以成本最小化投资风险的复制方法

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英文标题：
《Replica Approach for Minimal Investment Risk with Cost》
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作者：
Takashi Shinzato
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In the present work, the optimal portfolio minimizing the investment risk with cost is discussed analytically, where this objective function is constructed in terms of two negative aspects of investment, the risk and cost. We note the mathematical similarity between the Hamiltonian in the mean-variance model and the Hamiltonians in the Hopfield model and the Sherrington{Kirkpatrick model and show that we can analyze this portfolio optimization problem by using replica analysis, and derive the minimal investment risk with cost and the investment concentration of the optimal portfolio. Furthermore, we validate our proposed method through numerical simulations.
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中文摘要：
在本文中，分析讨论了最小化投资风险和成本的最优投资组合，其中该目标函数是根据投资的两个消极方面，即风险和成本来构造的。我们注意到平均方差模型中的哈密顿量与Hopfield模型和Sherrington模型中的哈密顿量之间的数学相似性{Kirkpatrick模型，表明我们可以用复制分析来分析这个投资组合优化问题，并得出最优投资组合的最小投资风险和投资集中度。此外，我们通过数值模拟验证了我们提出的方法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Disordered Systems and Neural Networks        无序系统与神经网络
分类描述：Glasses and spin glasses; properties of random, aperiodic and quasiperiodic systems; transport in disordered media; localization; phenomena mediated by defects and disorder; neural networks
眼镜和旋转眼镜；随机、非周期和准周期系统的性质；无序介质中的传输；本地化；由缺陷和无序介导的现象；神经网络
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Statistical Mechanics        统计力学
分类描述：Phase transitions, thermodynamics, field theory, non-equilibrium phenomena, renormalization group and scaling, integrable models, turbulence
相变，热力学，场论，非平衡现象，重整化群和标度，可积模型，湍流
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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关键词：成本最小化 投资风险 成本最小 Optimization Quantitative

日本物理学会杂志全文与CostTakashi Shinzato合作的最小投资风险复制方法*日本东京町田Tamagawa大学工程学院管理科学系，1948610（2018年2月8日接收；2018年1月1日接受）在本研究中，分析讨论了以成本最小化投资风险的最优投资组合，其中该目标函数是在投资的两个负面方面，即风险和成本的条件下构建的。我们注意到平均方差模型中的哈密顿量与霍普菲尔德模型和Sherrington–Kirkpatrick模型中的哈密顿量之间的数学相似性，并表明我们可以通过复制分析来分析这个投资组合优化问题，并推导出具有成本和最优投资组合投资集中度的最小投资风险。此外，我们还通过数值模拟验证了我们提出的方法。关键词：均值-方差模型、有成本的投资风险、投资集中度、拉格朗日乘数法、副本分析1。简介投资组合优化问题是数学金融领域最活跃的研究课题之一，来源于Markowitz在其1952年和1959年的开创性著作中提出的多元化投资管理理论。1、2）在数学金融领域（尤其是运营研究），讨论了一些实际情况下的投资最优性，3-5）但是，对于投资组合优化问题，自旋玻璃文献中只讨论了退火无序系统的分析，而理性投资者所期望的淬火系统的分析却很少受到关注。

然而，最近，理性投资者在多元化投资背景下所期望的猝灭无序系统分析已经开始使用统计机械信息学和经济物理学中发展的分析方法进行研究。6–23）例如，Ciliberti等人研究了投资组合中绝对偏差模型和预期短缺模型的投资风险*shinzato@eng.tamagawa.ac.jp1/23J。物理。Soc。日本。利用副本分析解决具有预算约束的全纸优化问题。具体而言，他们分析了基态在绝对零温度（投资组合优化问题的最优解）极限下的典型行为。6、7）Pafka等人。将从实际数据得出的方差协方差矩阵的特征值分布与通过Cholesky分解映射的新变量确定的方差协方差矩阵的特征值分布进行比较，并讨论了多元化投资中的三种投资风险。8） Kondor等人评估了噪声与每个最优投资组合的估计误差之间的关系，这些风险模型包括：均值-方差模型、绝对偏差模型、预期短缺模型和最大损失模型。9） Caccioli等人使用复制分析来确定岭回归预期短缺模型的最优解是否稳定。10） 此外，Shinzato等人将包含预算约束的投资组合优化问题替换为使用Boltzmann分布的推理问题，并基于Kullback–Leibler信息准则，使用信念传播方法解析推导出了可以近似Boltzmann分布的试验分布。

