以成本最小化投资风险的复制方法

因此，利用自旋玻璃理论和统计机械信息学等跨学科研究领域开发的副本分析和信念传播，我们可以分析投资组合优化问题，并得出多元化投资理论的一些新见解。也就是说，通过使用淬火无序系统的分析方法，研究了仅从RKKY相互作用项（即η=0）构建的最小化哈密顿量的最佳端口6/23J。物理。Soc。日本。在之前的工作中，已经证明很难使用运筹学中开发的分析方法（即退火无序系统的方法）来分析淬火无序系统（即，理性投资者可以被视为自旋玻璃理论中的投资者）。6-23）作为之前工作的自然延伸，12-14）我们在此将外部磁场的术语添加到投资风险中，即总成本，以便尝试构建和分析效用函数，并据此创建宏观理论，这将丰富最优投资风险理论。在上述假设下，在资产数量N的限制下，每项资产成本ε的最小投资风险为ε=limN→∞N分钟~w∈WH（~w | X，~c），（6）其中端口对开的可行子集w，w=~w∈ 注册护士~重量e=N和one~e的向量=（1，1，···，1）T∈ R已使用。根据之前的工作，12）这种成本最小的投资风险满足自平均的特性。此外，从EQ的定义来看。（6）具有成本的最小投资风险与猝灭无序系统的分析有关。

另一方面，从运筹学的文献来看，每资产成本ε或ε或=limN的最小预期投资风险→∞N分钟~w∈WEX[H（~ w | X，~ c）]，（7），其中EX[g（X）]是函数g（X）的配置平均值。方程（7）表明，该描述与退火无序系统的分析有关。因此，目前工作的目标也是推导和检验理性投资者投资组合优化问题的最优投资策略，因此我们将详细讨论等式（6）中的ε，而不是等式（7）中的ε。3、拉格朗日乘数法，给定返回矩阵X=nxiu√不∈ RN×pand利用拉格朗日乘数法，分析评价了单位资产成本εa的最小投资风险及其投资集中度。在等式（1）中的预算约束下，等式（4）中的成本投资风险最小化问题的拉格朗日函数L（~ w，k），H（~ w | X，~ c）由L（~ w，k）=~ wTJ ~ w+η~ cT ~ w+k（N）定义- ~wT~e），（8），其中辅助变量k是关于等式（1）中预算约束的拉格朗日乘子变量。7月23日。物理。Soc。日本。全文L（~ w，k）满意度的极值L（~ w，k） ~w=0和L（~ w，k）k=0，因此每项资产成本的最小投资风险为ε=1+ηN~eTJ-1～cN ~ eTJ-1～e-ηN~cTJ-1~c.（9）此外，投资集中度qw=NPNi=1（w*i） 最优投资组合w*= 参数最小值~ w∈WH（~ w | X，~ c）=（w*, w*, · · · , w*N） T型∈ RNisqw=~ eTJ-2～eNN ~ eTJ-1～e+η~eTJ公司-1～c～eTJ-1～e-~eTJ公司-2～c～eTJ-2～e+η~ eTJ-2~eN~cTJ-2～c～eTJ-2～e-~eTJ公司-2～c～eTJ-2～e!. （10） 在评估每资产成本ε的最小投资风险和最优投资组合的投资集中度时，我们需要评估六个矩，N~eTJ-1～e、N～eTJ-1～c，N～cTJ-1～c和N～eTJ-2～e、N～eTJ-2～c，N～cTJ-2~c，以及逆矩阵j-1和J-2.

然而，精确计算这些逆矩阵需要O（N）计算。因此，我们有一个问题，即随着资产N的数量变大，计算复杂性当然也会变大。由于资产的数量通常为10到10，直接计算公式（9）中的ε或公式（10）中的qwin并不容易。因此，在下一节中，我们避免了Wishartmatrix逆的计算，并提出了一种有效分析具有成本的最小投资风险和最优解的投资集中度的方法。4、副本分析在之前的工作之后，6–23）我们考虑了最小的投资风险，即每资产净值ε的成本及其投资集中度qwin副本分析条款。首先，将式（4）中的H（~w | X，~c）视为该投资系统的哈密顿量。投资市场的分割函数（在反温度β下）Z（X）由Z（X）=ZWd~we定义-βH（~ w | X，~ c），（11），其中w是等式（1）中可行投资组合的子空间。此外，使用此分区描述，从单位函数ε=- limβ→∞βlimN→∞NEX[对数Z（X）], （12） 众所周知，可以评估具有每资产成本的最小投资风险的典型行为。23）与之前的工作类似，以评估配置8/23J。物理。Soc。日本。对于配分函数的对数EX[log Z（X）]，我们需要分析n处的第n个矩EX[Zn（X）]∈ Z、 就是limN→∞Nlog EX[锌（X）]=外螺纹TrQwQw+TrQsQs-~kT ~ e-αlog det | I+βQs |-Dlog数据Qw+vQsE类+~k- βηc~eTQw+vQs~k- βηc~e,（13） 展开，其中Qw={qwab}和Qs={qsab}是顺序参数（带有辅助参数▄Qw={▄qwab}，▄Qs={▄qsab}∈ Rn×n，~ k=（k，k，···，kn）T∈ Rn，（a，b=1，2，···，n））。那么序参数集是Θ=nQw，Qs，ΘQw，ΘQs，~ ko。

