正交多项式亚式期权定价

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英文标题：
《Asian Option Pricing with Orthogonal Polynomials》
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作者：
Sander Willems
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper we derive a series expansion for the price of a continuously sampled arithmetic Asian option in the Black-Scholes setting. The expansion is based on polynomials that are orthogonal with respect to the log-normal distribution. All terms in the series are fully explicit and no numerical integration nor any special functions are involved. We provide sufficient conditions to guarantee convergence of the series. The moment indeterminacy of the log-normal distribution introduces an asymptotic bias in the series, however we show numerically that the bias can safely be ignored in practice.
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中文摘要：
本文推导了Black-Scholes环境下连续抽样算术亚式期权价格的级数展开式。展开式基于与对数正态分布正交的多项式。级数中的所有项都是完全显式的，不涉及数值积分或任何特殊函数。我们提供了保证级数收敛的充分条件。对数正态分布的矩不确定性在序列中引入了一个渐近偏差，但我们在数值上表明，该偏差在实践中可以安全地忽略。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-6-6 20:00:11 上传

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关键词：亚式期权定价 正交多项式 亚式期权 期权定价 多项式

正交多项式亚式期权定价*Sander Willems+2018年9月14日即将出版的《定量金融》摘要本文推导了Black-Scholes环境下连续抽样算术亚式期权价格的级数展开式。展开式基于与对数正态分布正交的多项式。序列中的所有项都是完全明确的，不涉及数值积分或任何特殊函数。我们提供了保证级数收敛的充分条件。对数正态分布的矩不确定性在序列中引入了一个渐近偏差，但我们在数值上表明，该偏差在实践中可以安全地忽略。JEL分类：C32，G13关键词：亚式期权，期权定价，正交多项式1简介亚式期权是一种衍生合同，其支付取决于特定时期内标的资产的平均价值。由于支付的路径依赖性，这些合同的估值并不直接。即使在standardBlack和Scholes（1973）的设定中，（算术）平均股票价格的分布也是未知的。本文利用与对数正态分布正交的多项式，推导出Black-Scholes条件下亚式期权价格的级数表达式。这些系列中的术语是完全明确的，因为平均价格的所有时刻都是已知的。通过显示平均价格分布的尾部被对数正态分布的尾部所支配，我们证明了这些序列没有分歧。由于众所周知的对数正态分布的矩不确定性（见Heyde（1963）），理论上无法保证级数收敛到真实价格。

我们从数值上表明，对于标准参数化，这种渐近偏差很小，而真正的近似挑战在于控制在有限个项之后截断序列所产生的误差。关于亚式期权定价问题，已有大量文献。我们做了一个简短的概述，但绝不是详尽无遗的。一种方法是用更容易处理的方法近似平均价格的未知分布。Turnbull和Wakeman（1991），Levy（1992），*我感谢达米恩·阿克勒（DamienAckerer）、达米尔·菲利波维奇（DamirFilipovi\'c）、在布达佩斯举行的第九届应用概率国际研讨会的与会者，以及两位其他裁判的宝贵意见。导致这些结果的研究已获得欧盟第七框架计划（FP/2007-2013）/ERC赠款协议（编号307465-POLYTE）下欧洲研究理事会的资助+EPFL和瑞士金融研究所，1015 Lau sanne，Switzerland。电子邮件：sander。willems@epfl.Chrithken等人（1993），Li和Chen（2016）使用对数正态参考分布周围的Edgeworth表达式来近似几何布朗运动算术平均值的d分布。Ju（2002）和Sun等人（2013）使用泰勒级数方法从对数正态近似未知的n平均分布。米列夫斯基（Milevsky）和波斯纳（Posner）（1998）使用了数量匹配的逆伽马分布作为近似值。他们的选择是基于这样一个事实，即有限期平均股价具有反伽马分布。最近，Aprahamian和Maddah（2015）使用了矩匹配的复合伽马分布。虽然这些类型的近似导致了解析期权价格公式，但它们的主要缺点是缺乏可靠的误差估计。

