正交多项式亚式期权定价

Lw标准l 是否为gi ven b yklkw=E（1{在≥在}- c（￠AT））σ装货单-ST AT+σ-老鼠w（￠AT）,其中，随机变量ATis独立于所有其他随机变量，并具有与AT相同的分布。这使我们能够得到的估计值l通过模拟随机向量（ST、AT、~AT）。在附录B中，我们描述了如何使用已知的几何平均密度函数作为有效控制变量，以显著减少蒙特卡罗模拟中的方差。利用Cauchy-Schwarz不等式，我们也有以下关于投影误差FNand的近似误差上界lK、 提案4.4。对于任意N≥ 0我们有|π- π（N）|≤qFNlN（4.2）因此，如果F和/或l 用多项式Lw很好地逼近。计算上边界d涉及蒙特卡罗模拟来计算lN、 这使得将其用作N的决策规则不切实际。与期权价格的直接模拟相比，该界限应被视为近似误差的更保守估计。5数值示例在本节中，我们使用（3.4）中的级数展开计算亚式期权价格。正交基是使用Ap pendixA中描述的缩放技术构造的。我们设置ν=σT+10-4使命题3.1得到满足，并选择u，以便W的第一时刻与AT的第一时刻相匹配。因此，我们总是l=Z∞b（x）g（x）dx=hb，白车身=0。备注5.1。由于命题3.1中的限制ν>σT，选择u和ν以使前两个ATare矩通常不可能匹配。Kerer e t al.（2017）的Jacobi随机波动率模型也出现了类似的问题，其中期权的定价使用正态密度作为权重函数的多项式展开。Ackerer和Filipovi\'c（2017）通过使用两个正常密度的混合物作为权重函数来解决这个问题。

将W指定为正常密度的混合物在我们的环境中不起作用，因为在这种情况下l /∈ Lw。相反，我们可以使用两个对数正态密度的混合物：w（x）=cw（x）+（1- c） w（x），其中c∈ [0，1]是混合物重量，wand ware对数正态密度函数的平均参数为u，u∈ R、 和波动性参数ν，ν>0。为了应用命题3.1，必须选择ν>σT。剩下的参数可以自由选择，并用于高阶矩匹配。我们考虑一组七个参数化，这些参数化在amongothers、Eydeland and Geman（1995）、Fu et al.（1999）、Dufresn e（2000）和Linetsky（2004）中用作一组测试用例。表1的第一列包含七种情况的参数值。这些情况按τ=σT的增大大小排序。请注意，在所有情况下，S6=1 f，但我们将初始股价标准化为1，并相应地调整履约和期权价格。列LNS10、LNS15、L NS20（对数正态序列）分别包含n=10、15、20时使用（3.4）的期权价格近似值。列LS（Laguerre级数）和EE（特征值表达式）分别对应于Dufresne（2000）和Linetsky（2004）的级数展开式。VEC列显示了VECER（2001、2002）使用agrid的PDE方法（400个空间点和200个时间点）产生的价格。最后一列包含使用几何亚式期权价格作为控制变量cfr的蒙特卡罗模拟的95%置信区间。Kemna和Vorst（1990年）。我们模拟了时间步长为10的2×10价格轨迹-3并用离散平均值近似连续平均值。[表1在此附近]对于前三种情况，我们发现价格与Linetsky（2004）几乎相同，这是文献中最准确的基准之一。

