关于美式看跌期权的二项式近似

因此|ζ（t，x）|≤ CZt | x-b（s）+u（t- s） |（t- s）3/2倍-b（s）+u（t- s） σ√t型- sds公司≤ CZtds公司√t型- s+CZt | x-b（s）|（t）- s）3/2倍-b（s）+u（t- s） σ√t型- sds。注意n（x+x）=n（x）exp-x个- xx！≤ n（x）exp(-xx）≤ n（x）expx+x！=n（x/√2） 因此，对于t∈ （0，T），|ζ（T，x）|≤ CZtds公司√t型- s+CTZt | x-b（s）|（t）- s）3/2倍-b（s）√2σ√t型- sds。注意，对于所有α>0，存在Cα>0，因此，对于所有y∈ R、 n（y）/√2) ≤ Cα/| y | 2α。因此，对于t∈ （0，T），|ζ（T，x）|≤ C√t+CαZt | x-b（s）|（t）- s） 3/2（t- s） α| x-b（s）| 2αds=C√t+CαZt（t- s）α-|x个-b（s）| 2α-1ds=C√t+Cαtα-Z（1- u）-α| x-b（tu）| 2α-1件。现在，取α=+ε（0<ε<1/4），然后取β（t，x）=x-b（t）| 1-2α=| x-b（t）|-2ε.我们得到| |ζ（t，.）||L（νj）≤ C√t+CtεZ（1- u） 1个-ε| |β（tu，.）||L（νj）du。利用引理3.1，我们得到了| |β（tu，.）||L（νj）≤ 2月2日1+~b（tu）j/2Z | x | 4εdx（1+x）j/2。由于ε<1/4，右侧的积分是有限的，引理很容易遵循。现在我们来研究Ut型x、 回想一下U型/t解抛物方程-五/t+（A- r） v=集合{（t，x）| t>0，x>b（t）}中的0。因为练习边界是不同的U型/t是连续的，并且在运动边界上消失，因此Ut型xis连续“向上到边界”，即在集合{（t，x）| t>0，x上≥b（t）}（见[3]，引理4.5）。我们首先表明Ut型xis沿运动边界为非负。引理3.3。我们有，对于任何t>0，Ut型x（t，~b（t））≥ 证明：对于所有t>0的情况，由于平滑fit特性，Ux（t，~b（t））=Д′（~b（t）），因此，通过对t的微分，Ut型x（t，~b（t））+Ux（t，~b（t））~b′（t）=Д′（~b（t））~b′（t）和Ut型x（t，~b（t））=-Ux（t，~b（t））- И′（~b（t））！~b′（t）。注意，对于每个t>0，函数x 7→ U（t，x）-Д（x）为Con，间隔为[b（t），∞)且最小值为▄b（t）。因此，它的二阶导数此时必须是非负的。自▄b′（t）≤ 0，证明了引理。引理3.4。修复T>0和j>1。

存在一个常数C>0，这样，对于所有t∈ （0，T∧ 1] ，ZTtUt型x（t，.）L（νj）dt≤ C ln（1/t）。为了证明引理3.4，我们需要与运算符关联的双线性形式- r、 我们首先介绍了相关的加权Sobolev空间。对于j>1，设Hj=L（R，νj），Vj={f∈ Hj | f′型∈ Hj}。HJ上的内积用（·，·）Jan表示，关联范数用······················································+∞-∞f（x）dx（1+x）j/2和| | f | | j=| f | j+| f′j。回想一下，部分微分算子A由A=σ定义x+ux、 我们与操作员A联系- r Vj上的双线性泛函，由aj（f，g）=σZ定义∞-∞f′（x）g′（x）dx（1+x）j/2-jσZ∞-∞f′（x）g（x）x（1+x）（j/2）+1dx-uZ∞-∞f′（x）g（x）dx（1+x）j/2+rZ∞-∞f（x）g（x）dx（1+x）j/2，因此，如果f′∈ Vj，aj（f，g）=-（（A- r） f，g）j。将aj（f，g）写为aj（f，g）=aj（f，g）+aj（f，g），其中aj（f，g）=σ[（f′，g′）j+（f，g）j]和aj（f，g）=aj（f，g）- aj（f，g）。（5） 使用这些符号，很容易检查|(R)aj（f，g）|≤ C | | f | | j | g | jand | aj（f，g）|≤C | | g | j | f | j，对于一些不依赖于f或g的常数C。引理3.4的证明：为了排除正则性问题，我们引入了一个C∞, R×R上的非负函数ρ，其中Rρ（t，x）dtdx=1，suppρ [-1, 0] × [-1，+1]并设置，对于任何正整数m，ρm（t，x）=mρ（mt，mx）。现在，让我们=Ux、 Wm=W*ρm，且hm=~h*ρm。

