金融数据的索引马尔可夫链：测试

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英文标题：
《Indexed Markov Chains for financial data: testing for the number of
  states of the index process》
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作者：
Guglielmo D\'Amico, Ada Lika, Filippo Petroni
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  A new branch based on Markov processes is developing in the recent literature of financial time series modeling. In this paper, an Indexed Markov Chain has been used to model high frequency price returns of quoted firms. The peculiarity of this type of model is that through the introduction of an Index process it is possible to consider the market volatility endogenously and two very important stylized facts of financial time series can be taken into account: long memory and volatility clustering. In this paper, first we propose a method for the optimal determination of the state space of the Index process which is based on a change-point approach for Markov chains. Furthermore we provide an explicit formula for the probability distribution function of the first change of state of the index process. Results are illustrated with an application to intra-day prices of a quoted Italian firm from January $1^{st}$, 2007 to December $31^{st}$ 2010.
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中文摘要：
在最近的金融时间序列建模文献中，基于马尔可夫过程的一个新分支正在发展。本文采用指数马尔可夫链对上市公司的高频价格收益进行建模。这类模型的特点是，通过引入指数过程，可以内生性地考虑市场波动性，并且可以考虑金融时间序列的两个非常重要的类型化事实：长记忆和波动性聚类。本文首先提出了一种基于马尔可夫链变点方法的指数过程状态空间的优化确定方法。此外，我们还提供了指数过程第一次状态变化的概率分布函数的显式公式。结果以一家意大利上市公司2007年1月1日至2010年12月31日的日内价格为例进行了说明。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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关键词：马尔可夫链 马尔可夫 金融数据 Econophysics Applications

金融数据的指数马尔可夫链：测试指数过程的状态数Guglielmo D\'Amicoa、Ada Likab、Filippo Petronibadipartmento di Farmacia、Chieti Pescara大学的“G.D\'Annunzio”，66013 Chieti，Italybdipartitiono di Scienze Economiche ed Aziendali，Universit\'a degli studi di Cagliari，09123 Cagliari，ItalyAbstractA基于马尔可夫过程的新分支正在最近的金融时间序列建模文献中发展。本文采用指数马尔可夫链对报价公司的高频价格回报进行建模。这类模型的可行性在于，通过引入指数过程，可以内生性地考虑市场波动性，并且可以考虑金融时间序列的两个非常重要的类型化事实：长记忆和波动性聚类。在本文中，我们首先提出了一种基于马尔可夫链变化点方法的指数过程状态空间的优化确定方法。此外，我们还提供了指数过程第一次状态变化的概率分布函数的显式公式。结果以2007年1月1日至2010年12月间意大利一家报价公司的Intra day价格为例进行了说明。关键词：变化点、财务回报、波动性2010 MSC:60J05、62M02、62P051。引言马尔可夫链和半马尔可夫模型已被广泛应用于物理学和工程学等学科，参见，例如[1，2]；金融和精算学也不例外，参见例如[3，4]。

他们在2018年2月6日提交给统计论文的许多应用预印本领域中的成功可能来自于模型定义和基本生成思想的简单性，而另一方面则来自于模型特定参数化的不必要规定。然而，马尔可夫链模型尚未用于财务回报的日内动态建模，一个显著的例外是[5]。马尔可夫链模型在描述日内数据方面的一个主要不足之处是收益率平方的自相关函数较低，这反过来又意味着波动率聚类的较低再现，见【6】。这一问题刺激了对似是而非的解决方案的研究，而这些解决方案并没有朝着提高马尔可夫链阶数的实际不可管理的方向发展。在一系列论文中，提出了索引半马尔可夫过程的思想，参见[7、8、9、10、11]。这些过程有助于再现高频金融数据的重要类型化事实，如收益率中不存在自相关、收益/损失不对称、收益平方的自相关函数以及有助于金融投资组合建模的多变量扩展。这些指数模型有一个非常吸引人的特性：从某种意义上说，它们是内生模型，不需要像ARCH/GARCH方法中那样引入噪声过程转换，也不需要引入不可观测过程（通常是隐马尔可夫链）来纳入波动性机制，参见。g、 [12、13、14]。指数过程是过去收益函数的移动平均值，通常它假定值为实数集。对于索引模型的实际应用，索引过程状态空间的离散化是一个关键点。