他们还利用试算分布推导出了求解最优解的更快算法。11） 如上所述，在这些之前的研究中，使用replicaanalysis和信念传播方法对各种投资模型进行了检验，12–23），但最近，人们注意到了霍普菲尔德模型和最具代表性的投资模型（即均值-方差模型）之间的数学相似性。例如，Shinzato通过Chernoff不等式和副本分析表明，均值-方差模型的投资风险和最优投资组合的投资集中度满足自平均特性。12） 此外，Shinzato还利用r eplica分析法分析了预算和投资集中度约束下的投资风险最小化问题，将结果与之前的工作12）进行了比较，并分析了投资集中度约束对最优投资组合的影响。13） 此外，Shinzato在之前的工作13）中进一步研究了在预算和投资风险约束下的投资集中最大化问题以及相应的最小化问题，并推导了原始-对偶优化问题的两个最优投资组合的数学结构。14） 此外，Tada等人通过使用Wishart矩阵的渐近特征值分布的Stieltjes变换解决了原始-对偶优化问题，以验证之前工作13、14）中的发现，其中2/23J。物理。Soc。日本。

全文分析采用副本分析。15） 也就是说，他们在不使用副本分析或副本对称分析的情况下，重新研究了具有预算和投资集中约束的投资风险最小化问题（以及相应的最大化问题）和具有预算和投资风险约束的投资集中最大化问题（以及相应的最小化问题）。此外，Shinzato将具有预算和预期回报约束的投资风险最小化问题，以及具有预算和投资风险约束的预期回报最大化问题视为一个原始-对偶优化问题，使用副本分析对其进行分析，并重新检查两个最优投资组合之间的关系。16） Varga Haszonits等人。

推广了Shinzato16在工作中考虑的具有预算和预期收益约束的投资风险最小化问题，并分析了复制对称解的稳定性。17） Shinzato利用复制分析研究了在预算和预期收益约束下的投资风险最小化问题，并导出了类似于毕达哥拉斯定理的夏普比率和概率密度的宏观理论。18） 此外，Shinzato利用replicaanalysis和信念传播方法分析了在资产收益方差不唯一的情况下，在预算约束下的投资风险最小化问题，并计算了每项资产的最小投资风险和最优投资组合的投资集中度。19） 此外，利用Wishart矩阵的渐近特征值分布，Shinzato在之前的工作20）中重新研究了在预算和投资集中度约束下，每项资产的投资风险最小化问题。19） 作为一个相关案例，Shinzato研究了具有预算约束的投资风险最小化问题，当回报通过复制分析由单因素模型表征时，成功地量化了最小投资风险中包含的共同因素的影响。21）此外，Shinzato在资产收益独立且独立分布的情况下，通过复制分析，研究了在预算和卖空约束下的投资风险最小化问题，并证实了基于复制对称安萨兹的每项资产的最小投资风险是一阶相变。22）继Shinzato的研究结果之后，Kondor等人。

研究了在预算和卖空约束下特定类型风险函数的最小化问题，针对每个资产回报不一定对所有资产都具有相同分布的情况，使用副本分析，并明确了其最小风险函数具有一阶相变。23）3/23J。物理。Soc。日本。如上所述，在各种投资机会下，理性投资者希望了解的客观标准（如投资风险、购买成本、预期收益和投资集中度）已使用淬灭无序系统的方法（如复制分析和信念传播方法）进行了检查。然而，众所周知，理性投资者不仅直接使用这些客观标准，而是根据每个投资者的效用函数进行投资活动。24、25）这样的效用函数是基于每个投资者的投资偏好（即风险厌恶/风险中性/风险偏好），而且效用函数还包括投资风险、购买成本和预期回报的组合。在以前的跨学科研究中，很少有研究讨论效用函数，因此很难建立一个理论来适当支持理性投资者的投资决策。因此，为了在之前的工作6-23）中讨论的分析方法和效用函数分析之间提供无缝连接，即，作为效用函数分析的第一步，我们使用r eplica分析来研究预算约束下由两个目标标准定义的损失函数的最小化问题。

