系统性风险下的消防销售和借款优化

也就是说，如果0<α<W（1）M，则保证存在唯一性。示例3.5。双曲线价格影响：f（s）=+sfor>0满足假设2.1中反向需求函数的所有条件。当≥ M、 当>1时，（3.6）的秒条件为真+√M、 也就是说，如果>1，则保证存在性和唯一性+√M、 我们通过考虑在定理3.2的条件下构造清算清算和价格的算法来结束本节。简而言之，该方法是考虑已列出的循环：价格q中定点迭代的主循环和使用方法n构建均衡清算策略s（q）的二次循环【29】。附录C算法2中给出了其他详细信息。考虑定理3.2的设置。唯一的均衡清算s和价格q可以通过以下算法找到。1、将公司划分为案例I、II和III.2。定义映射g及其雅可比矩阵g byg（s）=diagI{I∈C}i=1，。。。，n^g（s）-诊断（I{s≤0}）^g（s）+- 诊断（I{s≥最小（a，h/q）}）^g（s）-,^g（s）=诊断（1+r）-11- diag（1+r）[f（nXi=1si）+sf′（nXi=1si）]！，G（s）=-诊断I{I∈C}i=1，。。。，n（I+1n×n）f′（nXi=1si）+diag（s）1n×nf′（nXi=1si）！。0 0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5企业1清算0.51.52.53.54.5均衡清算的收敛图2：基于[29]算法的两家银行清算收敛迭代的速度和方向图。红色的“x”表示真正的平衡。3.初始化迭代k=0，所有i=1的ski=0。。。，n、 qk=f（Pni=1ski）=1.4。重复，直到qk收敛：（a）迭代k=k+1。（b） 初始化sk=sk-1和v=g（sk）。（c） 重复，直到v收敛到0:i。设置t=-vG（sk）vkG（sk）vk。二。U更新ski=最小值滑雪+tvi、ai、hi/qk+对于所有公司，i=1。。。，n、 iii.更新v=g（sk）。（d） 设置qk=fPni=1ski.5.

确定均衡清算s=SK和价格q=qk。图2以图形的方式显示了在具有不同初始点的两个银行系统中，数值迭代的收敛性，以找到纳什均衡。为了便于说明，我们考虑了h=4、h=2和a=5的网络，因此这两家公司都是案例III机构。此外，我们考虑了异质利率r=12%和r=8%。市场影响由线性反向需求函数f（s）=1建模- αs与α=，满足定理3.2的所有假设。鉴于初始清算∈ [0，5]，找到初始价格q=f（s+s），并计算更新的清算（q）。我们注意到，所有更新的清算都是按照清算解决方案的方向进行的。唯一的纳什均衡显示为红色的“x”。4有抵押借款的最佳甩卖上一节的关键假设之一是银行可以在不需要抵押的情况下获得资金。换言之，一旦确定银行基本上有偿付能力，贷款的规模就没有限制。最初的解释可能是，贷款是由最后贷款人提供的，贷款人最初决定银行是否有偿付能力。一旦确定该银行是有溶剂的，则允许该银行根据需要流动。一个更现实和更好的选择是，短期贷款需要进行抵押，而这种抵押物是以非流动资产的形式存在的。将假定非流动资产的抵押价值为1。这样做的目的是确保使用非流动资产的账面价值价格进行抵押借款的公司将拥有正权益。