在之前的文章中，这一步骤是以一种神经论的方式执行的，考虑到指数过程的直方图，并考虑在给定数量的子区间中分布的比例。应用程序中的每个状态对应于一个波动性级别，该级别会改变收益的动态。在本文中，我们重点关注指数马尔可夫链（IMC）模型，并继续开发一种统计程序，该程序允许识别指数过程状态空间的最佳划分，以及相应地识别必要的波动率机制，以便进行准确建模。通过这种方式，我们获得了实现模型的自动化过程。该程序是对[15]开发的马尔可夫链变化点技术的一种改编。在【15】中，我们使用统计技术来确定马尔可夫链的动态变化发生的时间，并应用不同的转移概率矩阵。在我们的论文中，我们感兴趣的是确定指数过程的阈值，其中收益过程根据指数过程（波动性）发生重大变化，标志着与过去的不连续性。我们确定阈值的数量和大小，因此我们为索引的每个值估计一个转移概率矩阵。此外，还讨论了指数过程中下一次变化（波动率）的概率分布函数的确定问题，并确定了一个显式公式。所开发的概念适用于2007年1月1日至2010年12月31日在意大利证券交易所（Borsa Italiana）交易的埃尼集团股票的实际日内财务数据。

实证结果表明，最佳变化点数量为4，因此，我们确定了五种不同的波动水平，这对于获得接近真实数据的结果是必要的。本文组织如下：第2节对引入指数过程的马尔科夫模型进行了一般描述，第3节对基于变点方法的指数过程状态空间离散化进行了形式化描述，第4节给出了计算过程进入某一指数级可能性的显式公式。最后，第5节展示了该方法的实证应用。2、指数马尔可夫过程由于状态空间离散化的变点方法的应用是基于指数马尔可夫模型的特点，它有助于快速总结该模型的主要特征。关于完全概率空间(Ohm, F、 P）我们定义了一系列随机变量{Sn}n∈n在时间n时通知金融资产的价格∈ N、 我们将注意力集中在日志返回流程上，即Rn=log（序号/序号）所定义的流程上-1). 根据文献[10]，通过映射M:R，将日志返回转换为离散返回序列-→ E={-zmin公司, ..., -, 0, , ..., 求最大值}, （1） 在哪里 是E的栅格振幅。我们假设离散返回Jn：=M（Rn）达到值i 当连续返回RN属于间隔时（一）-), （i+）.最低离散返回Jn=-zmin公司 当连续返回Rn时实现≤ (-zmin+） 而最高离散回报Jn=zmax 每当Rn>（zmax）时分配-).我们还考虑了随机过程{Vmn}n∈n值为R。随机变量Vmn描述了第n次转换时指数过程的值，定义如下：Vmn=Pm-1k=0f（Jn-k） m。

（2） 公式（2）将指数过程表示为过去收益函数f的移动平均值（Jn，Jn-1.Jn公司-m+1）。随着时间从时间n前进到时间n+1，新的返回Jn+1将取代返回Jn-m+1，并确定指数Vmn+1的新值。参数m称为过程的存储器，应根据数据进行校准。在应用部分，我们将描述m的校准和函数f的选择，以有助于检测波动性。定义了指数马尔可夫链模型，该模型在随机过程Jn和Vmn之间施加概率关系：P（Jn+1=j | Jn=i，Vmn=v，σ（Jh，Vmh，h=0，…，n））=P（Jn+1=j | Jn=i，Vmn=v）=：pij（v），（3），其中σ（Jh，Vmh，h=0，…，n）是双变量过程的自然过滤。式（3）表明，n+1过渡期的价格回报过程的值取决于前n次过渡期的过程值和前n次过渡期的指数过程值。引入索引流程是为了将过去的信息纳入下一次回报的构成中。移动平均线的使用是为了排除在新收益形成过程中不起决定性作用的远程信息。等式（3）断言，对于索引过程v的每个值∈ R有amatrix P（v）=（pij（v））i，j∈这给出了状态之间转换的概率。为了应用模型并减少不必要的参数化，有必要确定索引过程的哪些值必须考虑动态的实际变化，换句话说，有必要在动态发生有效变化的给定数量的状态下离散索引过程的值。3.

状态空间的离散化通过变化点逼近在这一节中，我们提出了将马尔可夫链的变化点逼近（如[15]所述）应用于我们的索引模型的想法，明显不同的是，我们的变化点不是时间，而是对应于发生动态变化的索引过程的值。因此，我们的目标是确定索引过程Vmnas的最佳状态数以及每个状态的边界值。这将通过使用价格返回过程jn的动态取决于indexprocess Vmn的值这一事实来获得。让我们假设我们已经确定了内存m的值，并且我们已经观察到了从时间0到T的价格过程sn的轨迹∈ N这是最后一次观察过程的时间。然后，根据观察到的log返回{Jn}Tn=0的时间序列，我们可以使用关系（2）构造索引进程{Vmn}Tn=0的对应时间序列。由于函数f是有界的，集合E是有限的，因此过程Vmn求出最大值Ef和最小值Ef之间的值，然后：Vmn（ω）∈ [Ef，Ef]。（4） 首先，让我们假设市场上主要有两个级别的波动性：低波动性和高波动性。这相当于找到指数过程的一个值，该值表示回报动态中的一个变化点。我们感兴趣的是通过两个不同的转移概率矩阵描述的两个不同的马尔科夫过程来建模价格回报过程Jn。LetP（ψ）是低波动情况下价格收益过程的转移概率矩阵，P（ψ）是高波动情况下的转移概率矩阵。由于波动水平是通过指数过程考虑的，因此指数过程的状态空间[Ef，Ef]必须细分为两个离散状态。

