可违约期限结构模型中的模糊性

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英文标题：
《Ambiguity in defaultable term structure models》
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作者：
Tolulope Fadina, Thorsten Schmidt
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We introduce the concept of no-arbitrage in a credit risk market under ambiguity considering an intensity-based framework. We assume the default intensity is not exactly known but lies between an upper and lower bound. By means of the Girsanov theorem, we start from the reference measure where the intensity is equal to $1$ and construct the set of equivalent martingale measures. From this viewpoint, the credit risky case turns out to be similar to the case of drift uncertainty in the $G$-expectation framework. Finally, we derive the interval of no-arbitrage prices for general bond prices in a Markovian setting.
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中文摘要：
我们引入了模糊信用风险市场中无套利的概念，并考虑了基于强度的框架。我们假设默认强度不完全已知，但介于上限和下限之间。利用Girsanov定理，我们从强度等于$1$的参考测度出发，构造了等价鞅测度集。从这个角度来看，信贷风险案例与美元G$预期框架中的漂移不确定性案例类似。最后，我们推导了马尔可夫环境下一般债券价格的无套利价格区间。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：期限结构 结构模型 模糊性 Mathematical Quantitative

可违约期限结构模型中的模糊性。TOLULOPE FADINA和THORSTEN SCHMIDTAbstract。我们在一个基于强度的框架下，引入了模糊信用风险市场中无套利的概念。我们假设默认强度不完全已知，但位于上下边界之间。利用Girsanov定理，我们从强度等于1的参考测度出发，构造了等价鞅测度集。从这个角度来看，信贷风险案例与G-期望框架中的漂移不确定性案例类似。最后，我们推导了一般债券价格在马尔可夫分布下的无套利价格区间。关键词：模型模糊性、违约时间、信用风险、无套利、简化的HJM模型、恢复过程。1、导言对当前金融模型的一个重要反映表明，金融市场模型需要对潜在概率分布的精确知识，而这显然是未知的。通常，未知分布通过统计方法进行估计，或通过金融市场的amodel对给定的市场数据进行校准。对最近金融危机的分析表明，这带来了巨大的模型风险。已经指出了一种风险公式，它能够以系统的方式处理此类挑战。紧随其后的是【11】，他将概率分布已知的随机变量称为确定变量，而概率分布未知的随机变量称为不确定变量。根据该领域的现代文献，我们将概率分布不完全固定的特征称为模糊性。这一领域最近重新引起了数学金融研究人员对套利条件、定价机制和超级对冲等基本主题的关注。

粗略地说，模糊性集中在一组概率度量上，其作用是确定相关事件和可忽略事件。本文将歧义的概念引入术语结构模型。期限结构模型的起点通常是formP（t，t）=e的债券价格-RTtf（t，u）du，0≤ t型≤ T（1），其中（f（T，T））0≤t型≤这是瞬时远期利率，T是到期时间。这遵循了[13]中提出的开创性方法。模型中信用风险的存在引入了一个额外的因素，即违约时间。在此背景下，我们假设债券价格相对于卡尔蔡司金融支持的到期日是绝对连续的，我们对此表示感谢。我们感谢Monique Jeanblanc的慷慨支持和有益的评论。代理人未能履行合同义务的风险。承担信用风险的工具的例子是公司债券。2 TOLULOPE FADINA和THORSTEN SCHMIDTthe bond。这一假设通常通过以下论点得到证实：在实践中，只有一定数量的债券是流动交易的，而完整的期限结构是通过插值得到的，因此是平滑的。市场违约风险建模有两种经典方法：结构方法[16]和简化形式方法（例如，这方面的一些前期工作见[2、9、15]）。在信贷风险的结构模型中，基础状态是假定可以观察到的企业资产集的价值。如果固定价值不足以支付债务，则在发行债券的到期日发生违约。因此，违约并不奇怪。一个例外是[22]的结构模型，其中允许企业资产价值跳跃。事实上，企业资产的价值是无法观察到的。

信用事件通常发生在公司实体未付款的对应关系中，在许多情况下，付款日期或息票日期是事先公开的。例如，阿根廷名义上错过了290亿美元的息票支付（2014年7月30日），希腊名义上错过了15亿欧元的息票支付（2015年6月30日）。可违约期限结构的简化形式（HJM型）模型通常假设存在违约强度，这意味着违约发生的概率为零，在可预测的时间内。因此，简化模型通常假设违约时间完全无法获得，并且在违约之前，债券价格相对于到期日是绝对连续的。也就是说，在零回收假设下，信用风险债券价格P（t，t）由P（t，t）=I{τ>t}e给出-RTtf（t，u）du（2），τ表示随机默认时间。这一方法已经在许多著作中进行了研究，并达到了一个非常普遍的水平，有关相关文献的概述，请参见【10，第3章】。假设随机默认时间τ具有强度过程λ。例如，对于恒定强度λ，默认值具有泊松到达强度λ。更一般地，对于τ>t，λt可被视为时间t的条件违约到达率，给出截至该时间的信息。在可违约债权的所有者在违约时收回其部分初始投资的情况下，将（2）中相关的生存过程I{τ>t}替换为半鞅。在模糊性下，我们建议手头有一些先验信息，可以给出强度的上下限。市场似乎早已认识到这一因素的不确定性，因为有重要的附加信息来源。默认概率分布已知的隐含假设非常敏感。