更准确地说，在第3节中，有可能要求一家公司清算其持有的一部分资产，并在清算资产后借入更多现金，这与通常认为的“偿付能力”概念形成了对比。因此，当前设置更全面地表明，清算和借贷所需的公司基本上仍具有偿付能力，并限制其行动，以便将此类公司保留在该偿付能力区域。更具体地说，这将原来的第三种情况分为以下情况：情况一：银行I基本上破产。与（3.1）保持相同。与原始情况I类似，在这种情况下，pi=0，否则银行将全额支付。案例二：第一银行有偿付能力，无需借款，也无需资产清算。也与（3.2）相同。案例三：第一银行基本上有偿付能力，有借款和资产清算，但无法通过压力测试。这是ifci+nXj=1πjipj<πpi的情况≤ ci+ai+nXj=1Lji，ai（1- ν） <嗨。第一个条件与原ca se III中的条件相同，但现在添加了一个附加条件，即在压力测试场景下，当非流动资产损失一定比例ν∈ （0，1）由于受到冲击，银行破产。假设在这种情况下，该银行将由监管机构接管，监管机构也将履行该银行的义务，并最终出售给一家国有银行。在这种情况下，将不会清算非流动资产。案例四：第一银行在借贷和资产清算方面基本上有偿付能力，并且能够通过压力测试。这是ifci+nXj=1πjipj<πpi的情况≤ ci+ai+nXj=1Lji，ai（1- ν) ≥ 你好在这种情况下，银行可以决定借入多少资金，以优化其现金流，并最大限度地减少因利息支付和再销售造成的损失而产生的费用。

最大借款金额受抵押品要求的限制。所有此类银行的集合将表示为C。如前一节所述，最后一类银行（案例四公司）是我们最感兴趣的银行。在这种情况下，抵押品的价值将假定为资产的账面价格，即1。因此，对于银行i∈ C、 可以借用的最大金额是BI的解决方案-i） （1）- f（s）-i+sbi-i） ））=人工智能- 你好（4.1）解决方案sbi-i） 如果存在，则to（4.1）是唯一的，否则设置sbi-i） =∞.因此，在案例IV中，取代银行i（3.4）的新问题是优化出售股份和借款的交易效率：*i（s）-i） =arg分钟∈[0，ai]s（1- f（s）-i+s））+ri（hi- s f（s）-i+s））| sf（s-i+s）≤ 嗨，s≤ sbi（s）-（一）. （4.2）与（3.4）相比，（4.2）中的附加约束只需要对定理3.1中的存在性进行微不足道的修改。以下定理类似于定理3.2，其证明见附录D定理4.1（纳什均衡的唯一性）。根据假设2.1和固定价格q∈ [f（M），1]存在唯一的均衡清算策略+s（q）=s+（(R)s（q），q），其中，对于i 6，s+i（s，q）=0∈ Cands+i（s，q）=arg分钟∈[0，最小值{ai，hiq，ai-hi1-q} ]秒1.- fXj6=isj+s+ 国际扶轮社你好- s和fXj6=isj+s对于i∈ C、 此外，如果f′（s）+sf′（s）≤ 0和-Mf′（0）<ν∧f（M）则存在唯一的联合清算价格均衡s=s+（s，q），q=f（Pnj=1sj）。备注3。由于清算的限制和借款的可能性，我们可以立即得出结论，有抵押借款提供的（唯一）均衡价格高于无抵押情况下的均衡价格，而无抵押情况下的均衡价格又高于[4]的纯再销售设置。

从经济上讲，这恢复了[24，11]的观察结果，即回购市场的冻结可能会产生过度的系统风险，因为在某种意义上，我们会从抵押贷款下的均衡状态转移到[4]的纯再销售环境。5案例研究5.1对称案例5.1.1无抵押借款：最简单的标准示例是考虑所有银行重新对称的情况，即其头寸和差额相同（参见，例如，[2，1]）。然后可以显式地计算例3.3中的纳什均衡。还有三种情况需要考虑：如果每家银行都处于Cas e I（基本上处于溶剂状态）或案例II（因此不需要进行资产负债或资产清算），那么均衡是直接的，不需要计算。有趣的情况是，如果每家银行都处于第三种情况（需要借款和/或资产清算才有偿付能力）。这意味着h>0。在这种情况下，有两种情况需要考虑：所有银行只清算而不借贷的情况，以及它们同时清算和借贷的情况。为了方便起见，由于所有银行都是对称的，指数i可以去掉。忽略线性价格影响f（s）=1- 带有α的示例3.3中的αs∈ （0.2M）。然后，在第一个场景中，从（A.1）假设有n家银行，我们得到了sL1.- nαsL= h、 因此，sL±=1±√1.- 4αnh2αn.（5.1）如果sL-是真的，那么sL-> 0。在本例中，根sL-之所以选择，是因为这是最低限度的解决方案，所有银行都将清算所需的最少资产。为方便起见，此解将简单地表示为assL。如果sL-不是rea l，那么sL+也不是，并且，如定理3.1的证明中所述，我们设置sL=+∞.第二种情况是银行同时清算和借贷。在这篇文章中，从（A.2）可以看出：- （1+r）1.- α（n+1）s= 因此，s=rα（n+1）（1+r）。