对于每个m>0，函数Wm、hm是C∞对于有界导数，我们有-Wm公司t+（A- r） Wm公司=百米x、 乘以Wm公司/对于任何固定的t>0，-Wm公司t（t，.），Wm公司t（t，）！j- ajWm（t，.），Wm公司t（t，）=Z百米x（t，x）Wm公司t（t，x）νj（dx）。注意AJWM（t，.），Wm公司t（t，）！=ajWm（t，.），Wm公司t（t，）！+\'ajWm（t，.），Wm公司t（t，）=滴滴涕（▄aj（Wm（t，.），Wm（t，）+\'ajWm（t，.），Wm公司t（t，）！。通过对时间的积分，我们得到，如果0<t<t，-ZTt公司Wm公司t（t，.）jdt+（~aj（Wm（t，），Wm（t，.））- aj（Wm（T，），Wm（T，））=ZTt？ajWm（t，.），Wm公司t（t，）！dt+ZTt百米x（t，.），Wm公司t（t，）！jdt。亨塞兹特Wm公司t（t，.）jdt公司≤aj（Wm（t，），Wm（t，.））-ZTt？ajWm（t，.），Wm公司t（t，）！dt公司-ZTt公司百米x（t，.），Wm公司t（t，）！jdt公司≤aj（Wm（t，），Wm（t，）+CZTt | | Wm（t，.）||jWm公司t（t，.）jdt公司-ZTt公司百米x（t，.），Wm公司t（t，）！jdt。使用不等式2 | | Wm（t，.）||jWm公司t（t，.）j≤ εWm公司t（t，.）j+ε| | Wm（t，.）||j、 we g etZTtWm公司t（t，.）jdt公司≤aj（Wm（t，），Wm（t，）+CZTt | | Wm（t，.）||jdt公司-ZTt公司百米x（t，.），Wm公司t（t，）！jdt。我们有▄aj（Wm（t，.），Wm（t，.））≤ C | | Wm（t，.）||jand，使用引理3.1，| | Wm（t，.）||j≤Zρm（t- t、 y）| | W（t。- y） | | jdtdy≤Zρm（t- t、 y）2j/4（1+y）j/4 | | W（t，.）||jdtdy。利用引理3.2，我们得到了ε∈ （0，1/4））| | W（t，.）||j≤ Ctε。因此▄aj（Wm（t，.），Wm（t，.））≤ CZρm（t- t、 y）2j/2（1+y）j/2t2εdtdy=CZρm（t，y）2j/2（1+y）j/2 | t- t | 2εdtdy=CZρ（t，y）2j/21+ym！日本/2t型-tm公司2εdtdy≤ C（1+t2ε）。我们还有ztt | | Wm（t，.）||jdt=ZTtZdsdyρm（t- s、 y）W（s。- y）jdt公司≤ZTtZdsdyρm（t- s，y）| | W（s。

- y） | | jdt≤ZTtdtZdsdyρm（t- s、 y）2j/2（1+y）j/2 | | W（s，.）||j≤ZT+MTD | | W（s，.）||jZdtdyρm（t- s，y）2j/2（1+y）j/2。SinceRT+1 | | W（s，.）||jds<∞, 我们推断是这样的Wm公司t（t，.）jdt公司≤ C1+t2ε-ZTt公司百米x（t，.），Wm公司t（t，）！jdt。从引理3.2的证明（见（4））可以看出百米x（t，x）=-κm（t，x）+γm（t，x），其中κm=κ* ρm，κ是有界函数，γm（t，x）=Zρm（t- τ、 x个-b（τ））γ（τ）dτ。因此-ZTt公司百米x（t，.），Wm公司t（t，）！jdt公司≤ CZTt公司Wm公司t（t，.）jdt公司-ZTtγm（t，.），Wm公司t（t，）！jdt公司≤ZTt公司Wm公司t（t，.）jdt+CT-ZTtγm（t，.），Wm公司t（t，）！jdt，这里我们使用了CWm公司t（t，.）j≤Wm公司t（t，.）j+C.ThereforeZTtWm公司t（t，.）jdt公司≤ C1+t2ε-ZTtγm（t，.），Wm公司t（t，）！jdt。