因此，我们在描述正确概率分布不确定性的多先验模型中分析我们的问题。利用Girsanov定理，我们从参考测度构造了先验集合。假设所有先验都是等价的，或者至少相对于参考度量是绝对连续的。从我们的框架来看，重要的是要承认，评级类别提供了一年期违约概率的估计值。此外，可以从评级迁移矩阵中获得3年和5年违约概率的估计值。因此，导致了一定的模型风险。本文的目的是将此模型风险纳入我们的模型中。也就是说，为考虑模型风险的可违约期限结构模型建模提供一个框架。违约索赔的所有人在违约时收到的金额。模糊条件下的信用风险3主要结果如下：我们获得了一个必要且充分的条件，即参考概率测度是由所有信用风险债券组成的模糊条件下金融市场的局部鞅测度，价格由（2）给出，从而确保在某种意义上没有套利，具体如下。此外，我们考虑这样一种情况，即我们拥有违约索赔所有人在违约时收到的部分金额信息。在无套利假设下，我们推导了马尔可夫集下债券价格的区间。本文的结构如下：下一节介绍了同构歧义及其实例。第三节介绍了齐次模糊条件下资产定价（FTAP）的基本定理。在第4节中，我们推导了具有零恢复和部分市场价值恢复的可违约期限结构模型的鲁棒无套利条件。

第5节讨论了马尔可夫环境下无套利机会假设下的债券定价区间。2、在固定的时间范围内，我们会考虑模糊性T*> 0、让(Ohm, F）为可测量空间。通过模糊性，我们指的是可测空间上的一组概率测度(Ohm, F）。尤其是，没有固定的和已知的衡量标准。对于信贷风险，最重要的情况是以下同质模糊情况：如果有一个度量值Psuch thatP，则称为同质模糊~ P对于所有P∈ P、 参考度量PHA是指在考虑的所有概率度量中，测量零事件的筛选作用。从直觉上看，这些测量值为零的事件没有歧义。我们写下关于参考度量P的预期。备注1。由于所有概率测度P的等价性∈ P、 关于概率测度P，几乎可以肯定所有的等式和不等式都成立∈ P、 或者，分别为P.基于强度的模型中的模糊性。基于强度的模型是信用风险中最常用的方法之一，有关相关文献的概述，请参见【3，第8章】，现在我们在这门课中引入模糊性。考虑可能性空间(Ohm, G，P）支持d维布朗运动W，正则和增广过滤F=（Ft）0≤t型≤T*和标准指数随机变量τ，与FT无关*, 也就是说，P（t<τ| Ft）=exp(-t） ，0≤ t型≤T*. 完全过滤G=（Gt）0≤t型≤T*通过F与τ的逐步放大得到，即Gt=\\>0σ（{t≥τ} ，Ws:0≤ s≤ t+), 0≤ t型≤ T*.我们假设G=GT*. 利用Girsanov定理，我们显式地构造了测度Pλ，其中在Pλ下，缺省时间τ具有强度λ。

在这方面，考虑逐步可测量和积极的过程λ，可以以标准方式对P进行强化。我们参考[1]了解更多文献。4 TOLULOPE FADINA和THORSTEN Schmidth密度过程ZλbyZλt：=经验值Rt（1- λs）ds, t<τλτexpRτ（1- λs）dst型≥ τ.（3） 注意，Zλ实际上是一个G-鞅，对应于一个Girsanov类型的测度变化（参见[4]中的定理VI.2.2]）。此外，如果E[ZλT*] = 1我们可以确定测量值Pλ~ PasPλ（A）：=E（AZλT*) A.∈ G（4） 该设置中的模糊度将按照间隔[λ，λ]进行测量 (0, ∞) 其中λ和λ表示默认强度的下限（上限）。我们用H定义密度生成器集H：={λ：λ是F-可预测的，λ≤ λt≤ λ、 t型∈ [0，T*]}.此外，我们用'P：={Pλ：λ表示模糊度下的概率测度集∈\'\'H}。（5） 备注2。该设置可以很容易地扩展到时变边界[λ（t），λ（t）]，0≤ t型≤ T*. 此外，随机过程的扩展也是有可能的，但代价是牺牲了一些微妙的可测量性问题。引理2.1。P是一个凸集。证据考虑Pλ，Pλ∈(R)P和α∈ (0, 1). 那么，αPλ（A）+（1- α） Pλ（A）=EA（αZλT*+ (1 - α） ZλT*).现在考虑（定义良好的）强度λ，由ztλsds给出：=t- 对数αeRt（1-λs）ds+（1- α） eRt（1-λs）dsi，0≤ t型≤ T*. 那么，αZλT*+ (1 - α） ZλT*= ZλT*使得通过（4），Pλ~ 倾向于适当改变度量。我们必须检查λ∈\'H，这意味着λ满足λ∈ [λ, λ], 0 ≤ t型≤ T*: 请注意，t- 对数αeRt（1-λs）ds+（1- α） eRt（1-λs）dsi≤ t型- 对数αeRt（1-λ） ds+（1- α） eRt（1-λ） dsi公司≤ t型- t（1- λ） =λt和λs≤ λ如下。以类似的方式，我们得到λs≥ λ. 备注3。直觉上，要求λ>0表明，总是存在违约的积极风险，这在经济上是合理的。