值得注意的是，在案例1中，我们的方法并没有遇到任何波动性非常低的问题。许多其他现有方法不是近似AT的分布，而是近似log（AT）的分布，并相应地重写折扣payoff函数。在这种情况下，我们可以证明，将w指定为正态密度函数可以得到收敛于真实价格的级数近似。问题是，我们不知道log（AT）的矩，只知道AT的矩，因此无法明确计算序列中的项。此网格选择对应于inVecer（2001）使用的网格。通过显著增加网格中的空间点数量，PDE方法可以达到与Linetsky（2004）相同的精度。然而，这样做会使该方法非常慢。对此参数化有严重困难。事实上，Dufresne（2000）系列甚至没有接近真实价格，而Lelinesky（2004）需要400个术语才能获得准确的结果。Vecer（2001、2002）的价格接近真实价格，但仍超出95%蒙特卡罗置信区间。基于Geman和Yor（1993）的拉普拉斯变换数值反演的方法也与低波动性作斗争，因为它们涉及高度振荡被积函数的数值积分（见Fu et al.（1999））。当对案例1使用精确算法时，我们的20+1项序列与Lintsky（2004）的400项序列一致，小数点后八位。当使用本节中用于所有数值结果的双精度算法时，价格同意四位小数，以四舍五入误差为准。对于案例4至7，LNS价格与EE基准略有不同。

然而，它们仍然非常接近，除案例4外，它们都在蒙特卡罗模拟的95%置信区间内。[图1在此附近]图1绘制了N范围为0到20的LNS价格近似值，以及Monte Carlo价格和相应的95%置信区间作为基准。我们观察到，在所有情况下，这些序列都收敛得非常快。事实上，在N=10时截断序列将得到几乎相同的结果。理论上，N可以选择任意大的值，但在有限精度算法中，舍入误差不可避免地会在某一点开始起作用。请注意，N=0和N=1的价格是相同的，这是因为辅助分布与AT的第一时刻相匹配。图2绘制了模拟真实密度g（x）和（3.6）中定义的近似密度g（0）（x）、g（4）（x）和g（20）（x）。使用附录B中的（B.2）模拟真实密度，这是（4.1）的扩展，使用几何平均值的密度作为强大的控制变量。注意，g（0）（x）=w（x），因为b（x）=l= 我们可以看到，近似密度接近真实密度，因为我们在展开式中包含了更多项。在图2a和2b中，近似值g（20）（x）与真实密度几乎无法区分。然而，在图2c和2d中，g（x）和g（20）（x）之间存在明显差异。这与我们之前在表1中观察到的定价错误一致。以上结果表明，对于τ不太高的情况，Lns提供了非常精确的期权价格近似值。

这并不完全令人惊讶，因为τ决定了辅助对数正态密度w的挥发度参数，从而决定了w的尾部归零的速度。粗略地说，当τ很小时，在Lwis中的多项式集上投影支付函数或似然比函数几乎就像在紧致区间多项式上逼近连续函数一样。然而，当τ变大时，w的尾部衰减缓慢，用Lw中的多项式逼近函数变得越来越困难。换言之，对于较大的τ值，对数正态分布的矩不确定性开始发挥更重要的作用。因此，一个自然的问题是，这是否会对期权定价目的造成问题。在图3A中，我们确定T=1，并绘制σ的值范围，平方相对误差re=^πMC- π(20)π(20)!,其中^πMCdenotes为蒙特卡罗价格估算。错误开始变得明显。图1和图2仅显示案例1、3、5和7。其他情况下的曲线图看起来非常相似，可以根据需要使用。σ=80%左右，其中√SRE公司≈ 0.5%. σ值越大，误差越大。在图3B中，我们使用（4.2）中的上界绘制了相对误差平方的更保守估计。该图显示，σ大于约70%时，上界仅与零显著不同。图4给出了σ=100%的极端情况下更详细的细节。虽然LNS系列收敛速度相对较快，但从图4A可以清楚地看出，它并没有收敛到真正的价格。如前所述，原因是支付函数和似然比函数不能用Lw范数中的多项式精确近似，如图4c和4d中的投影误差所示。