此外，符号Extrmg（m）表示g（m）相对于m的极值，周期比为α=p/N~ O（1）和~e=（1，1，···，1）T∈ Rn，a s以上。请注意，此处的orderparameters由qwab=NNXi=1wiawib，（14）qsab=NNXi=1viwiawib定义。（15） 此外，hf（c，v）i=limN→∞使用NNXi=1f（ci，vi）（16）。在公式（13）的计算中，作为r eplica对称解，qwab=χw+qwa=bqwa 6=b，（17）qsab=χs+qsa=bqsa 6=b，（18）~qwab=χw- qwa=b-qwa 6=b，（19）9/23J。物理。Soc。日本。全文qsab=χs- qsa=b-设置qsa 6=b，（20）ka=k，（21）。从这里开始，使用r eplica技巧limn→0Zn-1n=对数Z，φ=limN→∞NEX[对数Z（X）]=外向θ（χw+qw）（~χw- qw）+qwqw+（χs+qs）（▄χs- qs）+qsqs- k-αlog（1+βχs）-αβqs2（1+βχs）-hlog（▄χw+v▄χs）i+qw+v▄qs▄χw+v▄χs+（k）- βηc）~χw+v ~χs得到了（22），其中使用了一组新的序参数θ={χw，qw，χs，qs，￠χw，￠qw，￠χs，￠qs，k}。根据这些极值项，序参数为χw=hv-1iβ（α- 1） ，（23）qw=α- 1+高压-2ihv-1i+C（η），（24）χs=β（α- 1） ，（25）qs=αα- 1.高压-1i+ηhv-1i Vc（α- 1 ), （26）~χw=0，（27）~qw=0，（28）~χs=β（α- 1） ，（29）~qs=β（α- 1 )高压-1i+ηhv-1i Vc（α- 1 ), （30）k=β（α- 1） 高压-1i+βηhv-1cihv-1i，（31），其中c（η）=ηhv-1iVc（α- 1)+2ηα - 1hv-2ihv-1iδc10/23J。物理。Soc。日本。全文+ηhv-2i（α- 1）（Vcc+δc），（32）Vc=hv-1cihv-1i-高压-1cihv-1i, （33）δc=hv-1cihv-1i-高压-2cihv-2i，（34）Vcc=高压-2cihv-2i-高压-2cihv-2i. （35）根据这些和等式（12）中的等式，ε=- limβ→∞φβ、 具有每项资产成本的最小投资风险为ε=limβ→∞αχs2（1+βχs）+αqs2（1+βχs）+k- βηc？χw+v？χsηc=α - 12 hv-1i+ηhv-1cihv-1i-ηhv-1i Vc2（α- 1). （36）此外，式（24）给出了极端投资集中度qw。在下一节中，我们将讨论为验证我们提出的方法而进行的数值实验。在此之前，我们应该发表一些评论。