从技术上讲，它有一个吸引人的结果，即“P”中所有考虑的措施都是等效的。有关动态模型中动态一致性概念的讨论，请参见[5]。模糊度5下的信用风险结果表明，可能的密度集将在与度量变化相关的情况下发挥重要作用。在这方面，我们通过A定义了关于P的容许测量变化：={λ*: λ*F-可预测且EP[Zλ*T*] < ∞ 对于所有P∈\'\'P}。伴生氡-尼科德姆导数Zλ*T*对于λ*∈从测量开始时，A是等效测量变化的可能RadonNikodym导数∈第3页。同质歧义下无套利无套利和相应的泛化，无免费午餐（NFL）、无免费午餐和消失风险（NFLVR），是假设概率测度已知且固定的公认概念。在这里，我们给出了一小部分无套利的充分条件，并将其推广到具有同质模糊性的环境中，并直接用债券市场来表述。首先，我们考虑一个仅由众多等级债券、小型市场组成的债券市场，下面是对更一般情况的扩展。如前所述，考虑可测空间上的一组（一般）概率测度P(Ohm, G）其中，PI是主要衡量指标，即P~ P对于所有P∈ P、 回想一下，在toP方面，有一个过滤器满足通常的条件。折扣价格过程由关于G的有限维半鞅X给出。半鞅性质等价于任何过滤G+或G+的增广，参见[17，命题2.2]。

众所周知，对于所有的P，X是一个半马尔蒂格尔∈ P、 自融资交易策略由可预测和X-可积过程Φ给出，贴现收益过程由Φ相对于X的随机积分给出，如（Φ·X）t=ZtΦudXu所示。套利是一种从零初始财富开始的策略，在所有可能的未来情景下都具有非负的收益，因此对于所有∈ P，其中至少有一个P，使得薪酬为正。这在以下定义中得到了形式化描述，例如比较[21]。通常，如果（Φ·X）t，交易策略是a-容许的≥ -a代表所有0≤ t型≤ T*.定义3.1。如果某个A>0和o（Φ·X）T允许，则自融资交易策略Φ称为P-套利*> 0表示所有P∈ P、 oP（（Φ·X）T*> 0）>每P 0∈ P、 这描述了通过承担较小或消失的风险，以正概率任意致富的可能性。如果X是Q-局部鞅，则概率测度Q称为局部鞅测度。众所周知，在一般半鞅市场中，无套利或更准确地说，无带消失风险的免费午餐（NFLVR）等价于等价局部鞅测度（ELMM）的存在，参见[6，7]。这一结果在技术上的难点在于表明，无套利的精确标准意味着存在ELMM。在下文中，我们将不针对托鲁洛普·法迪纳和托尔斯滕·施密特在模糊情况下产生的如此深刻的结果，而是利用简单的方向，即存在一个Elmmi意味着没有套利，如下所述。ELMS关于P简单的定义，因为我们考虑的是同质情况和支配测度P。定义3.2。

测度Q称为等价局部鞅测度ifQ~ Pand Q是一个局部鞅测度。根据经典的资产定价基本定理（FTAP），下面的结果很容易得出。定理3.1。如果齐次族P存在等价的局部鞅测度Q，则在定义3.1的意义上不存在套利。证据实际上，假设存在关于某个测度P的套利Φ∈ P、 定义，Q~ 所以Q是P的ELMM。但是，Φ将是现有ELMM Q的一种任意策略，与经典FTAP相矛盾。4、歧义下的可违约期限结构在本节中，当违约强度存在歧义时，我们考虑违约风险下的动态期限结构建模。例如，该问题的相关性已在[20]中报告。在这里，我们以此为动机，提出一个精确的框架，考虑到违约强度的模糊性。我们继续在第2.4.1节介绍的环境中工作。动态术语结构。我们定义了默认指标过程H byHt={t≥τ}, 0 ≤ t型≤ T*.相关生存过程为1- H、 到期时间为T的信用风险债券是一种或有债权，承诺以T支付一单位货币。我们表示这种债券在时间t的价格≤ T乘以P（T，T）。如果在T之前未发生违约，则P（T，T）=1。我们将首先考虑零回收，即假设债券在违约时损失了总价值。那么{t上的P（t，t）=0≥ τ}.除了零恢复之外，我们只做了一个较弱的假设，即违约前的债券价格是正的，并且相对于到期日T是绝对连续的。这遵循了文献[13]中公认的方法。