关于美式看跌期权的二项式近似

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英文标题：
《On the binomial approximation of the American put》
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作者：
Damien Lamberton (LAMA, MATHRISK)
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We consider the binomial approximation of the American put price in the Black-Scholes model (with continuous dividend yield). Our main result is that the error of approximation is $O((ln n) $\\alpha$ /n)$ where n is the number of time periods and the exponent $\\alpha$ is a positive number, the value of which may differ according to the respective levels of the interest rate and the dividend yield.
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中文摘要：
我们考虑Black-Scholes模型（具有连续股息收益率）中美式看跌期权价格的二项式近似。我们的主要结果是，近似误差为$O（（ln n）$\\ alpha$/n）$，其中n是时段数，指数$\\ alpha$是一个正数，其值可能根据利率和股息率的不同水平而不同。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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关键词：看跌期权 二项式 Mathematical Quantitative Differential

关于美国putDamien Lamberton的二项式近似*此版本：2018年11月摘要我们考虑BlackScholes模型中美式看跌期权价格的二项近似值（具有连续的股息收益率）。我们的主要结果是，近似误差为O（（ln n）α/n），其中n是时段数，指数α是正数，其值可能会根据利率和股息率的不同水平而不同。1二项式近似考虑Black-Scholes模型，其中t时刻的股票价格由t=Se（r）给出-d-σ） t+σBt，其中，在风险中性概率度量下，（Bt）t≥0是标准布朗运动。这里，r是瞬时利率，d是股息率（或外汇期权的外国利率）。我们假设r>0和d≥ 用P表示到期日为T且履约价格为k的美式看跌期权的价格函数，因此P（T，x）=supτ∈T0，T-特克斯e-rτf（Sτ）, 0≤ t型≤ T、 x个∈ [0, +∞),f（x）=（K- x） +，Ex=E（·| S=x）。这里，T0，tD表示关于布朗过滤的所有停止时间集，其值在区间[0，t]内。出于技术原因（尤其是为了推导价格函数二次导数的正则性估计），使用对数股价更为方便。因此，我们引入xxt=x+ut+σBt，其中u=r- d-σ、 andU（T，x）=supτ∈T0，TEe-rτ~n（Xxτ）,*巴黎理工大学，分析与数学实验室（UMR 8050），UPEM，UPEC，CNRS，Projet Mathrisk INRIA，F-77454，Marne la Vall\'ee，France-damien。lamberton@u-pem。frwithД（x）=（K- ex）+。

我们得到p（t，x）=U（t- t、 ln（x）），t>0，x>0。注意，U（t，x）满足以下抛物线变分不等式max“-Ut+（A-r） U，^1- U#=0，初始条件U（0，）=φ.这里，A是X的最小生成元，名称为A=σx+ux、 回想一下，对于每个T>0，都有一个实数▄b（T）≤ ln（K）使得u（T，x）>Д（x）<=> x>~b（T）。事实上，如果（b（t），0≤ t型≤ T）是到期日为T的美式看跌期权的行权边界，我们有▄b（T）=ln（b（T- t） ）。我们还需要欧洲价值函数，由“U（T，x）=E”定义e-rT^1（XxT）.请注意，U（0，）=^1和-\'\'Ut+（A- r） \'U=0。请注意，在第3节中，功能“U”将用U^1表示。现在我们介绍布朗运动的随机游走近似。更精确地说，假设（Xn）n≥1是一个i.i.d.实数随机变量序列，满足EXn=1和EXn=0，并确定对于任何正整数n，过程B（n）by B（n）t=qT/n[nt/t]Xk=1Xk，0≤ t型≤ T、 其中，[nt/T]表示nt/T中的最大整数。我们将假设以下关于Xn的共同分布（参见[6]的假设（H4））。在二项式情况下，X的值{-1, +1}.（H4）随机变量Xis有界且满足EX=1和EX=EX=0。在下文中，我们确定砂集P=P（0，S）=U（T，ln S）。注意，如果我们引入符号g（x）=（K- Seσx）+，我们有p=supτ∈T0，TEe-rτg（uτ+Bτ）,u=u/σ。现在我们有了P的自然近似值，由P（n）=supτ给出∈T（n）0，TEe-rτg（uτ+B（n）τ）,式中，T（n）0，T表示所有停车时间的集合（关于b（n）的自然过滤），其值为[0，T]∩ {0，T/n，2T/n，…（n）- 1） 电话号码，T}。我们的主要结果如下。定理1.1。

