系统性风险下的消防销售和借款优化

这一下降趋势在基本情况下最为突出，没有借款，只有零售，在允许借款的任何一种情况下都非常轻微。这也是意料之中的，因为在这两种情况下，当允许借款时，随着零售资产价格下降，银行将越来越依赖借款。这与右轴上的损失图一致。在这两种情况下，随着价格影响的增加，银行对借款的依赖程度也越来越高，并限制了因转售而损失的资本量。当然，这在纯零售环境中是不可能的，在这种情况下，随着均衡价格的下降，损失会急剧增加。此外，我们观察到，有抵押贷款情况下的损失低于无抵押贷款情况下的损失。这与直觉相反，a s one预计在抵押贷款环境下的服务水平和服务水平会更高，因为银行在这种情况下执行的优化比在原始无抵押贷款环境下执行的优化更受约束。事实证明，在这种情况下，由于引入了更多的约束，价格仍然高于无抵押环境。因此，当实施抵押借款时，损失较小。图4右侧的图表显示，一旦引入借款，无抵押或抵押银行均不会出现任何违约或资不抵债。相比之下，在[4]的纯零售模式中，违约数量随着价格影响的增加而稳步增加。发生这种情况时，数据集中的所有银行都已资不抵债。这说明我们的借阅式零售模式比单纯的零售模式更准确地概括了系统的健康状况。

特别是，只要借贷市场保持流动性，我们发现欧洲银行体系在2011年不会受到系统性事件的影响，所有银行都会生存（实践证明）。定理3.1的证明，定理3.1的证明。很快，我6岁∈ C、 s**i=0。对于i∈ C、 将考虑两种不同的情况：我们考虑的第一种情况是，银行不借款，只进行清算。在这种情况下，hi=sf（s-i+s）。解决方案sLi-i） 如果存在，则是唯一且令人满意的-i） f（s）-i+sLi（s）-i） ）=你好。（A.1）如果不存在（A.1）的解决方案，则sLi-i） =+∞. 在银行拥有足够的资产来弥补其全部不足的情况下，sLi的存在性和唯一性-i） 遵循假设2.1。这里考虑的第二种情况是，银行同时进行借贷和清算。根据假设2.1，该值可通过将（3.3）的导数等于零并求解si（s）得到-i） 其中满足1- （1+ri）（f（s-i+si（s-i） ）+应力强度因子-i+si（s-i） ））=0，（A.2），其中si（s-i） =+∞ 如果不存在此类解决方案。请注意，这可能不是优化问题（3.3）的解决方案，因为它还需要与sLi进行比较-i） 来自（A.1）以及边界0和ai。o如果f（s-（一）≥ （1+ri）-如果存在，则解（A.2）是唯一的，因为根据假设2.1，ca rd{s≥0 | f（s-i+s）+sf′（s）-i+s）=（1+ri）-1} ≤ 1在这种情况下。此外，原始优化问题（3.3）的解由s给出*i（s）-i） =最小（sLi（s-i） ，si（s）-i） ，ai）。如果si（s-（一）∈ [0，sLi（s-（一）∧ai]那么这是一个选项，银行应该清算si-i） 持有非流动资产的股份，并借入剩余的流动资金。如果si（s-i） >sLi-（一）∧ A然后是F（s-i+s）+sf′（s）-i+s）>（1+ri）-1每s∈ [0，sLi（s-（一）∧ ai]。

（A.3）因此，如果sLi-（一）≤ ai，银行只需要清算sLi-i） 非流动资产数量，无需借贷。鉴于如果sLi（s-i） >A该银行将清算其所有非流动资产并借入其余资产。这是（A.3）中的最佳行为。从财务角度来看，尽可能少地进行清算是最理想的，因此清算sLi是足够的-（一）∧ aiif si（s）-i） >sLi-（一）∧ ai.o如果f（s-i） <（1+ri）-1然后s*i（s）-i） =0，即最优解s*iof（3.3）是纯粹的借贷，并没有清算任何东西。这很容易就跟s一样∈ [0，ai]目标值在s中为非递减：1- （1+ri）（f（s+s-i） +sf′（s+s）-i） ）>1- （1+ri）（1+ri）-1= 0.总而言之，我将选择清算每家银行*i（s）-i） 非流动资产的份额，前提是所有其他公司都是流动资产-i、 其中s*i（s）-i） 由：s给出*i（s）-i） =（最小sLi-i） ，si（s）-i） ，ai）如果f（s-（一）≥ （1+ri）-1和i∈ C0否则。（A.4）事实上，我们可以看到*i： [0，M- ai]→ [0，ai]是连续的，因为其每个组件都是连续的。的确，s*iis continuo us作为s的函数-在f（s）所在的（可能为空）区域-i） <（1+ri）-1和F-i） >（1+ri）-1、也可以看出s*i（s）-i） 0为f（s-i） （1+ri）-1，它在f（s）处建立连续性-i） =（1+ri）-因此，根据Brouwer不动点定理，存在均衡清算策略**=s*（s）**-1), ..., s*n（s）**-n）∈Qni=1【0，ai】。B定理3.2的证明在证明这个定理之前，我们需要以下辅助引理。引理B.1。函数H（s；ρ）=Pni=1Hi（s；ρi），ρ∈ Rn+，是对角s三次凸的，其中Hi（s；ρi）=ρi硅1.- fPnj=1sj+ 国际扶轮社你好- sif公司Pnj=1sj.证据