特别是，我们假设理性投资者的效用函数，他们希望减少投资的两个负面方面，即投资风险（投资期间发生的持有资产的流动风险）和购买（或出售）成本（投资产生的成本）。论文的其余部分组织如下。在下一节中，制定了带有预算约束的组合优化问题，以最小化由投资风险和购买成本（我们在下文中称为带成本的投资风险）定义的损失函数。第3节通过使用拉格朗日乘数法对该投资组合优化问题进行分析，证明了寻找具有成本的投资风险最小化的最优投资组合的计算复杂性随着资产数量的增加而增加，因此很难在实际情况下评估该问题。在第4节中，为了避免使用拉格朗日乘数法时出现这种计算困难，我们使用复制分析评估了具有每资产组合成本及其投资集中度的最小投资风险。此外，我们将我们提出的方法获得的结果与之前工作中分析程序得出的最低预期投资风险、成本及其投资集中度进行了比较。在第5节中，我们提出的方法的有效性通过数值模拟得到验证。最后一节将对4/23J进行总结。物理。Soc。日本。全文包括当前研究和讨论未来研究。2.

模型设置在目前的工作中，我们考虑了具有预算约束的港口优化问题，其中一个在稳定的投资市场中的每个p期投资N项资产，不受卖空限制，并显示了opt ima港口组合的属性，最小化了由捕获投资负面因素的两个损失函数定义的目标函数，投资风险和购买成本。首先，资产i（=1，2，···，N）的投资组合为wi∈ R、 所有N项资产的投资组合为~w=（w，w，···，wN）T∈ 注册护士。符号T表示向量或矩阵的转置，使用与先前工作相同的设置6–23），组合w的预算约束定义为nxi=1wi=N。（1）此外，周期u（=1，2，···，p）的资产i回报由'xi'表示，NDI根据平均值E[\'xiu]=方差V[\'xiu]=vi的一些分布独立分布。此外，在投资的第一个时期，资产i的每一个港口的购买成本为ci。使用此符号，投资风险和总购买成本为byRisk=2NpXu=1NXi=1wi？xiu-NXi=1wiri=NXi=1NXj=1wiwjNpXu=1xiuxju！，（2） 成本=NXi=1wici。（3） 由于式（2）中第一行的第一项PNi=1wi'xiu描述了周期u的总回报，第二项PNi=1wiri表示其预期，因此投资风险由每个周期的总回报、PNi=1wi'xiu和预期总回报PNi=1wiri之间差异的平方和来定义。此外，为了简单起见，此处修改后的返回值为xiu=’xiu- 使用riis；请注意，修改后的回报率xiu的平均值和方差分别为E[xiu]=0和V[xiu]=vi。式（3）表示总采购成本。基于上述模型设置，以成本托勒尔5/23J为目标函数。物理。Soc。日本。

全文假设η（>0），投资风险加上第一期投资的总购买成本表示为s H（~ w | X，~ c）=风险+η×成本（我们称之为投资风险与成本），并表示为灰分（~ w | X，~ c）=wTJw+ηcTw，（4）其中方差协方差矩阵（即Wishart矩阵）由修改后的回报xiu，J={Jij}定义∈ RN×N，成本向量c=（c，c，···，cN）T∈ r在式（4）中使用。具体而言，Wishart矩阵的第（i，j）个成分j isJij=NPpu=1xiuxju。此外，使用返回矩阵X=nxiu√不∈ RN×p，J=xxt也已定义。根据等式（4）中对投资风险和成本的定义，costtoleranceη是投资者对增加成本的容忍度。此处有一点不应结冰。本文讨论的带成本的投资风险H（~w | X，~c）被视为该投资系统中的哈密顿量，这使得我们可以应用自旋玻璃理论中发展的几种分析方法来多方向分析该投资组合优化问题的最优投资组合的典型行为。原因是，给定N个Ising自旋~S=（S，S，···，SN）T∈{±1}和极端磁场h=（h，h，···，hN）T∈ RN，square symmetricmatrix J表示Hop fild模型中的Hebb定律和/或Sherrington-Kirkpatrick（SK）模型中的RKKYinteraction矩阵。Hop场或SK模型H（~S）的哈密顿量由H（~S）=-Xi>jJijSiSj-NXi=1hiSi=-~STJ ~ S-~hT~S，（5）其中，符号pi>jm表示满足i>j的所有对（i，j）的和。比较eqs。（4） （5）很容易看出，就这两个模型而言，它们在数学上是相似的。此外，Wishart ma t rix J=XXT∈ 式（4）中定义的RN×Nd与霍普菲尔德模型中的Hebb定律有关，这两个问题的目的都是最小化哈密顿量。