（6） 请注意Wm公司t型=嗯t型x个-嗯t型x、 其中Um=U* ρmand um=uД* ρm，因此-ZTtγm（t，.），Wm公司t（t，）！jdt=J（1）m+J（2）m，其中J（1）m=-ZTtγm（t，.），嗯t型x（t，.）！jdt和J（2）m=ZTtγm（t，.），嗯t型x（t，.）！jdt。我们有j（1）m=-ZTtdtZdx（1+x）j/2γm（t，x）嗯t型x（t，x）=-zttdtzzdx（1+x）j/2Zdτγ（τ）ρm（t- τ、 x个-b（τ））嗯t型x（t，x）=-ZdτZdsZdy1{t<τ+s<t}γ（τ）ρm（s，y）嗯t型x（τ+s，~b（τ）+y）（1+（y+~b（τ）））j/2=-ZT+mtγ（τ）ηm（τ）dτ，其中ηm（τ）=ZT-τt-τdsZdy（1+（y+～b（τ）））j/2ρm（s，y）嗯t型x（τ+s，~b（τ）+y）=ZT-τt-τdsZρm（s，y）dy（1+（y+~b（τ）））j/2Z Zds′dy′ρm（s′，y′）Ut型x（τ+s- s′，~b（τ）+y- y′）。注意这一点Ut型开集S={（t，x）| t>0，x<b（t）}（这是停止区域的内部集合），因此ηm（τ）=ZT-τt-τdsZρm（s，y）dy（1+（y+~b（τ）））j/2Z Zds′dy′ρm（s′，y′）W（τ，s- s′，y- y′），其中W（τ，θ，z）=Ut型x（τ+θ，~b（τ）+z）1{b（τ）+z≥~b（τ+θ）}。自从Ut型x（τ，~b（τ））≥ 0，对于τ>0，我们有ηm（τ）≥ZT公司-τt-τdsZ Zρm（s，y）dyρm（s′，y′）ds′dy′1+（y+~b（τ））j/2D（τ，s- s′，y- y′），其中d（τ，θ，z）=Ut型x（τ+θ，~b（τ）+z）-Ut型x（τ，~b（τ））！{b（τ）+z≥~b（τ+θ）}。因此（自γ≥ 0）J（1）m≤ -ZT+mtγ（τ）εm（τ）dτ，其中εm（τ）=ZT-τt-τdsZ Z Zρm（s，y）dyρm（s′，y′）ds′dy′（1+（y+~b（τ）））j/2D（τ，s- s′，y- y′）。我们有εm（τ）|≤ZT公司-τt-τDm（τ）ds=（T- t） Dm（τ），其中Dm（τ）=sup |θ|≤1/m，| z|≤2/米|D（τ，θ，z）| 1{b（τ）+z≥~b（τ+θ）}.由于Ut型x、 作为m→ ∞ , 函数Dm在区间[t，t+1]上一致收敛到0。因此，我们有LIM supm→∞J（1）m≤ 0。（7）我们现在检查J（2）m。

利用γ的有界性，我们得到了| J（2）m |≤ZTtdtZdx（1+x）j/2 |γm（t，x）|嗯t型x（t，x）≤ CZTtdtZdx（1+x）j/2Zdτρm（t- τ、 x个-b（τ））嗯t型x（t，x）.注意，由于Д是Lipschitz，我们有u^1t型x（t，.）∞≤Ctand，自suppρ [-1, 0] ×[-1, +1],嗯t型x（t，.）∞≤Z Zdτdyρm（τ，y）u^1t型x（t- τ, .)∞≤计算机断层扫描。因此| J（2）m |≤ CZTtdttZdxZdτρm（t- τ、 x个-b（τ））=C lnTt。（8） 从（6）、（7）和（8）中可以看出，thatlim supm→∞ZTt公司Wm公司t（t，.）jdt公司≤ C1+t2ε+lnTt,这证明了引理。3.3定理3.1的证明对于定理3.1的证明，我们将研究满足以下条件的方程：U/t、 乐视网=Ut、 我们有-五、t+（A- r） 五=小时t、 式中，h（t，x）=（A- r） Д（x）1{x≤~b（t）}，t>0，x∈ R、 下面的引理将阐明导数的计算小时/t在分配的意义上。