正交多项式亚式期权定价

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，fN）米-1 GNTHN（0），（A.1），其中我们定义了矩阵（（GN）ij）0≤i、 j≤N、 （Mij）0≤i、 j≤与矢量（f，…，fN）asMij=eijν，fi=eu+（2i+1）νΦ（di+1）-KΦ（di），（GN）ij=ir+i（i- 1） σj=iiTe-u+(1-2i）νj=i- 10 els e，对于i，j=0，Nm和（f，…，fN）的分量增长速度慢得多，因为它们的对应物M和（~f，，~fN）, 分别地向量eGNTHN（0）对应于at的矩除以w对应的矩。由于这两个矩的增长率大致相同，因此该向量的分量将围绕一个。这种缩放非常重要，因为对于大N来说，ATare的原始时刻是巨大的。这导致了麻烦，例如inDufresne（2000）。因此，我们通过直接计算相对力矩，避免了爆炸力矩行为产生的数值精度。可能性和支付系数可以通过执行Cholesky分解M而不是M来计算：（f，…，fN）= e-rTL公司-1（f，…，fN）,(l, . . . , lN）= L-1eGNTHN（0），其中m=L L是M的Cholesky分解。请注意，要计算（A.1）中的选项p rice，我们不一定需要进行Choleskydecomposition。实际上，我们只需要反转矩阵X。进行Cholesky分解是解决线性系统的一种方法，但还有其他可能性。特别是，M是Vandermond e矩阵，其逆可以解析计算（参见Turner（1966））。也存在求解线性Vandermonde系统的特定数值方法，参见。g、 比约克和佩雷拉（1970）。然而，对于本文考虑的例子，我们没有发现Cholesky方法和替代矩阵反演技术之间有任何显著差异。对于非常大的ν值，甚至矩阵xm也可能病态。

在这种情况下，建议使用三项递归关系：引理A.1来构造正交b基。多项式bn∈ Poln（R），n=0，1。，递归定义为b（x）=1，b（x）=β（x-α） ，bn（x）=βn（（x-αn-1） bn公司-1（x）- βn-10亿-2（x）），n=2，3，αn=eu+ν（n-)eν（n+1）+eνn- 1., n=0，1。βn=eu+ν（3n-2） peνn- 1，n=1，2，satisfyZRbi（x）bj（x）w（x）dx=（1 i=j0 else，i，j=0，1，…。证明。正规d分布矩母函数和定理1.29 inGautschi（2004）的直接应用。上述递归避免了小ν双精度算法中的舍入误差，但对大ν非常精确。B模拟g（x）的控制变量为了提高g（x）蒙特卡罗模拟的效率，我们在本附录中描述了如何使用几何平均密度作为控制变量。Kemna和Vorst（1990）提出了这一想法，他们报告称，在模拟算术亚洲期权价格时，将几何亚洲期权价格作为控制变量时，方差显著减少。用QT=exp表示TRTlog（Ss）ds几何平均价格。不难看出对数（QT）是正态分布，平均值（r-σ） T和方差σT。因此，QTis呈对数正态分布，我们清楚地知道它的密度函数，我们用q（x）表示。与引理4.1一样，我们也可以将q（x）表示为期望：引理B.1。对于任何x∈ Rq（x）=E{QT≥x}- c（x）2BTσT QT+QT,（B.1）其中c是任何确定的有限价值函数。我们现在为算术平均值的密度提出以下估计：g（x）=E（1{在≥x}- c（x））σ装货单- ST AT+σ- 老鼠+q（x）-{QT≥x}-c（x）2BTσT QT+QT,（B.2）对于某些确定性有限值函数，c。