回想一下[29]中关于s∈ Rn，函数s 7→ H（s；ρ）是对角严格凸的，如果对于某些（固定的）ρ∈ Rn+和对于每个s，s∈ Rn，s6=s，我们有（s-s）g（s；ρ）-（s）-s）g（s；ρ）<0，其中g（s；ρ）=sH（s；ρ）。。。snHn（s；ρn）=ρss1.- fPnj=1sj+ rh类- 旧金山Pnj=1sj...ρn序号序号1.- fPnj=1sj+ 注册护士hn公司- snf公司Pnj=1sj.此外，[2 9，定理6]表明，H严格凸的一个有效条件是G（s；ρ）+G（s；ρ）是每个s的对称正定义矩阵∈ R和一些ρ∈ Rn+，其中G是G相对于s的雅可比矩阵。集ρi=1+rithenG（s；ρ）+（G（s；ρ））ij=-ρi（1+ri）sisjsifnXk=1sk！！- ρj（1+rj）sjsisjfnXk=1sk！！=-（2+2 I{I=j}）f′nXk=1sk！- （si+sj）f′\'nXk=1sk！。因此，写入G（s；ρ）+G（s；ρ）= G（s）+G（s）+f′（Pnk=1sk）G（s），其中G（s）=-2f′nXk=1sk+nXk=1sk！f′\'nXk=1sk！！n×n，G（s）=-直径g2f′nXk=1sk！n+s f′\'nXk=1sk！！，[G（s）]ij=Xk6=i，jsk。对于任何清算，通过构造，矩阵G（s）为正半定义，G（s）为正半定义。接下来，我们证明了G（s）对于一系列清算s是正的s定义，这将给出期望结果，如f′≥ 假设2.1为0。为此，请注意，G（s）=Pni=1si（i）n×n，其中矩阵1（i）n×n，i=1。。。，n由h（i）n×nijk=i{j6=i，k6=i}给出。很容易看出，1（i）n×n正半无限体。因此，G（s）也是如此。定理3.2的证明。我们第一季度∈ [f（M），1]，并寻找平衡'si（q）=s+i（Pj6=i'sj（q），q）。也就是说，我们寻找（3.5）给出的修正纳什均衡。对于固定q，这种非平衡的存在来自定理3.1的逻辑，而s（q）的唯一性是引理B.1的结果，如[29，Theo-rem 2]所示。下一个目标是展示q 7→ Φ（q）=f（Pnj=1'sj（q））是收缩映射。