引理3.5。在（0+∞) ×R byI（t，x）=1{x≤~b（t）}，t>0，x∈ R、 分发我/t应用于紧支撑C∞函数ρo n（0+∞) ×R由H给出我t、 ρi=Z▄b′（t）ρ（t，▄b（t））dt。可以这样写（不太精确）：我t（t，.）=b′（t）δОb（t）。证据：我们有我t、 ρi=-你好ρti=-ZdtZdxI（t，x）ρt（t，x）设J为▄b的范围。我们有J=（▄b(∞),b（0））。注意，如果x≤b(∞), I（t，x）=1表示所有t>0，如果x≥对于所有t>0的情况，b（0）I（t，x）=0，因此，在大多数情况下，RI（t，x）ρt（t，x）dt=0。因此我t、 ρi=-ZJdxZdt1{x≤~b（t）}ρt（t，x）=-ZJdxZdt1{t≤b-1（x）}ρt（t，x）=-ZJdxρ（￠b-1（x，x）=Z▄b′（t）ρ（t，▄b（t））dt。在这里，我们使用了t hatb严格递减的事实（这在[10]中得到了证明），但我们也可以通过严格递减的f函数bε（t）=-εt+~b（t）推导公式。事实上，我们只需要▄b变为C：实际上，我们可以用▄bu（t）=代替▄b（t）▄-ut+~b（t）并选择u，以便▄bu在ρ的支撑点的时间投影附近严格增加。

我们现在开始定理3.1的证明。在引理3.4的证明中，Weintroducing正则化序列ρm，setVm=V* ρmandχm=小时t型* ρm，因此-虚拟机t+（A- r） Vm=χm注意函数Vm，χmare C∞, 在任意子集[t，t]×R上有界导数，0<t<t。这是因为V在这样的子集上有界。对于任何大于0的系数，乘以虚拟机/t并对νjt进行积分，以获得-虚拟机t（t，.）j- ajVm（t，.），虚拟机t（t，）=Zχm（t，x）虚拟机t（t，x）νj（dx）。我们有AJVM（t，.），虚拟机t（t，）=滴滴涕（Vm（t，），Vm（t，）+\'ajVm（t，.），虚拟机t（t，）！。通过对时间的积分，我们得到，如果0<t<t，-ZTt公司虚拟机t（t，.）jdt+[~aj（Vm（t，.），Vm（t，.））- aj（Vm（T，），Vm（T，）]=ZTt？ajVm（t，.），虚拟机t（t，）！dt+ZTtχm（t，.），虚拟机t（t，）！jdt。亨塞兹特虚拟机t（t，.）jdt公司≤ C | | Vm（t，.）||j-ZTt？ajVm（t，.），虚拟机t（t，）！dt公司-ZTtχm（t，.），虚拟机t（t，）！jdt公司≤ C||Vm（t，.）||j+ZTt | | Vm（t，.）||j虚拟机t（t，.）jdt公司+ Jm（t，t），其中Jm（t，t）=-ZTtχm（t，.），虚拟机t（t，）！jdt。使用不等式2 | | Vm（t，.）||j虚拟机t（t，.）j≤ ε虚拟机t（t，.）j+ε| | Vm（t，.）||j、 we deriveZTt公司虚拟机t（t，.）jdt公司≤ C | | Vm（t，.）||j+ZTt | | Vm（t，.）||jdt！+Jm（t，t）。（9） 现在我们研究Jm（t，t）。注意，对于任何固定的t>0，χm（t，.），虚拟机t（t，）！j=Zνj（dx）虚拟机t（t，x）小时t型* ρm（t，x）我们有小时t（t，）=（A）- r） ^1我t（t，.），因此，使用引理3.5和符号γ（t）=-（A）- r） ^1（￠b（t））小时t型* ρm（t，x）=-Zdτρm（t- τ、 x个-~b（τ））~b′（τ）γ（τ），回想一下γ（τ）≥ 因此χm（t，.），虚拟机t（t，）！j=-Zνj（dx）虚拟机t（t，x）Zdτρm（t- τ、 x个-b（τ））~b′（τ）γ（τ）=-ZdτZdx（1+x）j/2虚拟机t（t，x）ρm（t- τ、 x个-b（τ））~b′（τ）γ（τ）=-ZdτZdy（1+（y+～b（τ）））j/2虚拟机t（t，y+~b（τ））ρm（t- τ、 y）~b′（τ）γ（τ）。回到Jm（t，t），我们有Jm（t，t）=-ZTtdtZdτZdy虚拟机t（t，y+~b（τ））ρm（t- τ、 y）γj（τ，y），其中γj（τ，y）=-（1+（y+～b（τ）））j/2～b′（τ）γ（τ）。注意，γj（τ，y）≥ 0