考虑到几何平均值和算术平均值之间通常具有很高的相关性，上述估计值的方差明显小于（4.1）中的估计值。在数值示例中，功能和注意选择如下：c（x）=1x≤mA，c（x）=1x≤mQ，其中Ma和mQ分别表示At和QT的第一时刻。最后，我们使用（B.2）来表示klkwas可使用蒙特卡洛模拟法评估的期望值：klkw=E（1{在≥在}- c（￠AT））σ装货单-ST AT+σ-老鼠w（▄AT）+q（▄AT）-{QT≥在}- c（￠AT）2BTσT QT+QTw（￠AT）,（B.3）其中，r是一个dom变量，与所有其他随机变量无关，且具有与AT相同的分布。在数值示例中，我们发现方差大约减少了一个系数。C证明本附录包含所有证明。C、 1引理的证明2.1利用布朗运动的时间反转特性，我们在法律中有以下等式，对于固定t>0:tAt=Zte（r-σ） u+σBudulaw=中兴通讯（r-σ） （t-u） +σ（Bt-Bu）du=StZtS-1杜邦。将It^o引理应用于Xt：=StRtS-1DU givesdXt=StS-1tdt+ZtS-1DU（rStdt+σStdBt）=（rXt+1）dt+σXtdBt。C、 2命题证明2.2将（2.1）中的微分对应的微元生成器G应用于单项式向量：Gxn=xn（nr+n（n- 1） σ）+nxn-因此，我们有GHn（x）=▄GnHn（x）分量，其中▄Gn定义为▄Gn=1 r。。。。。。n（nr+n（n- 1)σ).利用引理2.1分布中的恒等式，我们得到了e[Hn（AT）]=diag（Hn（T-1） ）E[Hn（XT）]=诊断（Hn（T-1))Hn（X）+中兴通讯[GHn（Xu）]杜= 诊断（Hn（T-1） ）Hn（0）+诊断（Hn（T-1） ）~GnZTE[Hn（Xu）]du=Hn（0）+诊断（Hn（T-1） ）～Gndiag（Hn（T））ZTE[Hn（Au）]du=Hn（0）+GnZTE[Hn（Au）]du，其中GN在（2.2）中定义。现在，通过求解上述线性一阶节点，可以得到以下结果。C、 3命题证明2.31。我们将证明（2.1）中SDE在时间T>0时的解允许一个光滑的密度函数。

然后，在法律上的身份之后，才是这种主张。确定波动率和漂移函数a（x）=σx，b（x）=rx+1。在这种情况下，H¨ormander的条件（例如参见inNualart（2006）第2.3.2节）变为：a（X）6=0或a（n）（X）b（X）6=0 f或某些n≥ 1.当n=1时，满足H¨ormander条件，我们有a′（0）b（0）=σ6=0。由于CEA（x）和b（x）是具有所有阶有界偏导数的完全可微分函数，我们通过Nualart（2006）中的定理2.3.3得出结论，XT，因此AT，允许光滑密度函数。2、我们从以下两个观察开始：≤ sup0≤u≤TSU和Psup0≤u≤TσBu≥ x！=2P级Z≥xσ√T,其中Z~ N（0，1）。利用指数是一个递增函数的事实，我们得到≥ x）≤ Psup0≤u≤TSu公司≥ x！=Psup0≤u≤T（r-σ） u+σBu≥ 日志（x）！≤2P级Z≥日志（x）-（r）-σ） Tσ√T如果r≥σ2PZ≥对数（x）σ√T如果r≤σ.应用l\'H^opital giveslimx的规则→∞g（x）e-对数（x）2σT-1=极限→∞P（在≥ x）Z∞xe公司-对数（y）2σTdy-1.≤ 2.√2πTσlimx→∞Z∞xe公司-（对数（y）-（r）-σ） +T）2σTdyZ∞xe公司-对数（y）2σTdy-1=rπTσ。因此我们证明了g（x）=Oexpn公司-对数（x）σ至对于x→ ∞.由于指数是一个凸函数，我们知道算术平均值总是被几何平均值包围在下面：AT≥ QT=expTZTlog（Ss）ds.不难看出对数（QT）与平均值（r）呈正态分布-σ） T和方差σT。通过与前面一样的奇异参数，我们得到g（x）=O经验值-对数（x）σT对于x→ 命题3.1的证明我们可以写出l 问lkw=Z∞g（x）w（x）w（x）dx=Z形（x）w（x）dx+Zbag（x）w（x）dx+Z∞bg（x）w（x）dx，（C.1）对于某些0<a<b<∞. 第二项是有限的，因为函数在紧凑区间[a，b]上是连续的。

