ}，dP（t，t）=P（t-, T）-λtdt+f（t，t）+b（t，t）- a（t，t）dt公司+ P（t-, T）dMλ+b（t，t）dWt.贴现债券价格过程是局部鞅当且仅当半鞅分解中的可预测部分消失，即（7）f（t，t）- rt公司- λt- \'a（t，t）+b（t，t）= 设T=T，我们得到（i）和（ii），结果如下。接下来，我们推导了在齐次模糊度下，远期利率在强度和短期利率方面的无套利条件，以及漂移和波动参数的条件。设置λ*t： =f（t，t）- rt代表t∈ [0，T*].考虑一个实值的、可测量的F-渐进过程θ=（θt）t≥0使过程zθ=（zθt）0≤t型≤T*作为dzθt=-θtzθtdWt，zθ=1。我们假设θ是可积的，因此zθ是P-鞅定理4.3。在假设1下，贴现债券价格是局部鞅，当且仅当{τ>t}满足以下条件：（i）存在F-累进θ*使得E[zθ*T*] = 1，（ii）漂移条件'a（t，t）=k'b（t，t）k-\'b（t，t）θ*t、 持有dt dP几乎肯定在{t<τ}上。然后，存在一个关于“P.Proof”的ELMM。固定Pλ∈(R)P.条件（i）保证zθ*是通过Girsanov定理实现度量变化的密度过程。

我们定义*T*:=经验值Rt（1- λ*s） λsds, t<τλ*τexpRτ（1- λ*s） λsdst型≥ τ、 是关于强度从λ到λ变化的密度过程*, forRtλ*sds<∞, 参见【4，定理VI.2.T2】。我们可能需要*:= Zλ*T*zθ*T*dPλ。也就是P*~ Pλ。我们现在显示P*也是一个局部鞅测度。首先，请注意W*t： =重量-Ztθ*十二烷基硫酸钠t型∈ [0，T*]是P*-布朗运动。回忆{t<τ}，dP（t，t）P（t-, t）=-λ*（t） +f（t，t）+b（t，t）- a（t，t）dt+dMλ- b（t，t）载重吨。模糊情况下的信用风险9因此，在措施变更情况下，dP（t，t）P（t-, t）=-λ*（t） +f（t，t）+b（t，t）- a（t，t）-\'b（t，t）θ*t型dt+dMλ- b（t，t）dW*t、 用γ贴现后，γ-1P（，，T）是局部鞅当且仅当其半鞅分解中的可预测部分消失时。设置T=T，条件（ii）以及λ的定义*持有。因此，P*是Pλ的ELMM。由于Pλ是任意的，P*是关于'P的ELMM，我们得出结论。4.3. 恢复市场价值。在简化模型中，存在一些回收假设，如零回收、国库部分回收、票面价值部分回收，详情参见【3，第8章】。到目前为止，我们已经考虑了信用风险债券变得一文不值，并且在违约事件发生时零回收的情况。在这里，我们将考虑市场价值的部分恢复，即信用风险债券失去其市场价值的一部分。我们认为恢复过程存在歧义。目的是获得{（PR（t，t））0族存在ELMM的必要和充分条件≤t型≤TT∈ [0，T*]} 关于数值γ=expR·rtdt和概率测度集'P。因此，将定理4.3扩展到一般恢复方案。