实际上，对于q6=q：|Φ（q）- Φ（q）| | q- q |=| q- q|f（nXj=1'sj（q））- f（nXj=1'sj（q））≤ -f′（0）最大值∈[f（M），1]nXj=1’s’j（q）. （B.1）因此，作为合同映射，有必要表明-f′（0）最大值∈[f（M），1]nXj=1’s’j（q）< 1、为了证明这一点，考虑s（q）的灵敏度以及对q的响应。回顾s的结构*由（A.4）给出；在这里，我们将替换sLi-i） 对于hi/q。假设ai、hiq、si（Pj6=i'sj（q））都不同于所有i=1。。。，n、 因此，与sit的连续性一起，s对于q是可微分的，对于给定的银行i，其导数由s’i（q）=i{i给出∈C}-I{hiq<ai∧si（Pj6=i'sj（q））}hiq+（si）\'（Xj6=i'sj（q））（Xj6=i's′j（q））i{0≤si（Pj6=i'sj（q））<hiq∧ai}. （B.2）这里，最优清算si（s）的导数-i） ，i=1。。。，n可通过隐式微分求出：0=（1+（si）′（s-i） ）f′（s）-i+si（s-i） ）+（si）′（s）-i） f′（s）-i+si（s-i） ）+国际单位制-i） （1+（si）′（s）-i） ）f′（s）-i+si（s-i） ）=（si）′（s）-（一）2f′（s）-i+si（s-i） ）+国际单位制-i） f′（s）-i+si（s-i） （）+f′（s）-i+si（s-i） ）+国际单位制-i） f′（s）-i+si（s-i） （）.因此，通过重新排列术语，（si）′（s-i） =-f′（s）-i+si（s-i） ）+国际单位制-i） f′（s）-i+si（s-i） ）2f′（s）-i+si（s-i） ）+国际单位制-i） f′（s）-i+si（s-i） ）=f′（s）-i+si（s-i） ）2f′（s）-i+si（s-i） ）+国际单位制-i） f′（s）-i+si（s-i） （）- 因此（si）′（s）-（一）∈ (-1，0]∈ C、 如果f′（x+s）≥ （2f′（x+s）+sf′（x+s））对于每s∈ [0，M-x] 和任意x∈ [0，M]。考虑x=0是足够的，换句话说，条件f′（s）+sf′（s）<0是足够的。注意到案例I和II机构的“s”为零，求解系统（B.2），因此“s”（q）=-我- 诊断（si）′（Xj6=i'sj（q））i{0≤si（Pj6=i'sj（q））<hiq∧ai}I{I∈C}i=1，。。。，n（1n×n- （一）-1×诊断hI{hiq<ai∧si（Pj6=i'sj（q））}i{i∈C} ii=1，。。。，n总部。

（B.3）使用（si）′（s）这一事实-（一）∈ (-1，0]对于i=1。。。，n、 因此，如下所示n’s’（q）≤ 最大值（maxd）∈[0,1）nn（I+诊断（d）（1n×n- 一） （）-1诊断hI{di=0，hiq<ai}ii=1，。。。，n总部. （B.4）为了计算该最大值，设B（d）：=I+diag（d）（1n×n- 一） =诊断（1n- d） +d1n、 ShermanMorrison公式B（d）-1=诊断（1n- d）-1.-1 + 1ndiag（1n- d）-1诊断（1n- d）-1d1ndiag（1n- d）-1=1.-d0···01-d···0。。。。。。。。。。。。0 0 ···1-dn-1+Pnk=1dk1-丹麦d（1-d） d（1-d） （1）-d） ····d（1-d） （1）-dn）d（1-d） （1）-d） d（1-d） ····d（1-d） （1）-dn）。。。。。。。。。。。。dn（1-dn）（1-d） dn（1-dn）（1-d） ·dn（1）-dn）.下面是b（d）-1诊断I{d=0}i=1，。。，n（B.5）=1+Pnk=1dk1-丹麦I{d=0}（1+Pnk=1dk1-dk）-dI{d=0}1-d···-dI{dn=0}1-d-dI{d=0}1-dI{d=0}（1+Pnk=1dk1-dk）····-dI{dn=0}1-d-dnI{d=0}1-dn-dnI{d=0}1-dn···I{dn=0}（1+Pnk=1dk1-dk）.因此，对于任何j=1。。。，nnXi=1B（d）-1.ijI{dj=0}=1+Pnk=1dk1-丹麦1+nXk=1dk1- 丹麦-Xk6=jdk1- 丹麦I{dj=0}=I{dj=0}1+Pnk=1dk1-丹麦。我们的结论是Maxq∈[f（M），1]n’s’（q）≤ 最大质量∈[f（M），1]，d∈[0,1）nnB（d）-1诊断hI{di=0，hiq<ai}ii=1，。。。，n总部（B.6）≤ 最大质量∈[f（M），1]nhq公司∧ aq公司≤ 最大质量∈[f（M），1]Pni=1aiq≤Mf（M）。回顾（B.1），我们得出结论，如果-M f′（0）<f（M）。回想一下，假设ai、hiq、si（Pj6=i'sj（q））都是不同的。如果违反了这个假设，比如si（Pj6=i'sj（q））>ai=hiq，那么我们需要考虑单边导数。在这种情况下，左边的导数-\'si（q）=0，而从右侧开始+\'si（q）=-总部。在这种情况下，这两个单方面的异议都将得到满足（B.6）。其他病例也可作类似处理。算法2的C证明算法2的顶层。（4）的收敛源自平衡pric eq=f（Pni=1'si（q））的外部收敛和计算sk='s（qk）的内部收敛-1） 对于所有迭代k≥ 1.