根据命题2.3，我们得到g（x）=O经验值-对数（x）σT, 对于x→ ∞ 和x→ 对于对数正态密度，我们得到w（x）=O经验值-对数（x）2ν, 对于x→ ∞ 和x→ 0.由于假设2ν>σT，我们保证（C.1）中的第一项和最后一项对于a（b）的选择非常小（或较大）。C、 5命题证明3.3支付系数可以写成（f，…，fN）= e-rTC（▄f，▄fN）,带▄fn=√2πνZ∞（例如- K） +enxe-（十）-u）2νdx=√2πνZ∞对数（K）e（n+1）xe-（十）-u）2νdx- KZ公司∞对数（K）enxe-（十）-u）2νdx！。完成指数中的平方给出√2πνZ∞对数（K）enxe-（十）-u）2νdx=√2πνeun+nνZ∞对数（K）e-（十）-（u+νn））2νdx=√2πeun+nνZ∞对数（K）-（u+νn）νe-ydy=eun+nνΦ（dn），其中dn在（3.5）中定义。我们最终得到▄fn=eu（n+1）+（n+1）νΦ（dn+1）-Keun+nνΦ（dn）。C、 6引理的证明4.1该证明基于Malliavin微积分技术，我们参考Nualart（2006）对该领域标准结果的概述。Fourni\'e等人（1999年）采用类似的方法，通过蒙特卡罗模拟计算亚式期权的希腊人。用D表示：D1,2→ L(Ohm ×[0，T]），F 7→ {DtF，t∈ [0，T]}，Malliavin导数算子。根据（Nualart，2006）中的定理2.2.1，我们得到了St，At∈ D1,2对于t∈ （0，T）和灰尘=σSt{u≤t} ，DuAt=σtZtuSsds。用δ表示：Dom（δ）→ L(Ohm), {Xt，t∈ [0，T]}7→ δ（X）Skorohod积分和Dom（δ） L(Ohm×[0，T]）对应的域。Skorohodin积分被定义为Malliavin导数的伴随算子，可以将It^o积分扩展到非自适应过程。

特别是，我们立即得到{St，t∈ [0，T]}∈ Dom（δ）和（C.2）δ（S）=ZTSsdBs。对于φ∈ C∞cwe有φ（AT）∈ D1,2和ZT（Duφ（AT））Sudu=φ′（AT）ZT（DuAT）Sudu。利用Skorohod积分和Malliavin导数之间的对偶关系，wegetE[φ′（AT）]=E“ZT（Duφ（AT））SuRT（DuAT）sudududu#=E”φ（AT）δSRT（DuAT）Sudu！#。（C.3）通过引理1 Inbaly（2003）（参见Nu-alart（2006）中的命题2.1.1，了解类似的方法），我们得到了AT:g（x）=E{AT的密度函数的以下表示≥x} δSRT（DuAT）Sudu#=TσE{AT≥x} δSRTSuRTuSsds du！#。（C.4）交换整合顺序=ZTSudu公司-ZTZUSSDS du公司=ZTSudu公司-ztsSztsudu ds，它给出了srtsurtsuds du=TAT。将其插入（C.4）给定sg（x）=TσE{在≥x} δ坐.我们使用命题1.3.3 inNualart（2006）计算出随机变量A-2t自theSkorohod积分：δ坐= A.-2Tδ（S）-ZTDt公司A.-2吨Stdt=A-2Tσ装货单- S- RZTSDS-ZTDt公司A.-2吨Stdt，非正式地说，我们应用正则化参数来使用（C.3）表示（移位的）重微分函数φ（y）=1{y≥x} 。我们在上一个等式中使用了（C.2）。用链式法则求Malliavin导数wegetδ坐= A.-2Tσ装货单-S- RZTSDS+ 2A级-3TZTDtATStdt=A-2Tσ（ST- S- rT AT）+2A-3TTZTStZTtσSudu dt=A-2Tσ（ST- S- rT AT）+A-1TσT=A-2Tσ（ST- S） +TσA-1T（σ- r） 。把所有的东西放在一起，我们最终得到：g（x）=σE{在≥x}装货单- ST AT+σ- 老鼠.由于Skorohod积分的期望值为零，因此我们也将g（x）=σE{在≥x}- c（x）装货单- ST AT+σ- 老鼠,对于任何确定性有限值函数c.c.7推论4.3的证明，结果紧随（4.1）和Klkw=Z∞l（x） w（x）dx=Z∞g（x）w（x）g（x）dx。C、 8命题的证明4.4使用C au-chy-Schwarz不等式和多项式b的正交性。