第二部分文献集中于Monte Carlo和PDE方法。Kemna和Vorst（1990）建议使用连续抽样的几何期权价格作为控制变量，并表明它会导致显著的方差减少。Fu等人（1999）认为这是一个有偏差的控制变量，但有趣的是，偏差大约会影响模拟中离散计算连续平均值得出的偏差。Lapeyre等人（2001年）对不同的MonteCarlo方案进行了数值比较。Rogers和Shi（1995年）、Zvan等人（1996年）、Vecer（2001年、2002年）、Marcozzi（2003年）对定价PDE进行了数值求解。另一种方法是推导亚洲期权价格的界限，参见Curran（1994）、Rogers和Shi（1995）、Thompson（2002）和Vanmaele et al.（2006）。最后，有几篇论文推导出了亚洲期权价格的精确表达式。Yor（1992）将期权价格表示为三重积分，并进行数值评估。Geman和Yor（1993）推导了期权价格的拉普拉斯变换。然而，拉普拉斯变换的数值反演是一项微妙的任务，参见Eydeland和Geman（1995），Fu等人（1999），S haw（2002）。Carverhill和Clewlow（1990）将离散算术平均值的密度与密度的迭代卷积联系起来，后者通过快速傅立叶变换算法进行数值逼近。卷积法后来的扩展和改进包括Debenhamou（2002）、Fusai和Meucci（2008）、Cern\'y和Kyr iakou（2011）以及Fusai等人（2011）。Dufresne（2000）使用拉盖尔正交多项式导出了一个级数表示。Linetsky（2004）使用涉及Whittaker函数的谱展开导出了一个级数表示。本文采用的方法与Dufresne（2000）密切相关，因为两者都基于正交多项式展开。

拉盖尔级数展开在直接展开平均价格密度时可以表现为发散，这与平均价格分布的尾部比伽马分布的尾部更重有关。作为一种变通方法，Dufresne（2000）建议使用平均数的倒数，拉盖尔级数确实会收敛。这种方法的主要缺点是，倒数平均的动量不能以闭合形式获得，需要通过数值积分来计算，这会带来较高的计算成本和额外的数值错误。Asmu-ssen等人（2016年）使用不同的解决方法，并使用拉盖尔级数对对数正态随机变量和的密度进行指数倾斜转换。结果表明，指数倾斜变换保证了扩展的收敛性。然而，出现了一个与inDufresne（2000）相似的问题：指数倾斜密度的力矩在闭合形式下不可用，必须进行数值计算。相反，我们的方法是完全明确的，不涉及任何数值积分，这使得它非常快。仅在一个期限后截断ou r系列相当于在平均价格为对数正态分布的假设下对期权进行定价。因此，可以将序列中的其余项视为对数正态分布的修正。这与围绕对数正态分布使用Edgeworth展开的方法非常相似（cfr.Jarrow和Rudd（1982）以及Turnbull和Wakeman（1991））。与我们的方法的关键区别在于，Edgeworth表达式很容易发散，因为它缺乏适当的理论框架。相反，我们在本文中给出的序列保证收敛，可能具有较小的渐近偏差。

对近似误差的深入研究表明，交感偏差与股票价格过程的波动性和期权到期日呈正相关。我们使用Malliavin微积分中的分部积分公式来推导近似误差的上界。本文的其余部分结构如下。第2节分析了问题并导出了算术平均值分布的有用属性。第3节描述了用于近似期权价格的densityexpansion。在第4节中，我们将研究app roximationerror。第5节用数值例子说明了该方法。第6节结束。所有证明见附录C。2算术平均值的分布是随机基础(Ohm, F、 （Ft）t≥0，Q）满足通常条件，设Q为风险中性概率测度。我们考虑了Black-Scholes模型，其中股价St服从几何布朗运动：dSt=rStdt+σStdBt，其中r∈ R为短期利率，σ>0为资产波动率，Bta为标准布朗运动。为了便于记法，我们假设S=1，这不会失去一般性。我们将平均价格过程定义为t=tZtSudu，t>0。连续算术平均的亚式期权，行使K>0，结果T>0时的价格由π=e给出-rTE公司（位于-K）+.由于我们不知道AT的分布，因此无法明确计算期权价格。然而，我们可以得到关于其分布的有用结果。我们首先计算AT的所有时刻。利用布朗运动的时间反转性质，我们在法律上具有以下恒等式（cfr.Dufresne（1990），Carmona et al.（1997），Donati Martin et al.（2001），Linetsky（2004））：引理2.1。