outerconvergence直接来自定理3.2的证明，该证明表明f（Pni=1'si（q））是收缩映射。[29]中的理论10提供了内环的临界点，以找到平衡点（qk-1） 对于固定收益水平qk-特别地，这个内环是通过考虑KKT条件，求解耦合优化问题（3.5）的梯度下降算法。由[2 9]的定理10构造的梯度和步长分别由映射g和值t提供。D定理4.1的证明定理4.1的证明。这一证明与Theo rems 3.1和3.2的证明基本相同。主题映射q 7→ Φ（q）=f（Pnj=1'sj（q））是收缩映射，如果（B.1）由1支配。我们需要按以下方式更改（B.2）中的\'s\'（q）。与定理3.2的原始证明类似，我们假设数量ai，ai-hi1-q、 hiq，si（s-i） i=1。。。，n都是不同的。如果不是案例，则对证据的修改与原始证据中的修改相同。在此假设下，s′i（q）=i{i∈C}- I{hiq∧人工智能-hi1-q<ai∧si（Pj6=i'sj（q））}hiqI{hiq<ai-hi1-q}-人工智能- 嗨（1- q） I{hiq≥人工智能-hi1-q}+ （si）′（Xj6=i'sj（q））（Xj6=i's′j（q））i{0≤si（Pj6=i'sj（q））<高∧（ai-hi）q∧ai}, 对于i=1。。。，n、 然后，类似于（B.3）’s′（q）=-我- 诊断（si）′（Xj6=i'sj（q））i{0≤si（Pj6=i'sj（q））<hiq∧人工智能-hi1-q∧ai}I{I∈C}i=1，。。。，n（1n×n- （一）-1×诊断你好{hiq∧人工智能-hi1-q<ai∧si（Pj6=i'sj（q））}i{i∈C} ii=1，。。。，nhiqI{hiq<ai-hi1-q}-人工智能- 嗨（1- q） I{hiq≥人工智能-hi1-q}i=1，。。。，n、 与（B.4）相似，我们恢复n’s’（q）≤ 最大值（maxd）∈[0,1）nnB（d）-1诊断hI{di=0，hiq∧人工智能-hi1-q<ai}ii=1，。。。，nhiqI{hiq<ai-hi1-q}-人工智能- 嗨（1- q） I{hiq≥人工智能-hi1-q}i=1，。。。，n再次让B（d）=I+diag（d）（1n×n- 一） 。我们在B（d）上得到了相同的界（B.5）-1诊断I{d=0}.

我们最终包括Maxq∈[f（M），1]n’s’（q）≤ 最大质量∈[f（M），1]d∈[0,1）nnB（d）-1诊断I{d=0，hq∧一-h1-q<a}hiqI{hiq<ai-hi1-q}-人工智能- 嗨（1- q） I{hiq≥人工智能-hi1-q}i=1，。。。，n≤ 最大质量∈[f（M），最大值=1，…，nhiai]不适用-h1-q∧ a1级- q∨ 最大质量∈[f（M），1]nhq公司∧ aq公司≤Pni=1aiν∨Pni=1aif（M）≤Mν∧ f（M）。参考文献【1】D.Acemoglu、A.Ozdaglar和A.Tahbaz Salehi。金融网络中的系统性风险和稳定性。《美国经济评论》，105（2）：564–6082015。[2] H.Amini、R.Cont和A.Minca。金融网络的抗传染能力。《数学金融》，26（2）：329–365，2016年。[3] H.Amini、D.Filipovi\'c和A.Minca。中央结算的系统性风险。瑞士金融研究所（Swiss Fin an ce InstituteResearch Paper No.13-34），瑞士金融研究所，2013年。[4] H.Amini、D.Filipovi\'c和A.Minca。具有清算费用的支付系统均衡的唯一性。运筹学快报，44（1）：1-52016。[5] K.Anand、B.Craig和G.Von Peter。填补空白：网络结构和银行间传染。定量金融，15（4）：625–6362015。[6] T.Banerjee和Z.Feinstein。具有共同捐赠的金融网络中债务和权益的定价。2018年，工作文件。[7] M.Bardocia、P.Barucca、A.Brinley Codd和J.Hill。偿付能力传染风险的下降。英格兰银行工作文件，6622017。[8] P.Barucca、M.Bardocia、F.Caccioli、M.D\'Errico、G.Visentin、S.Battiston和G.Caldarelli。金融系统中的网络估值。2016年工作文件。[9] M.Bichuch和K.Chen。系统性风险：市场信心的影响。2017年，工作文件。[10] M.Boss、H.Elsinger、M.Summer和S.Thurner。银行间市场的网络拓扑。QuantitativeFinance，4（6）：677–6842004。[11] M.K.Brun nermeier。解释2007-2008年的流动性和信贷紧缩。《经济展望杂志》，23（1）：77–1002009年。[12] N.Chen、X.Liu和D.D.Yao。

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