通过保持σ固定并改变到期日T，我们将获得类似的结果，因为渐进定价误差的关键参数是τ=σT。根据经验，我们建议在τ≤ 0.5.【图3和图4】本文提出的方法的主要优点是易于实现和计算速度。序列中的所有项都是完全显式的，只涉及简单的线性代数运算。表2显示了具有N的LNS的计算时间∈ {10、25、20}，以及基准方法的计算时间。LNS计算时间均以毫秒为单位。虽然EE非常精确，但它的代价是对Whittaker函数进行昂贵的计算，从而导致计算时间过长（几秒钟左右）。LS不需要调用特殊函数，但该方法通过计算平均值倒数的矩所涉及的数值积分而降低。EE和LS的实现都需要使用能够处理符号数学的软件，与LNS的实现相反。在本文考虑的基准测试中，VEC方法速度最快，但仍比LNS慢一个数量级。[表2在此附近]6结论我们使用与对数正态分布正交的多项式对连续采样算术亚式期权进行了系列展开。这些级数中的项是完全明确的，不需要任何数值积分或特殊函数，这使得该方法非常快速。我们已经证明，如果辅助对数正态分布的波动率足够高，则序列不会发散。然而，无法保证该系列收敛于真实价格。

我们对这种不对称偏差进行了数值研究，发现其大小与τ=σT的大小有关。对于LS，所有与平均值倒数矩相关的符号计算都是使用Matlab的符号数学工具箱进行计算的。我们在序列中使用15+1项，在双精度算法中，项数越多，则会导致严重的舍入问题。对于EE，已实现inLinetsky（2004）中的积分表示（16），而不是级数表示（15）。级数表示的实现涉及Whittaker函数相对于其指数的偏导数。这些导数在Matlab的符号数学工具箱中不可用，数值有限差分近似不能给出准确的结果。所有数值积分均使用Matlab的内置函数积分进行。对于案例1，EE中的数值积分没有在合理的时间内完成。对于VEC方法，我们使用Jan Vecer教授的Matlab实现，可以在http://www.stat.columbia.edu/~vecer/asiancontinuous。m、 所有计算均在配备Intel Xeon 3.50GHz CPU的台式计算机上执行。我们的方法有几个扩展。首先，我们可以使用完全相同的设置处理离散monitoredAsian选项，但将连续平均值的矩替换为离散平均值的矩。后者很容易使用迭代期望来计算。其次，我们在本文中只研究固定行使亚式期权。自流程开始St，RtSudu是一个多项式微分，我们可以计算它的所有混合矩。然后，通过使用二元对数正态分布作为辅助分布，我们的方法可以扩展到价格浮动的行使亚洲期权。

最后，我们可以将辅助密度w定义为对数正态密度的混合，正如inAckerer和Filipovi\'c（2017）所研究的那样。使用mixtu re允许匹配高阶矩，这可以加快近似序列的收敛速度。参考Sackerer，D.和D.Filipov i'c（2017）。正交多项式展开的期权定价。工作文件。Ackerer，D.、D.Filipovi\'c和S.Pulido（2017年）。雅可比随机波动模型。财务与随机，1-34。Al Mohy，A.H.和N.J.Higham（2011年）。计算矩阵指数的作用，并将其应用于指数积分器。暹罗科学计算杂志33（2），488–511。Aprahamian，H.和B.Maddah（2015年）。通过复合gamma和thogonal多项式为亚洲期权定价。应用数学与计算264，21–43。Asmu ssen，S.、P.-O.Go Offard和P.J.Laub（2016年）。正交多项式展开和对数正态和密度。arXiv预印本arXiv:1601.01763。Bally，V.（2003年）。Malliavin微积分的初步介绍。INRIA博士论文。Benhamou，E.（2002年）。离散亚式期权的快速傅立叶变换。计算金融杂志6（1），49–68。Bj¨orck，k.和V.Pereyra（1970年）。Vandermonde方程组的解。数学计算24（112），893–903。Black，F.和M.Scholes（1973年）。期权和公司负债的定价。《政治经济杂志》81（3），637–654。Calari，M.、P.Kandolf、A.Ostermann和S.Rainer（2014年）。计算矩阵指数作用的软件比较。位数字数学54（1），113–128。Carmona，P.、F.Petit和M.Yor（1997年）。关于L'evy过程的指数泛函的分布和渐近结果。与布朗运动相关的指数泛函和主值，73–121。Carverhill，A.和L.Clewlow（1990年）。评估平均利率（亚洲）期权。

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