随机变量T的分布与以下时间T的解相同：SDEdXt=（rXt+1）dt+σXtdBt，X=0。（2.1）由于（2.1）中的SDE定义了多项式微分（参见Filipovi\'c和Larss on（2016）），我们可以计算其解在给定时间内的所有闭式矩。因此，根据引理2.1的恒等式定律，我们也得到了阿汀闭式的所有矩：命题2.2。如果我们用Hn（x）=（1，x，…，xn）表示, n∈ N、 那么我们有e[Hn（AT）]=eGnTHn（0），其中Gn∈ R（n+1）×（n+1）是以下下对角线矩阵gn=Tr。。。。。。nT（nr+n（n- 1)σ).（2.2）鉴于矩阵指数是大多数科学计算软件包中的标准内置函数，上述矩公式非常容易实现。也有有效的数值方法可以直接计算矩阵指数的作用，参见Al-Mohy和Higham（2011）和Caliari等人（2014）。inGeman和Yor（1993）提出了一种等效但更为繁琐的力矩表示法。下面的命题表明，Atadmin是一个光滑密度函数g（x），其尾部由对数正态密度函数的尾部控制：命题2.3.1。随机变量A具有完全可微分的密度函数g（x）。2、密度函数g（x）具有以下渐近性质：g（x）=O经验值-对数（x）σT对于x→ 0，O经验值-对数（x）σT对于x→ ∞.3多项式展开根据与Ackerer et al.（2017）和Ackerer and Filipovi'c（2017）类似的结构，我们在本节中使用Filipovi'c et al.（2013）描述的密度展开方法来近似亚洲期权价格。将加权希尔伯特空间Lw定义为R上的可测函数集SF，Lw范数定义为kfkw=Z∞f（x）w（x）dx，w（x）=√2πνxexp-（对数（x）- u)2ν,（3.1）对于某些常数u∈ R、 ν>0。

权重函数w是对数正态分布的密度函数。两个函数f，h之间的对应标量积∈ Lwis definedashf，hiw=Z∞f（x）h（x）w（x）dx。由于与密度g和w相关的度量是等效的，我们可以定义相似比函数l 这样g（x）=l（x） w（x），x∈ (0, ∞).使用命题2.3，我们现在得到以下结果：命题3.1。如果ν>σT，则l ∈ Lw，我。e、 Z∞g（x）w（x）w（x）dx<∞.用Pol（R）表示R上的多项式集，用PolN（R）表示R上的多项式子集，最多N次方∈ N、 由于对数正态分布具有任何程度的有限矩，因此我们有PolN（R） LW适用于所有N∈ N、 让b，b，bn构成poln（R）的正交多项式基。例如，可以使用Cholesky分解从单项式基数值构造这样的基。事实上，确定Hankel矩矩阵M=（Mij）0≤i、 j≤NasMij=hxi，xjiw=eu（i+j）+（i+j）ν，i，j=0，N、 （3.2）这是建筑业的积极定义。如果我们用M=LL表示M的唯一Cholesky分解，然后（b（x），bN（x））= L-1HN（x）构成PolN（R）的正交多项式基。例如，构建正交基的替代方法是三项递推关系（详见Lemma.1）或Asmu-ssen等人（2016）定理1.1中导出的正交多项式的解析表达式。备注3.2。由于接地误差，（3.2）中定义的矩阵实际上可能是非正定义的。这个问题对于大型和/或大型ν变得越来越重要，因为M中的元素增长非常快。类似地，At的矩也会变得非常大，这会导致有限精度算法中的舍入误差。在附录a中，我们描述了一种在许多情况下解决这些问题的便捷缩放技术。确定贴现支付函数F（x）=e-rT（x-K） +。

