关于美式看跌期权的二项式近似

通过卷积，可以用一个平滑、一致有界且满足δum的序列um来近似u≤ 0和Dum≤达姆。我们需要引理3.1的以下变量。引理4.1。如果ρ是（0，T）×R上的Radon测度，q是（0，T）×R上的非负可积函数，则q（T，x）=0 f或T/∈ （0，a），其中a满足0<a<h，我们有-hhds公司√sZ |ρ* q（s，y）|（1+| y |）k/2dy≤ 2k/2ZT-hh小时-aZR |ρ（dt，dz）|√t（1+z）k/2ZadsZ∞-∞q（s，x）（1+x）k/2dx。证据：我们有-hhds公司√sZdy（1+| y |）k/2 |ρ* q（s，y）|≤ZT公司-hhds公司√sZdy（1+| y |）k/2Z Z |ρ（dt，dz）| q（s- t、 y型- z） =z z |ρ（dt，dz）| ZT-hhds公司√sZdy（1+| y |）k/2q（s- t、 y型- z）≤ZT公司-hh小时-aZ |ρ（dt，dz）| Zadθ√t+θZdy（1+| y |）k/2q（θ，y- z）≤ZT公司-hh小时-aZ |ρ（dt，dz）|√tZadθZdy（1+| y |）k/2q（θ，y- z） =ZT-hh小时-aZ |ρ（dt，dz）|√t（1+z）k/2Zadθz（1+z）k/2dx（1+x+z）k/2q（θ，x）≤ 2k/2ZT-hh小时-aZ |ρ（dt，dz）|√t（1+z）k/2ZadθZdx（1+x）k/2q（θ，x），其中最后一个不等式来自1+z1+（x+z）≤ 2（1+x）。使用引理4.1u型/(t型x） 是氡测量值（见（13）和下面的元素），我们得出（11）的正确版本，即p（n）- P≤ Ck，Xh√ZT公司-hh小时√sZ1+| y | kut型x（ds，dy）+ O（h）。（12） 如果我们引入函数▄u：=u- \'u，我们有，利用δ\'u=0，ZT的事实-hh小时√sZ1+| y | kut型x（ds，dy）≤ZT公司-hh小时√sZ1+| y | kut型x（ds，dy）+2ZT-hhds公司√sZdy1+| y | k\'\'ut（s，y）≤ZT公司-hh小时√sZ1+| y | kut型x（ds，dy）+2CTZT公司-hhds公司√s（T）- s）≤ZT公司-hh小时√sZ1+| y | kut型x（ds，dy）+ CT | ln h |，其中我们使用了命题3.1。我们现在需要估算-hh小时√sR1+| y | kut型x（ds，dy）. 从备注2.1中可以看出：ut（t，x）+ux（t，x）=ζ（t，x）1{x≤^b（t）}，式中ζ（t，x）=e-rt（A-r） Д（ln（S）+ut+σx）和^b（t）=b（T- t）- ut- ln（S）/σ. 通过区分t，我们得出以下表达式ut（t，x）+ut型x（t，x）=ζt（t，x）1{x≤^b（t）}+ζ（t，^b（t））^b′（t）Δ^b（t），（13），其中我们使用了引理3.5。

请注意SUPX≤^b（t）ζt（t，x）< ∞ 和sup0<t<tζ（t，^b（t））< ∞.此外，| b′（t）|≤ |b′（T- t） |+|u/σ|，因此Ztdt√t |^b′（t）|≤ZT/2dt√t | b′（t- t） |+ZTT/2dt√t | b′（t- t） |+2u/σ|√T≤ sup0≤t型≤T/2 |￠b′（T- t） | ZT/2dt√t++sTZTT/2 |b′（t- t） | dt+2 |u/σ|√T=sup0≤t型≤T/2 |￠b′（T- t） | ZT/2dt√t+sTb（0）-b（T/2）+ 2|u/σ|√T<∞.因此，（1 3）的右侧是氡测量值，因为根据定理3.1，u/它是局部可积的，因此u/t型xis是氡测量值。此外，我们还有ZT-hh小时√sZ1+| y | kut型x（ds，dy）≤ CT+2ZT-hhds公司√sZ1+| y | kut（s，y）.现在，使用Cauchy-Schwarz不等式和定理3.1，我们得到了zt-hhds公司√sZdy1+| y | kut（s，y）≤CZT公司-hhdss（T- s-h） 哦！1/2ZT公司-hhds（T- s-h）ut（s，）k1/2≤ Cq | ln h|ZT公司-hhds（T- s-h）ut（s，.）k1/2=Cq | ln h|ZT公司-hh/2dt（t-h）ut（t- t、 .）k1/2≤ Cq | ln h | 1+β，如果d>r，β=1，如果d，β=3/2≤ r、 最后一个不等式来自定理3.1和引理3.4，以及函数U和U的导数之间的关系（参见备注2.1；我们也使用经典界||U型/t（t，.）||∞+ ||U型/x（t，.）||∞≤ C类/√t） 。我们得出结论P（n）- P≤ C（ln n）αn，如果d>r，则α=1，如果d，则α=5/4≤ r、 5 P（n）的下限- p对于下限的推导，我们使用了文献[6]中介绍的停止时间（参见定理5.6的顶部）。即τ=τ{τ<T-h} +T 1{τ=T-h} ，其中τ=infnt∈ [0，T- h] |吨/小时∈ N和d（B（N）t，It+h）≤√h | | X||∞+ |u| ho。这里，它={x∈ R | u（t，x）=g（t，x+ut）}。注意，如果t<t，则它=(-∞,^b（t）]。将τ改为τ的动机是u型/t靠近t。