Letψ∈ [Ef，Ef]是指数过程的值，它决定了价格回报过程jn的动态变化，从而：（a）区间[Ef，ψ）表示低波动率情况。如果指数过程vmn<ψ，那么我们假设价格回报过程jn由转移概率矩阵P（ψ）描述；（b）区间[ψ，Ef]表示高波动率情况。如果索引处理VMN≥ ψ、 然后我们假设价格回报过程jn由转移概率矩阵P（ψ）描述。一个已知变更点的情况。如果变化点ψ已知，则可通过最大似然估计量^P和^P估计转移概率矩阵，其（i，j）-th元素如下所示：^Pij（ψ）=PTn=1{Jn-1=i，Jn=j，Vmn-1.≥ψ} PTn=1{Jn-1=i，Vmn-1.≥ψ} =：Nij（ψ）Ni（ψ）（5）^Pij（ψ）=PTn=1{Jn-1=i，Jn=j，Vmn-1<ψ}PTn=1{Jn-1=i，Vmn-1<ψ}=：Nij（ψ）Ni（ψ）。（6） 为了检验两个矩阵在统计上相等的假设，因此，由于指数过程状态的不同水平，价格回报过程的动力学没有显著变化，可以在给定的显著水平α下进行统计检验：H： P=P，H：P 6=P。（7） 一旦设定了这两个假设，就必须确定距离度量。如【15】所示，通过似然比的标识可以开发出一种方便的距离度量。设L（P（ψ），P（ψ），x）是在周期[0，T]上观察到的样本x的似然函数，其变化点为ψ。那么，L（P（ψ），P（ψ），x）=P（J=x，J=x。

，JT=xT）=Yi，j∈E（Pij（ψ））Nij（ψ）*Yi，j∈E（Pij（ψ））Nij（ψ）。（8） 设L为对数似然函数：L（P（ψ），P（ψ），x）=log（L）=XijNi，j（ψ）* 日志Ni，j（ψ）Ni（ψ）+Xij公司Ni，j（ψ）* 日志Ni，j（ψ）Ni（ψ）=: L（P（ψ），x）+L（P（ψ），x）。（9） 然后可以根据对数似然函数计算距离度量：D=2* [L（P（ψ），x）+L（P（ψ），x）- L（P，x）]，（10），其中oL（P（ψ），x）+L（P（ψ），x）是备选假设下模型的似然值的对数；oL（P，x）是零假设下模型似然值的对数。在这种情况下，我们假设观测过程中没有变化点，因此我们通过使用马尔可夫链的单个转移概率矩阵P来估计价格回报过程{Jn}的动力学。标准渐近理论（参见，例如[16]）可用于证明ifT→ ∞ 和Ni，j（ψ）→ ∞ 和Ni，j（ψ）→ ∞ 适用于所有州i∈ E、 然后D在分布中收敛到一个χ-平方随机变量，即| E |·（| E |-1） 自由度。一个未知变更点的情况。在我们的例子中，变化点是未知的，也需要进行估计。在变化点未知的情况下，参数ψ成为上述对数似然函数的未知参数。通常，在这种情况下，ψ的最大似然估计量不以闭合形式存在，但可以通过迭代方法进行估计。在操作上，方法如下：1。定义离散和不同点ψ的状态空间∈ [Ef，Ef]；2.对于每个可能的ψ∈ [Ef，Ef]（a）集合ψ=ψ；（b） 用公式（5）估计P（ψ），用公式（6）估计P（ψ）；（c） 计算L（P（ψ），P（ψ），x）=L（P（ψ），x）+L（P（ψ），x），如式（9）所示；3.

Fix^ψ=arg max{ψ∈ [Ef，Ef]：L（P（ψ），P（ψ），x）}。结果将是确定价格回报过程变化的指数过程的值、反映两种不同动态的价格回报过程的估计转移概率矩阵以及对数似然函数的值。一旦获得这些输出，就可以进行（7）中所示的假设测试。不幸的是，HIS下统计检验的理论分布也未知，但可以通过使用bootstrap方法来近似检测马尔可夫链的时间变化点，参见【15】。给定样本x，根据数据估计单个转移概率矩阵P，即不考虑变化点。从转移矩阵P模拟了相同长度数据的多条轨迹B。对于每个公式，计算公式（10）中定义的检验统计量。我们将该值表示为DB。然后，统计测试D的理论分布可以通过模拟统计测试DB的核分布来近似。一旦测试的置信度α水平确定，临界值dα可近似为1- 模拟统计检验DB的α百分位数。因此，如果样本数据的统计检验^D（x）≥ dα，将拒绝零假设。测试的p值可以计算为：p- 值=B+1*h1+BXi=1{DB（x）≥^D（x）}i（11）多个未知变化点的情况。