（5.2）这些sc激活由液体短缺h的大小决定。具体而言，sL<sif，仅当h<1-(1-2nr（1+r）（n+1））4αn。注意，在这种情况下，f（ns）=1.- αns>1+r，因此银行永远不会采取纯粹的借贷策略。5.1.2抵押借款：我们将假设ν>0设置为所有银行都处于案例IV中，因为这是一个有趣的场景。在借款需要抵押的情况下，上述计算基本上成立。即，（5.1）和（5.2）仍然有效。我们需要添加sL，s≤ sb，其中sb=ra- hαn。我们有：osL≤ s∧ sbif且仅当h≤1.-(1-2nr（1+r）（n+1））4αn∧a（1- αna），os≤ sL公司∧ sbif和仅if1-(1-2nr（1+r）（n+1））4αn≤ h类≤ 一-nrα（n+1）（1+r）和osb≤ sL公司∧sif且仅当h≥1.-(1-2nr（1+r）（n+1））4αn∨a（1- αna）。5.1.3数字：在以下两个案例研究中，我们考虑市值M=100且线性反向需求函数f（s）=1的资产-s、 在第4节的抵押框架中，我们需要引入压力测试参数ν，我们选择该参数，以便所有银行都处于案例IV中。虽然我们采用的参数值违反了定理4.1的有效条件，但我们还是发现了清算清算和价格，因为我们明确计算了上述对称纳什均衡。图3的左图说明了利率r对纳什均衡清算价格q的影响。此处考虑的案例是一个系统，其中n=90家银行，a ch的差额h=1，资产的市场资本化b e M=100。假设资产在所有银行之间平均分配，即a=M/n。在无抵押和有抵押的情况下，价格均以1+r+r（n+1）（1+r）的速度下降。

在无抵押的情况下，只有当公司希望出售更多资产，即≥ a、 在抵押环境中，由于企业在清算过程中受到抵押约束，即企业希望清算的金额超过市场允许的金额，因此清算价格以较低的利率（和较高的清算价格）达到扭结和波动≥ 某人。这与直觉是一致的，因为在低利率环境下，银行会比在高利率环境下借更多的钱，清算更少。抵押要求的影响是，银行不能处置太多的非流动资产，因为它的资产会减少太多其他资产，并且它们将无法使用有效的抵押贷款。因此，与价格继续下跌的无抵押情况相比，价格下跌更快。图3的右图说明了流动性短缺h对纳什均衡清算价格q的影响。在这种情况下，s系统由n=50家对称银行组成，每家银行的利率为r=20%，非流动资产的市场资本化为M=100。假设资产在所有银行之间均匀分布，即a=M/n。我们注意到，我们限制了单个公司资产a的流动性短缺，因此该公司基本上是有偿付能力的。直到公司接近基本偿付能力的边界，即h≈ a、 当h≈ a担保约束s≤ SBI相关。特别是，这表明，只有面临压力测试失败风险的企业才会受到回购市场的影响，而这类企业不会因为需要提供抵押品而受到影响。