，bNweget |π- π（N）|=hF、liw-NXn=0fnln=*F-NXn=0bnfn，l -NXn=0亿ln+w≤F-NXn=0bnfnwl -NXn=0亿lnw=kF kw-NXn=0fn！kl千瓦-NXn=0lnC、 9引理B.1将Malliavin导数应用于QTgivesDuQT=QTDu的证明TZTlog（Ss）ds= QTσT（T- u） 1u≤T、 类似于在Lemma4.1中，我们可以写eq（x）=E{QT≥x} δRTDuQTdu！#=E{QT≥x} δQTσT.（C.5）使用命题1.3.3 inNualart（2006）从Skoroh-odintegral得出的δ中计算出r和dom变量QTσT=2BTσT QT-σTZTDu（Q-1T）du=2BTσT QT-σTQ-2TZTQTσT（T- u） du=2BTσT QT+QT。将其插回（C.5）最终给定SQ（x）=E{QT≥x}2BTσT QT+QT.由于Skorohod积分的期望值为零，因此我们也可以求出q（x）=E{QT≥x}- c（x）2BTσT QT+QT,对于任何确定性有限值函数c。情况rσT SLNS10 LNS15 LNS20 LS EE VEC MC 95%CI1。02 .10 1 2.0 .05601 .05600 .05599 .0197 .05599 .05595 [.05598, .05599]2 .18 .30 1 2.0 .2185 .2184 .2184 .2184 .2184 .2184 [.2183 , .2185]3 .0125 .25 2 2.0 .1723 .1722 .1722 .1723 .1723 .1723 [.1722 , .1724]4 .05 .50 1 1.9 .1930 .1927 .1928 .1932 .1932 .1932 [.1929 , .1933]5 .05 .50 1 2.0 .2466 .2461 .2461 .2464 .2464 .2464 [.2461 , .2466]6 .05 .50 1 2.1 .3068 .3062 .3061 .3062 .3062 .3062 [.3060 , .3065]7 .05 .50 2 2.0 .3501 .3499 .3499 .3501 .3501 .3500[.3494，.3504]表1：不同参数化和不同方法的价格近似值。所有情况下，罢工价格均为K=2。

LNSX列指的是本文中提出的方法，其中包含序列的前1+X项，LS到Dufresne（2000），E到Linetsky（2004），VEC到Vecer（2001，2002），MC 95%CI到蒙特卡罗模拟的95%置信区间。案例rσT SLNS10 LNS15 LNS20 LS EE VEC MC1。02 .10 1 2.0 .006 .008 .009 .930 - .277 6.3442 .18 .30 1 2.0 .002 .002 .003 .666 2.901 .345 5.5183 .0125 .25 2 2.0 .002 .002 .002 .635 3.505 .374 12.1384 .05 .50 1 1.9 .001 .002 .003 .785 3.172 .404 6.8195 .05 .50 1 2.0 .001 .002 .002 .701 2.768 .404 5.4326 .05 .50 1 2.1 .001 .001 .002 .687 2.719 .398 5.4527 .05 .50 2 2.0 .002 .002 .004 .594 2.202 .438 11.699表2：计算时间（秒）。L NSX列指的是本文中提出的方法，包括序列的前1+X项、LS toDufresne（2000）、EE to Linetsky（2004）、VEC toVecer（2001、2002）和MC to Monte Carlo模拟。0 2 4 6 8 10 12 14 16 200.0540.0560.0580.060.0620.0640.0660.068多项式展开CMC 95%CI（a）案例10 2 6 8 10 12 14 16 200.170.1750.180.1850.190.1950.20.2050.21多项式展开CMC 95%CI（b）案例30 2 4 6 8 10 12 16 200.240.250.260.270.280.290.3多项式展开CMC 95%CI（c）案例50 2 4 6 8 10 12 16 200.340.360.370.380 390.40.410.42多项式展开式CMC95%-置信区间（d）案例7图1：多项式近似阶N函数中的亚式期权价格近似。案例对应于表1.0.7 0.8 0.9 1 1.1 1 1.2 1.3 1.4-1（a）案例10.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2 2.20.51.52.5（b）案例30.5 1 1 1.5 2 2 2 50.20.40.60.81.21.41.6（c）案例50 0.5 1 1 1.5 2 2 2 2.5 3 3.50.20.40.60.81.2（d）案例7图2：模拟真实密度函数g（x）和近似密度函数g（n）（x），n=0，4，20。

这些情况对应于表1.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-3（a）平方相对误差0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2-3（b）平方相对误差上限图3：σ不同值的平方相对近似误差。虚线对应蒙特卡罗模拟的95%置信区间。参数：T=1，r=0.05，S=K=2.0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.440.460.480.50.520.540.56多项式展开CMC 95%CI（a）蒙特卡罗模拟价格0.5 1 1.5 2 2 2.5 3.5 4 4 4.50.20.40.60.81.2（b）密度近似0 2 4 6 8 10 12 16 18 20-2-1（c）支付预测误差0 2 4 6 8 10 12 14 16 16 200.020.040.060.080.10.10 10.120.160.180.2（d）似然预测误差图4：项目偏差的可视化在极端波动的情况下。虚线lin与蒙特卡罗模拟的95%置信区间相对应。参数：σ=1，T=1，r=0.05，S=K=2。