为此，我们假设在给定的概率空间上(Ohm, G，P），另外还有一个标记点过程（Tn，Rn）n≥1其中随机时间tn→ ∞ 作为n→ ∞, 这与P下的W和τ无关。相关的恢复过程用t=YTn表示≤tRn。我们假设0<T<····是强度为1的泊松过程的跳跃时间，恢复值（Rn）是i.i.d.，在[r，\'r]中均匀分布 （0，1）（与跳跃时间无关）。那么，R=（Rt）t≥对于所有t，0为非递增且Rt>0≥ 过滤G=（Gt）0≤t型≤T*与第2节的设置类似，通过逐步放大默认信息（在本例中为R）获得，即Ft=\\>0σ（Rs，Ws：0≤ s≤ t+), 0≤ t型≤ T*.我们假设G=GT*. 由于R是一个随机连续的G-子鞅，因此存在一个乘法Doob-Meyer分解，即存在一个可预测的正过程h，如RTerthsds，t≥ 0是G-鞅。这里的过程eR·hsds是R的指数补偿器（实际上，计算h是一个简单的练习）。同样，我们确定了关于“P到”AR的容许密度：={h*: h类*F-可预测且EP[Zh*T*] < ∞ 对于所有P∈\'\'P}。相关密度Zh*对于h*∈？A从任何测量值P开始时，等效测量值变化的可能密度∈P.10 TOLULOPE FADINA和THORSTEN Schmidt在市场价值部分恢复的假设下，信用风险债券价格的期限结构可以假设为（8）PR（t，t）=Rtexp-ZTtf（t，u）du！，0≤ t型≤ T≤ T*.备注4。如果在t处发生违约，则债券失去一个随机分数qt=1- Rtof其预设值，其中（qs）[0，T*]是一个可预测的过程，其值位于[a，b]∈ [0，1）。因此，（1）的值- qt）P（t-, T）在违约时立即提供给债券持有人。

由于{Tn:Tn>t}可能出现以下违约，它仍面临违约风险。定理4.4。让h*t： =f（t，t）- rt代表t∈ [0，T*]. 假设假设1成立，且（i）存在F-累进θ*使得E[zθ*T*] = 1，（ii）漂移条件'a（t，t）=k'b（t，t）k-\'b（t，t）θ*t、 持有dt dP几乎肯定在{t<τ}上。然后，存在一个关于“P.Proof”的ELMM。固定Pλ∈(R)P.Q*~ PλifdQ*:= 中弘*T*zθ*T*dPλ，andZ*T*:=经验值Rt（1- h类*s） hsds, t<τλ*τexpRτ（1- h类*s） hsdst型≥ τ.是关于从h到h的强度变化的密度过程*, 福斯*sds<∞. 我们现在显示Q*也是一个局部鞅测度。召回，定义为（h*s） s≥0，我们有那个RteRth*sds，t≥ 0是G鞅，这意味着dmt=eR·h*sds（Rt-h类*tdt+dRt）是G鞅的微分。集合F（t，t）=exp-RTtf（t，u）du. 那么（8）可以写成PR（t，t）=R（t）F（t，t）。按部分产量积分dpr（t，t）=F（t，t）dRt+R（t-)dF（t，t）+d[R，F（·，t）]t=（1）+（2）+（3）。对于{t<τ}，（1）=F（t，t）dRt=PR（t-, T）（（Rt-)-1e级-Rth公司*sdsdMt- h类*tdt）。（2） =R（t-)dF（t，t）=PR（t-, T）f（t，t）+b（t，t）- a（t，t）dt公司- b（t，t）载重吨.(3) = 0. 因此，dPR（t，t）PR（t-, t）=-h类*（t） +f（t，t）+b（t，t）- a（t，t）dt+e-Rth公司*dsRt-!dMt公司- b（t，t）载重吨。模糊11下的信用风险引入布朗运动测度的变化，dPR（t，t）PR（t-, t）=-h类*（t） +f（t，t）+b（t，t）- a（t，t）- b（t，t）θ*dt+e-Rth公司*dsRt-!dMt公司- b（t，t）dW*t、 用γ贴现后，γ-1PR（.，T）是局部鞅当且仅当可预测部分为零，即，-rt公司- h类*（t） +f（t，t）+b（t，t）- a（t，t）- b（t，t）θ*= 0t型≤ T、 这仅适用于T≤ τ . 这是因为假设可收回价值立即支付给债券持有人。