我们有jm（t，t）=-ZdτZdtZdy1{t<t<t}虚拟机t（t，y+~b（τ））ρm（t- τ、 y）’γj（τ，y）=-ZdτZdsZdy1{t<τ+s<t}虚拟机t（τ+s，y+~b（τ））ρm（s，y）’γj（τ，y）。观察ddτVm（τ+s，y+~b（τ））=虚拟机t（τ+s，y+~b（τ））+虚拟机x（τ+s，y+~b（τ））~b′（τ），因此虚拟机t（τ+s，y+~b（τ））=ddτVm（τ+s，y+~b（τ））-虚拟机x（τ+s，y+~b（τ））~b′（τ）。HenceJm（t，t）=^Jm（t，t）+Jm（t，t），其中^Jm（t，t）=-ZdτZdsZdy1{t<τ+s<t}ddτVm（τ+s，y+~b（τ））ρm（s，y）(R)γj（τ，y）和(R)Jm（t，t）=+ZdτZdsZdy1{t<τ+s<t}虚拟机x（τ+s，y+~b（τ））~b′（τ）ρm（s，y）(R)γj（τ，y）。使用分部积分，我们得到了^Jm（t，t）=-ZdsZdyρm（s，y）ZT-st公司-sddτVm（τ+s，y+~b（τ））γj（τ，y）dτ！=-ZdsZdyρm（s，y）Vm（T，y+~b（T- s） ）’γj（T- s、 y）+ZdsZdyρm（s，y）Vm（t，y）+b（t- s） ）’γj（t- s、 y）+ZdsZdyρm（s，y）ZT-st公司-支持向量机（s+τ，y+~b（τ））\'-γjτ（τ，y）dτ。注意，由于V的连续性（=U/t） 打开（0，∞) ×R，序列vm在紧集上收敛于V。我们还有γjand的连续性\'-γj/τ（由于▄b是C的偏差）。我们很容易推断出→∞^Jm（t，t）=-V（T，~b（T））？γj（T，0）+V（T，~b（T））？γj（T，0）+ZTtV（τ，~b（τ））\'-γjτ（τ，0）dτ，（10），且只要在[ξ，t]形式的紧致集合中波动，则收敛关于t是一致的，其中0<ξ<t。对于Jm（t，t），我们有Jm（t，t）=J（1）m（t，t）+J（2）m（t，t），其中J（1）m（t，t）=+ZdτZdsZdy1{t<τ+s<t}嗯t型x（τ+s，y+～b（τ））～b′（τ）ρm（s，y）～γj（τ，y）和'j（2）m（t，t）=-ZdτZdsZdy1{t<τ+s<t}嗯t型x（τ+s，y+~b（τ））~b′（τ）ρm（s，y）(R)γj（τ，y）。我们用同样的方法处理J（1）m（t，t）来证明（7）。

利用▄b′（τ）▄γj（τ，y）这一事实≤ 0，我们有J（1）m（t，t）≤~J（1）m（t，t），其中~J（1）m（t，t）=ZdτZdsZdy1{t<τ+s<t}Z Zds′dy′ρm（s′，y′）D（τ，s- s′，y- y′）～b′（τ）ρm（s，y）～γj（τ，y），其中（τ，θ，z）=Ut型x（τ+θ，~b（τ）+z）-Ut型x（τ，~b（τ））！{b（τ）+z≥~b（τ+θ）}。由于Ut型x、 我们有Limm→∞~J（1）m（t，t）=0，且只要在[ξ，t]中波动，则收敛相对于t是一致的。另一方面，由于u^1t型x、 我们有Limm→∞\'J（2）m（t，t）=-ZTtdτu^1t型x（τ，~b（τ））~b′（τ）’γj（τ，0），与t一致∈ [ξ，T]。在这个阶段，我们可以声明Jm（t，t）≤~Jm（t，t），其中▄Jm（t，t）=^Jm（t，t）+▄J（1）m（t，t）+▄J（2）m（t，t），和limm→∞支持∈[ξ，T]~Jm（t，t）-J（t，t）= 0，其中▄J（t，t）=-V（T，~b（T））？γj（T，0）+V（T，~b（T））？γj（T，0）+ZTtV（τ，~b（τ））\'-γjτ（τ，0）dτ-ZTtdτut型x（τ，～b（τ））～b′（τ）～γj（τ，0）。