首先，之前的一项工作19）已经讨论了投资时忽略成本的投资组合优化问题，给出了最小投资风险perasset及其投资集中度，如下所示：ε=α- 12 hv-1i，（37）qw=α- 1+高压-2ihv-1i。（38）这对应于η的情况→ 我们的结果为0。接下来，对于在忽略投资风险的情况下使购买成本最小化的投资组合优化问题，购买成本定义为asH′（~w | X，~c）=NXi=1ciwi（39），每项资产的最小成本为ε′=limN→∞N分钟~w∈WH′（~ w | X，~ c）。（40）然后，根据关系式ε′=limη→∞ε/η，使用公式（36），最小成本perassetε′为ε′→ -∞. 这一结果得到了11/23J的支持。物理。Soc。日本。全文不存在，例如，函数f（x，y）=x，y的2x+3y，且两个约束条件x+y=1，-∞ < x、 y<∞. 这些评论表明，通过所提出的方法获得的结果与投资组合优化问题最优解的众所周知的性质是一致的。最后，使用运筹学先前的分析程序（无关联无序系统方法）评估的成本为ε或的最小预期投资风险及其投资集中度如下：ε或=α2 hv-1i+ηhv-1cihv-1i-ηhv-1i Vc2α，（41）qORw=hv-2ihv-1i+ηhv-2iα（Vcc+δc）+2ηαhv-2ihv-1iδc.（42）作为对该结果的解释，因为，例如，函数f（x）=x-与Eqs相比，bx（x，b>0）在x中呈单音增加。（36）和（41），ε<ε或（43）。

也就是说，在成本最小化投资风险的文献中，已证实成本ε的最小投资风险与成本ε或的最小预期投资风险不对应；同样，最优QWI的投资集中度不等于运筹学qORw中导出的解决方案的投资集中度。5、数值实验在本节中，使用数值实验，根据前一节中的副本分析对结果进行验证。首先，如果采购成本和收益率方差不相互依赖，则εinEq的第二项。（36）和Vcin等式（33）降低至HV-1cihv-1i=hci和Vc=hci- hci。然而，由于该模型设置与之前的工作19）相似，在本文中，我们考虑了CIAN和viare相关的情况。这里，我们假设回报率的平均值‘xiu，ri，等于采购成本ci，即E[‘xiu】=ri=ci。此外，我们假设第二个返回力矩E[\'xiu]与平均值E[\'xi xi]的平方成随机比例，即E[\'xi xi]=（hi+1）ci。在此设置中，返回方差为V[(R)xiu]=vi=hici。请注意，hi（>0）是随机系数，不依赖于ci。对于数值试验的具体设置，我们假设ci，hiare为12/23J。物理。Soc。日本。具有有界帕累托分布且密度函数用Fc（ci）表示的独立分布的全文=(1-bc）（ci）-bc（uc）1-卑诗省-（lc）1-bclc公司≤ ci公司≤ uc0，否则，（44）fh（hi）=(1-bh）（hi）-bh（uh）1-伯克希尔哈撒韦-（左侧）1-bhlh公司≤ 你好≤ uh0，否则，（45）其中uc、lc、uh、lha是ci、hi和bc的上界和下界，bh（>0）是表征有界帕累托分布的动力。这里我们不分析求逆矩阵J-1在等式中。（9） （10）为了评估最佳投资组合。

相反，在以下步骤中，我们使用最速下降法从数值上推导出最优投资组合，并用成本ε及其投资集中度qw评估最小投资风险。第1步。（初始设置）根据公式（44）中的密度函数fc（ci）和公式（45）中的密度函数fh（hi）分配Cian和hirandomly a。特别是，随机变量sic，sihare根据均匀分布（0，1）独立且相同地分布，因此ci=（sic（uc）1-bc+（1- sic）（lc）1-bc）1-Bc和hi=（sih（uh）1-bh+（1-sih）（左侧）1-bh）1-伯克希尔哈撒韦。第2步。（初始设置）对于资产i，资产的收益“xiu”独立且按身份分布，E[“xiu]=CIAN，V[“xiu]=vi=hici。此外，修改后的回报率为xiu=？xiu- E[(R)xiu]。因此，返回矩阵X=nxiu√不∈ 已分配RN×PI。第3步。（初始设置）使用步骤2中修改的返回值xiu，Jij=NpXu=1xiuxju。（46）步骤4。（初始设置）将初始投资组合w和拉格朗日系数k设置为w=~ e=（1，1，···，1）T∈ RNand k=1，成本公差η的初始值为ηmin。步骤5。（优化）在迭代步骤t使用投资组合，~ wt=（w1，t，w2，t，···，wN，t）t∈ RN和Lagrange系数kt，更新~wt+1（迭代步骤t+1处的手册）和La grange系数kt+1（使用公式（8）中L（~ w，k）的13/23J.Phys.Soc.Jpn.FULL PAPERSsteepest下降法）：~wt+1=~ wt- γwL（~ w，k） ~w~w=~重量，k=kt，（47）kt+1=kt+γkL（~ w，k）k~w=~ wt，k=kt，（48），其中γw，γk（>0）是最速下降法的学习率。第6步。（优化）计算~wt，kt和~wt+1，kt+1之间的差值， =NXi=1 | wi，t- wi，t+1 |+| kt- kt+1 |。（49）步骤7。