自F（x）起≤ e-所有x的rTx≥ 0，我们立即得到F∈ Lw。表示byPol（R）Lw中Pol（R）的闭合。我们定义了预测期权价格'π=E['F（AT）]，其中'F表示Lw中F ontoPol（R）的正交投影。初等泛函分析得出‘∏=h’，liw=Xn≥0fnln、 （3.3）我们定义了可能性系数ln=hl, BNI和支付系数fn=hF，bniw。将（3.3）中的系列在有限个条款后截断，最终得出亚式期权价格的以下近似值：π（N）=NXn=0fnln、 n个∈ N、 （3.4）利用命题2.2的矩，以闭合形式提供似然系数：(l, . . . , lN）= L-1接地（0）。支付系数也可以明确推导，如以下命题所示。提案3.3。设Φ为标准正态累积分布函数。支付系数f，由（f，…，fN）决定= e-rTL公司-1（▄f，▄fN）,带▄fn=eu（n+1）+（n+1）νΦ（dn+1）-Keun+nνΦ（dn），n=0，N、 dn=u+νN- 对数（K）ν，n=0，N+1。（3.5）等效地，我们也可以通过投影l, 代替F，在多项式集上。这导致了（3.4）的解释，即当真实密度g（x）乘以g（N）（x）=w（x）NXn=0时获得的期权价格lnbn（x）。（3.6）函数g（N）（x）通过构造Z集成为1∞g（N）（x）dx=NXn=0lnhbn，b=1iw=l= 其中，最后一个等式来自于g（x）积分为1的事实。然而，它不是一个真正的概率密度函数，因为它不能保证是非负的。4近似误差（3.4）中近似引入的误差可分解为π- π（N）=（π- π) +π - π（N）.第二项保证收敛到零，即N→ ∞. 为了使第一个术语消失，我们需要F∈Pol（右）和/或l ∈ Pol（右）。

众所周知（参见Heyde（1963）），对数正态分布不是由其矩决定的。因此，多项式集在Lw:Pol（R）（Lw）中不是稠密的。因此，F，l ∈ LW不能保证误差分解中的第一项为零。本文的目标之一是量化误差项的重要性。因此，在本节中，我们将研究与投影F和l 关于多项式集。F和的Lw距离l 它们在PolN（R）上的各自正交投影由FN给出：=F-NXn=0bnfnw=kF kw-NXn=0fn，l编号：=l -NXn=0亿lnw=kl千瓦-NXn=0ln、 Payoff函数F的Lw范数可以按照非常类似的步骤明确推导，如在命题证明3.3中：kF kw=e-2rTe2u+2νΦ（d）-2Keu+0.5νΦ（d）+KΦ（d）,其中（3.5）中定义了d、d和dare。因此，我们可以显式地评估FN。的计算l自k以来更困难lKw取决于未知密度g（x）。下面的引理使用Malliavin演算的p部分公式积分到g（x）在期望方面的derivea表示，这可以通过蒙特卡罗模拟进行评估：引理4.1。对于任何x∈ R我们有g（x）=E{在≥x}- c（x）σ装货单- ST AT+σ- 老鼠,（4.1）其中，c是任何确定性的有限值函数。备注4.2。函数c的目的是保证模拟的g（x）实际为零→ 确实，如果我们设置c（x）≡ 0，则由于蒙特卡罗误差，g（0）可能与零不同，这可能导致计算时出现数值问题l（x） 。这可以通过使用指示器功能c（x）=1x来避免≤ξ、 对于某些ξ>0。作为（4.1）的直接结果，我们得到了似然比Lw范数的以下表达式。推论4.3。