自从U型/t沿运动边界消失，我们有V（t，~b（t））=-u^1t（t，~b（t）），所以-V（T，~b（T））？γj（T，0）+V（T，~b（T））？γj（T，0）+ZTtV（τ，~b（τ））\'-γjτ（τ，0）dτ=u^1t（t，b（t））’γj（t，0）-u^1t（t，b（t））’γj（t，0）-ZTt公司u^1t（τ，~b（τ））\'-γjτ（τ，0）dτ=ZTtddτu^1t（τ，~b（τ））！γj（τ，0）dτ，因此￠j（t，t）=ZTt“ddτu^1t（τ，~b（τ））！-u^1t型x（τ，~b（τ））~b′（τ）#γj（τ，0）dτ=ZTtu^1t（τ，~b（τ））？γj（τ，0）dτ。现在我们回到（9）并对tto deriveZTξdtZTt进行积分嗯t（t，.）jdt公司≤ CZTξ| | Vm（t，.）||jdt+ZTξZTt | | Vm（t，.）||jdt！dt+ZTξdtJm（t，t）。HenceZTξ（t- ξ)嗯t（t，.）jdt公司≤ CZTξ| | Vm（t，.）||jdt+ZTξdtJm（t，t）。请注意，LIMM→∞ZTξ| | Vm（t，.）||jdt=ZTξ| | V（t，.）||jdt公司≤ C1+lnTξ！，其中最后一个不等式来自引理3.4。

此外，limm→∞ZTξdt▄Jm（t，t）=ZTξdt▄J（t，t）=ZTξ（t- ξ)u^1t（t，～b（t））～γj（t，0）dt。HenceZTξ（t- ξ)Ut（t，.）jdt公司≤ C1+lnTξ+ZTξ（t- ξ)u^1t（t，～b（t））～γj（t，0）dt。现在，定理3.1源自以下引理，该引理依赖于接近到期日的基本练习的渐近行为（见[1]，[7]）。引理3.6。我们有ztξ（t- ξ)u^1t（t，~b（t））|~b′（t）| dt≤ C1+| lnξ|β, 带β=3/2，如果d≤ r、 1，如果d>r。证明：我们首先注意到，由于Д是有界的且Lipschitz连续的，我们有u^1t（t，.）∞≤Ct3/2。这可以通过论证（如命题3.1的证明）来看出，u（t，.）=e-rtpt公司* ^1，以便和u^1t（t，）=（A）- r） u^1。为了估计到第4阶的uД的x导数，我们可以区分pThree次并使用Д′的有界性。然后我们得到ztξ（t- ξ)u^1t（t，~b（t））|~b′（t）| dt≤ CZTξt- ξt3/2 |b′（t）| dt≤ CZTξ√t | b′（t）| dt。现在，自▄b′（t）≤ 0，我们有ztξ√t | b′（t）| dt=-ZTξ√t~b′（t）dt=-b（T）-b（0）√T-b（ξ）-b（0）√ξ!-ZTξt3/2（￠b（t）-b（0））dt≤b（0）-b（T）√T+ZTξt3/2（￠b（0）-b（t））dtIf d≤ r、 我们有b（0）-b（t）≤ Cqt | ln t |对于t接近0，因此ztξt3/2（￠b（0）-b（t））dt≤ CZTξtq | ln t | dt≤ C（1+| lnξ| 3/2）。如果d>r，我们有▄b（0）-b（t）≤ C√t表示t接近0，因此ztξt3/2（￠b（0）-b（t））dt≤ CZTξtdt=C ln（T/ξ）。4 P（n）的上限- 推导P（n）上界的引脚顺序- P、 我们使用（1）将该数量与修正值函数u关联如下：P（n）- P=supτ∈T（n）0，TEe-rτg（uτ+B（n）τ）- u（0，0）≤ supτ∈T（n）0，TEu（τ，B（n）τ）- u（0，0）= supτ∈T（n）0，TEτ/hXj=1Du（（j- 1） h，B（n）（j）-1） h）.我们观察到Du≤Du，并从[6]（引理4.1）中回忆起sup0≤j≤n-1E级Du（jh，B（n）jh）≤Ch，所以p（n）- P≤ En-2Xj=1Du（jh，B（n）jh）+ O（h）≤ Ck，Xh√ZT公司-hhds公司√sZdy1+| y | kut型x（s，y）+ O（h）。（11） 这里，我们有一个正则性问题，因为u不是t C。这个问题可以如下所示。