金融数据的索引马尔可夫链：测试

∑（τ）=Cov（R（t+τ），R（t））V ar（R（t））。（31）我们使用上述模型（见图4）将真实数据收益率平方的自相关函数与模拟轨迹进行了比较（见图4）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.080.10.120.140.160.180.20.22真实数据四个变化点五个变化点三个变化点两个变化点一个变化点图4：不同数量变化的收益率平方的自相关索引过程的要点。图中显示，对于具有一个变化点的模型，收益平方的自相关迅速降至零。在选择两个变化点时，长程自相关显著改善。除了增加更多的变化点外，该功能仍在继续改进，即使在0.50 100 150 200状态110-410-310-210-11000 100 200 300 400状态210-410-310-210-11000 100 200 300 400状态310-410-310-210-11000 100 200 200 400 500状态410-410-310-210-210-11000 500 1000时间（分钟）10-410-310-210-11000状态5：进入给定波动性状态所需的时间分布。已对每个波动率水平的分布进行了估计。低速率。值得注意的是，对于具有四个变化点的模型，模拟数据的自相关函数最接近真实数据的自相关。再增加一个变更点似乎会恶化结果（即使与具有四个变更点的模型的差异很小）。作为最后的结果，在图5中，我们显示了volatilityprocess进入使用命题（1）计算的给定状态所需的时间分布。结果显示进入不同波动率状态所需时间的不同概率分布（指数过程），通常我们观察到进入波动率状态所需时间相对于波动率值的增加。

例如，如果我们考虑波动性状态1，我们注意到过程在200分钟内进入该状态，而对于波动性状态5，进入该状态的时间不到1000分钟。结论在本文中，我们将索引马尔可夫链模型定义为索引半马尔可夫链模型的一种特殊情况，并且我们面临着确定索引过程的最佳状态数的问题。我们通过将马尔可夫链的变化点方法应用于更一般的框架来解决这个问题，并计算了不同状态下指数过程第一次通过时间的概率分布函数。结果已应用于金融收益的时间序列，指数马尔可夫链模型令人满意地再现了金融时间序列的典型事实。指数过程的状态被解释为不同的波动区域，然后我们的模型还提供了用于金融资产估值的最佳波动区域数。未来的研究目标是将这些技术扩展到更一般的索引半马尔可夫链模型。参考文献【1】P.Br'emaud，马尔可夫链：吉布斯场，蒙特卡罗模拟，和队列，纽约州斯普林格，1999年。[2] N.Limnios，G.Opri,san，《半马尔可夫过程与可靠性》，波士顿：Birkhauser，2001年。[3] M.Kijima，《随机过程及其在金融中的应用》，CRC出版社，2013年。[4] J.Janssen，R.Manca，《应用半马尔可夫过程》，斯普林格科学与商业媒体，2006年。[5] W.Shiyun，L.K.Guan，C.Chang，《利用马尔可夫链研究日经指数期货日内动态的新方法》，《国际金融市场、机构和货币杂志》9（1999）247–265。[6] G.D\'Amico，F。

Petroni，《价格回报的半马尔可夫模型》，《物理学：统计力学及其应用》391（20）（2012）4867–4876。[7] G.D\'Amico，《年龄使用半马尔可夫模型》，应用数学建模35（2011）4354–4366。[8] G.D\'Amico，F.Petroni，《价格变化记忆的半马尔可夫模型》，统计力学杂志：理论与实验2011（12）（2011）P12009。[9] G.D\'Amico，F.Petroni，《金融收益建模的加权指数半马尔可夫模型》，《统计力学杂志：理论与实验2012》（07）（2012）P07015。[10] G.D\'Amico，F.Petroni，《通过半马尔可夫过程的多变量高频财务数据》，马尔可夫过程相关。字段（20）（2014）415–434。[11] G.D\'Amico，F.Petroni，《基于Copula的多元半马尔可夫模型及其在高频金融中的应用》，欧洲运筹学杂志。内政部：10.1016/j.ejor。2017.12.016.[12] J.Bulla，I.Bulla，《金融时间序列和隐半马尔可夫模型的程式化事实》，计算统计与数据分析51（2006）2192–2209。[13] M.Augustyniak，《马尔可夫切换GARCH模型的最大似然估计》，计算统计与数据分析76（2014）61–75。[14] H.Holzmann，F.Schwaiger，《Hiddenmarov模型中状态数的测试》，计算统计与数据分析100（2016）318–330。[15] A.M.Polansky，《马尔可夫链变化点的检测》，计算统计与数据分析51（12）（2007）6013–6026。[16] P.Billingsley，《马尔可夫链中的统计方法》，Ann。数学统计学家。32 (1961) 12–40.