（优化）如果 > δ、 然后更新t← t+1和g o返回步骤5。如果 < δ、 然后，将wt+1和kt+1作为最优投资组合w的近似值*= 参数最小值~ w∈WH（~ w | X，~ c）和拉格朗日系数k*, 用每资产成本ε（η，X）及其投资集中度qw（η，X）和g o评估最小投资风险，直至步骤8。第8步。（优化）如果η+dη<ηmax，则更新η← η+dη并返回步骤5。如果η+dη>ηmax，则停止最速下降算法。注意，在该算法中，我们既不使用复制对称ansatz，也不使用逆矩阵计算。更重要的是，使用此最速下降法算法，对于在初始设置中分配的返回矩阵（=1，2，····，M）次试验，Xm=nxmiu√不∈ RN×p，用于评估具有成本ε（η，Xm）的最小投资风险及其投资浓度qw（η，Xm），以及具有每资产成本的最小投资风险的样本平均值和最优组合的投资集中度是ε（η）=MMXm=1ε（η，Xm），（50）qw（η）=MMXm=1qw（η，Xm），（51），其中ε（η，Xm）和qw（η，Xm）是mth试验的结果。对于数值模拟，N=1000，p=3000，（α=p/N=3），有界帕累托分布的参数为（bc，uc，lc）=（bh，uh，lh）=（2，4，1）。此外，（ηmin，ηmax，dη）=（0，100，2）定义了成本容差η及其增量的范围，最速下降法的收益率为γw=γk=10-3，且停止条件的常数为δ=10-最后，试验总数为M=100.14/23J。物理。Soc。日本。全文通过最速下降法和这些数值设置（带误差条的橙色交叉）以及基于副本分析（黑色实线）估计的数值结果如图1所示。

如图所示，通过副本分析得出的结果与数值结果一致，这验证了我们基于副本分析提出的方法的有效性。此外，来自等式。（43），（24）和（42），运筹学在之前的工作中发展的分析方法很难用于研究在预算约束下的投资风险最小化问题，即，据披露，在运营研究中发展的分析方法无法检验具有成本的最小投资风险的性质以及最优投资组合的投资集中度。结论在这项工作中，我们使用复制分析研究了由风险和成本两种类型的投资损失定义的具有成本的投资风险最小化问题。具体地说，基于数学相似性，我们将具有成本的投资风险视为该投资系统的哈密顿量，而且，由于该系统在数学上类似于霍普菲尔德模型和SK模型的哈密顿量，我们认识到我们可以使用复型分析来分析投资组合优化问题。与之前的工作类似，6-23）我们能够在充分基于replicasymmetry ansatz的基础上，检验具有成本的最小投资风险和最优投资组合的投资集中度，从而使具有成本的投资风险最小化。此外我们表明，用猝灭无序系统方法评估的带成本的最小投资风险及其投资集中度与运筹学中开发的方法评估的带成本的最小预期投资风险和带成本的最小化预期投资风险的投资集中度不一致（即退火无序系统的方法）。

利用数值模拟的结果，我们验证了基于副本分析的方法的有效性。也就是说，我们证明了具有成本的最小投资风险及其投资集中度的性质，这是运筹学中发展的分析方法所不容易分析的，是由猝灭无序方法揭示的。在本文中，我们假设，就每单位港口对账单的成本而言，采购成本等于销售成本；然而，作为未来的研究，我们还需要考虑购买成本ci（wi上的成本>0）和销售成本c′i（15/23J物理社会学Jpn全文上的成本<0）的情况。为此，作为一种推广，我们需要考虑成本需要表示为某种线性或非线性函数的情况下的组合优化问题；例如，我们可以将pni=1ciwiin公式（3）更改为toPNi=1（cimax（wi，0）- c′imax(-wi，0））。此外，为了构建多元化投资理论的宏观关系，我们需要推导宏观变量之间的关系，如夏普比率的毕达哥拉斯定理和损失机会的关系18-20）。此外，为了检验最优投资组合效用函数的性质，我们需要研究几个绩效指标，而不是合并风险和成本（见附录B）。致谢作者感谢与K.Kobayashi、H.Yamamoto和D进行的详细讨论。塔达。这项工作得到了第15K209 99、17K0 1260和17K0124 9号援助赠款的部分支持；京都大学经济研究基金会研究所研究项目；和研究项目编号。