由于上述等式成立≤ τ ∧ T和b（t，t）- a（t，t）- b（t，t）θ*= 0如果T=T，条件（ii）以及h的定义*保持，结果如下。稳健债券定价根据定义3.1中正式规定的（稳健）无套利假设，在到期日t支付一个单位的时间t的（零回收）债券价格由定理3.1中的ELMM Q下的预期给出。因此，（9）P（t，t）=1{τ>t}方程-RTt（rs+λ*s） ds | Fti，0≤ t型≤ T此处λ*必然位于[λ，λ]。我们的目标是指定满足这一要求的多项式过程，并为（9）中的预期计算提供定价公式。根据[8]的工作，我们假设λ*是SDE（10）dλ的唯一强解*t=α（λu- λ*t） dt+βq（λ*t型- λ)(λ - λ*t） dWt，λ∈ [λ,λ].这里，W是概率空间上的布朗运动(Ohm, F，Q）具有标准过滤F=（Ft）0≤t型≤T*由满足通常条件的W生成。我们假设α、β>0和λ<λu<λ，这保证了平稳分布的存在。通过定义，漂移函数u（x）=α（λu- x） isLipschitz连续。让波动率函数σ（x）=βp（x- λ)(λ - x） ，然后是x，y∈ [λ，(R)λ]，|σ（x）- σ（y）|=β|λ+？λ- （x+y）| | x- y |≤ β(λ - λ） | x- y |。因此，σ（x）是连续的。u（x）和σ（x）的连续性利用一般唯一性定理（定理4.5，[19]）保证了（10）的路径唯一性。[8]中的定理3.1得出了以下定价公式。LetB（t，t）=等式-RTtλ*sds |λ*t=λi.12 TOLULOPE FADINA和THORSTEN Schmidth定理5.1。

在（10）下，它认为b（t，t）=e-λ（T-t） （1+P∞n=1（(R)λ- λ） n···P（vn，··，v）∈VnψVn（λ-λλ-λ） Qj=nkvjq（vj- vj公司-1） Int，T（yvn，···，yv），其中vn={（vn，···，v）∈ Zn+：| vj- vj公司-1| ≤ 1, 1 ≤ j≤ n、 v=0}，q（vj，vj-1） =（（2v（a+b+v-1） +a（a+b-2） ）Γ（a）v！Γ（b+v）（a+b+2v-1） （a+b+2v-2） （a+b+2v-3） Γ（a+v-1） Γ（a+b+v-2） 如果vj=vj-1.-vΓ（a）Γ（b+v）（a+b+2v-1） （a+b+2v-2） （a+b+2v-3） Γ（a+v-1） Γ（a+b+v-2） 如果| vj- vj公司-1 |=1对于v=vj∨ vj公司-1，Int，T（yvn，···，yv）=ZTtZTsn··ztsep{-Xj=nyj（sj- sj+1）}ds···dsn，其中sn+1=t。债券价格现在可以用定理5.1中的系列截断和来近似，即Bj（t，t）：=e-λ（T-t） （1+Pjn=1（(R)λ- λ） n···P（vn，··，v）∈VnψVn（λ-λλ-λ） Qj=nkvjq（vj- vj公司-1） Int，T（yvn，···，yv）。命题4.1【8】表明，截短的总和为二阶，结果表明，波动系数β仅在j=2时出现。因此，应考虑至少j=2，即P（t，t），以考虑近似结果中的波动系数。P=e-λ（T-t） 是任何初始违约强度下无风险债券价格的明显上限。由于违约强度有一个有界支撑，我们也可以推导出无套利债券价格的上下限。下面的结果是[8]中的定理4.2。定理5.2。（i） 下限：exp-λu（T- t）- (λ - λu)1 - e-α（T-t） α≤ B（t，t）（ii）上界B（t，t）≤1.- γ - （z）- γ))1 - e-α（T-t） αe-λ（T-t）+γ+（z- γ)1 - e-α（T-t） αe-\'λ（T-t） ，其中z=λ-λλ-λ和γ=λu-λλ-λ.备注5（恢复）。根据定理4.4，当替换λ时，可以立即推广到市场价值的分数恢复*在h的上述计算中*.第13号参考文献[1]A.Aksamit和M.Jeanblanc下的信用风险。扩大金融审查的过滤。SpringerBriefs《定量金融》，2017年。[2] P.Artzner和F.Delbaen。

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