由于τ，P（n）的定义，我们有- P≥ Ee-rτg（uτ+B（n）τ）-u（0，0）= Ee-rτg（uτ+B（n）τ）-u（τ，B（n）τ）+u（τ，B（n）τ）- u（0，0）.我们有u（τ，B（n）τ）- u（0，0）= Eτ/hXj=1Du（（j- 1） h，B（n）（j）-1） h）= E（τ/小时）∧（n）-2） Xj=1Du（jh- h、 B（n）jh-h）+E{τ=T}nXj=n-1Du（jh- h、 B（n）jh-h）= E（τ/小时）∧（n）-2） Xj=1Du（jh- h、 B（n）jh-h）+ O（h），其中最后一个等式来自于[6]的L emma 4.1。现在，如果j<（τ/h）∧（n）-2） ，我们有（B（n）jh，Ijh+h）>√h | | X||∞+ |u| h，使b（n）jh>^b（jh+h）+√h | | X||∞+ |u| h。然后我们有，对于s∈ [jh，jh+h]和z∈ [0,√h] B（n）jh+zX>^B（jh+h）+zX+√h | | X||∞+ |u| h≥^b（jh+h）+u| h=^b（s）+^b（jh+h）+u（jh+h）- （^b（s）+us）-u（jh+h- s） +|u| h≥^b（s），最后一个不等式来自t 7→^b（t）+ut正在增加。我们现在可以断言，对于j<（τ/h）∧ （n）- 2） ，Du（B（n）jh，jh）=Du（B（n）jh，jh），因此u（τ，B（n）τ）-u（0，0）≤ En-2Xj=1Du（jh，B（n）jh）+ O（h）≤ C（ln n）αn，如果d>r，则α=1，如果d，则α=5/4≤ r、 如前一节中的讨论所示。我们现在需要一个下限forEe-rτg（uτ+B（n）τ）- u（τ，B（n）τ）.我们有，使用等式{τ≥ T- h} ={τ=T}，u（τ，B（n）τ）- e-rτg（uτ+B（n）τ）=u（τ，B（n）τ）- e-rτg（uτ+B（n）τ）{τ<T-h}=u（τ+h，B（n）τ）- e-rτg（uτ+B（n）τ）{τ<T-h}+u（τ，B（n）τ）- u（τ+h，B（n）τ）{τ<T-h} 。关于集{τ<T- h} ，我们有d（B（n）τ，Iτ+h）≤√h | | X||∞+ |u| h。根据[6]的命题2.6，u（τ+h，B（n）τ）- e-rτg（uτ+B（n）τ）≤ C√h | | X||∞+ |u| h√T- τ - h、 使用估算ut（t，.）∞< C类/√T- t、 我们获得u（τ，B（n）τ）- e-rτg（uτ+B（n）τ）≤ 胆碱酯酶√T- τ - h{τ≤T-2h}！。估算P（n）-P≥ -C（ln n）(R)α现在是引理5.7和[6]的Remark5.8的一个简单结果，可以在下面的陈述中总结。引理5.1。

存在一个正常数C，这样E√T- τ - h{τ≤T-2h}！≤ C（ln h）β，带β=3/2，如果d≤ r、 1，如果d>r.参考文献【1】Barles G.、Burdeau J.、Romano M.和Sansoen N.（1995），《临界股价即将到期》，数学金融5，77-95。[2] Diener M.和D iener F.（2004），《树模型中香草期权价格波动的渐近性》，数学金融，14271-293。[3] Friedman A（1975），《一维抛物型变分不等式与自由边界的光滑性》，泛函分析杂志18151-176。[4] Jaillet P.、Lapeyre B.和Lamberton D.（1990），《变分不等式与美式期权定价》，数学应用学报21263-289。[5] Kinderehrer D.和Stampacchia G.（198 0），《变分不等式及其应用导论》。学术出版社，纽约。[6] Lamberton D（2002），《布朗最优停止和随机游动》，应用MathOptim 45283-324。[7] Lamberton D和Villeneuve S（2003），《美国股息支付股票期权的临界接近到期价格》（avec S.Villeneuve），应用概率年鉴13800-815。[8] Liang J，Bei Hu&Lishang Jiang（2010），《带跳变差的美国期权及其自由边界的二叉树格式的最优收敛速度》，暹罗金融数学杂志，1，30-65。[9] Silvestrov，D.S.（2015）。美式选件。随机近似方法。第2卷。《Mat hematics研究》57，De Gruyter。[10] Villeneuve S（1999年），《埃里卡·丹尼斯和布莱克·斯科尔斯多维模式的选择》。马恩拉瓦利大学博士论文。[11] Walsh J.B.（2003）《二叉树方案的收敛速度》，金融与随机，7，33 7-361。