这与达成协议的共同化目标是一致的。随着资金短缺的增加，银行的风险越来越大。如果缺口超过h=2，银行将从根本上资不抵债。因此，当缺口接近2时，银行不能像在未合并情况下那样出售那么多资产，而是需要借入更多资产。这支持了资产的价格，限制了再出售的影响，同时保证了贷款的抵押和安全。5.2欧洲银行业协会案例研究莱特美国公司现在考虑一个根据2011年欧洲银行业数据校准的例子，该例子已在[15]的金融传染框架下的前期研究中使用（例如，[22，12]）。我们使用相同的网络校准0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1利率r0.50.550.60.650.70.750.80.850.90.95利率对平衡的影响抵押借款抵押借款0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2短期贷款h0.820.840.860.880.90.920.940.960.98差额对平衡的影响抵押借款抵押借款图3：左：在对称金融系统中，利率r对清算价格的影响，在无抵押贷款和有抵押贷款的情况下。右图：在对称金融系统中，在无抵押和抵押贷款下，流动性短缺h对清算价格的影响。如【18】所述。在这项工作中，我们注意到，虽然我们利用这个EBA数据集来拥有一个更现实的网络，但网络校准仍然需要启发式，因此这个示例仍然只是为了演示目的。作为一个风格化的银行资产负债表，我们将考虑三类资产：银行间资产spnj=1Lji、流动资产ci和非流动资产ai。

我们还将考虑三类负债：银行间负债PNJ=1Lij、外部负债Li0和资本Ci。关于这些术语的演示，请参阅图1。欧洲银行数据集提供了每家银行i的总资产Ti、资本Ci和银行间负债pnj=1lij。为了将此数据集用于我们的目的，我们需要考虑一些假设。首先，如【12，23】中所述，我们假设银行间负债等于银行间资产负债表Pnj=1Lij=Pnj=1Lji（根据【22】中的方法，存在微小的扰动）。此外，如【18】所述，银行间资产的所有资产均为外部资产（流动和非流动），所有非银行间负债或非资本负债均欠社会节点0，即外部负债。最后，外部资产按照一级资本比率Ri的比例分为流动和非流动部分。在这些假设下，考虑到提供的值，我们确定了样式化余额的剩余部分s he e t viaci=RiTi公司-nXj=1Lij, ai=（1- Ri）Ti公司-nXj=1Lij, Li0=Ti-nXj=1Lij- Ci，(R)pi=Li0+nXj=1Lij。在此校准下，公司i的净值等于其资本，即Ci=Ti- ？pi。最后，我们使用[22]的方法构建了完整的名义负债矩阵L。为了完成我们的模型，我们需要考虑系统的其余参数。我们将市值M=Pni=1设置为银行持有的非流动资产股份总数。此外，我们假设所有银行的利率均为r=5%。在本例中，我们将只关注线性逆需求函数f（s）=1- αs，我们将改变α∈ （0.2M）。最后，应力测试参数设置为ν=1%。

与对称设置一样，尽管许多价格影响水平α测试违反了orem 4的条件。1（即α>ν），我们发现数值算法的收敛性仍然成立，并给出了本文的结果。我们在数值研究中说明了对简单清算策略的两种改进。结果如图4所示。左图说明了均衡维吾尔价格和作为价格影响函数的损失。在本研究中，这些损失被定义为以低于原始市场价格f（0）=1的价格出售非流动资产的损失。图4右侧的图显示了破产数量与价格影响的函数关系。由于校准方法的复杂性，我们仅考虑了90家机构中的87家，这两个数据都是线性获得的。DE029、LU45和SI058未包括在本分析中。0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5价格影响α/M0.50.550.60.650.70.750.80.850.90.95 EBA SystemFire Sale Only抵押借款中的清算和价格0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 EBA SystemFire Sale Only抵押借款中的价格影响α/md图4：左侧：平衡价格图（左轴）和损失（右轴）作为价格影响的函数。右图：价格影响反向需求情况下的违约数量，如例3.3所示。这些数据用于说明这三种情况下的金融传染量，即[4]的纯转售模式、第3节中提出的无抵押借款以及第4节中考虑的抵押借款情况。据估计，在所有三种情况下，均衡价格都会随着价格影响的增加而下降。