存在一个正常数C，对于所有正整数n，-C（ln n）(R)αn≤ P（n）- P≤ C（ln n）αn，其中，如果d>r，α=α=1，如果d，α=3/2，α=5/4≤ r、 上述估计改进了我们之前的结果（见[6]，定理5.6），该结果给出了形式C的上限√ln nn4/5. 请注意，对于欧式期权，误差估计为O（1/n）（参见[2]，[11]）。我们还提到了[8]一个明确的差异方案的结果，该方案给出了大鼠的EO（1/√n） ，但他们的估计在时间间隔内是一致的，而我们专注于固定时间的误差估计。本文[8]也有关于行权边界近似的结果。我们还参考了[9]及其参考文献，以查看最近关于美式期权价格近似的结果。我们的方法与[6]中的方法相同：我们将误差r估计与值函数的正则性联系起来。根据弗里德曼和金德莱勒的精神，二阶时间导数的二次估计值得到了改进（见[3]和[5]）。我们还利用了练习边界的光滑性及其渐近性质。定理1.1中的常数C与Berry-Esseen估计和值函数的正则性有关。尽管很难跟踪t正则性估计中的常数，但值得一提的是，只要（u，σ）保持在r×（0，∞). 这一观察的结果是，定理1.1中的边界也适用于近似的变体，其中近似ln（St/S）的过程（而不是ut+σB（n）t）由unt+σnB（n）tat离散时间t给出，其中un=u+o（1/n）和σn=σ+o（1/n），这是经典风险中性近似中出现的。

事实上，标准参数表明，值函数相对于σ（远离0）和u是局部L ipschitz连续的。本文的组织结构如下。在下一节中，我们将回顾[6]的一些结果。第3节专门讨论值函数导数的估计。然后在第4节和第5节中使用估计值来证明定理1.1：在第4节中，我们给出了P（n）的上界- 在第5节中，我们推导了下界。承认：与Martijn Pistorius就美式期权的近似进行了富有成效的讨论，这激发了本文的研究，作者非常感谢Martijn Pistorius。2价值函数和近似过程如【6】中所述，我们引入了修正的价值函数u（t，x）=e-rtU（T- t、 ln（S）+ut+σx），t≥ 0，x∈ R、 我们有P=u（0，0）和u（T，x）=e-rTU（0，ln（S）+uT+σx）=e-rT（K- SeuT+σx）+和，对于T∈ [0，T]，u（T，x）≥ e-rt（K- Seut+σx）+=e-rtg（ut+x）。（1） 我们需要u的欧洲类似物，即“u（t，x）=e-rt'U（T- t、 ln（S）+ut+σx）=e-rTE（g（uT+x+BT-t） ），t≥ 0，x∈ R、 我们还将使用符号：h=Tn。使用此符号，我们有b（n）t=√h[吨/小时]Xk=1Xk，0≤ t型≤ T、 我们有，尽管如此∈ {0，h，2h，…（n- 1） h，nh=T}（参见。

[6]中的命题3.1，u（t，B（n）t）=u（0，0）+Mt+t/hXj=1Du（（j- 1） h，B（n）（j）-1） h），其中（Mt）0≤t型≤这是一个鞅（关于B（n）的自然过滤），使得m=0，du（t，x）=Eut+h，x+√hX公司- u（t，x），0≤ t型≤ T- h、 x个∈ R、 上述u（t，B（n）t）的分解（实际上是Doob的分解）可以看作是It^o公式的离散版本，对于光滑函数v：[0，t]×R→ R、 意味着v（t，Bt）-Rtδv（s，Bs）ds是（局部）鞅，其中δv=vt型+vx、 如果v是光滑的，并且Dv（t，x）=E，那么也很容易检查t hatvt+h，x+√hX公司-v（t，x），我们有（1/h）×Dv（t，x）=δv（t，x）+O（h）。我们必须解决的主要技术难题是mod fied value function u的平滑度问题。备注2.1。u的导数通过以下公式与u的导数相关。我们有ut（t，x）=e-rt公司-Ut+uUx个- rU！（T- t、 ln（S）+ut+σx）和ut（t，x）=e-rt公司Ut型- 2uUt型x+uUx+2rUt型- 2ruUx+rU！（T- t、 ln（S）+ut+σx）。我们还有δu（t，x）=ut（t，x）+ux（t，x）=e-rt公司-Ut+（A- r） U！（T- t、 ln（S）+ut+σx）=e-rt（A-r） ν（ln（S）+ut+σx）1{ln（S）+ut+σx≤b（T-t） }，其中最后一个等式来自规则结果（例如，请参见[4]）。我们需要对运算符D进行更精确的描述，由以下命题给出（见[6]的命题3.4）。为方便起见，我们用X表示一个随机变量，其分布与X相同，与序列（Xn）n无关≥1、提案2.1。假设（H4）i满足，v是Con[0，T]×R类的函数≤ t型≤ T-h和x∈ R、 定义Dv（t，x）=2Z√hdξZξdzE“Xξ - X（ξ- z）vt型x（t+ξ，x+zX）#。我们有Dv（t，x）=~Dv（t，x）+2Z√hdξZξdzEXδv（t+ξ，X+zX）,带符号δv=vt型+vx、 和▄Dv（t，x）=2Z√hdξZξdz（ξ- z） E“Xξ- X（ξ- z） 哦！vt型x（t+ξ，x+zX）#。备注2.2。

注意，如果所有s的δv（s，x+zX）=0∈ [t，t+h]和z∈ [0,√h] ，我们有v（t，x）=Dv（t，x）。根据Pro位置2.1中的最后一个等式，我们得出以下估计。Dv（t，x） ≤ 2Z√hξdξZξdzE“X+X！vt型x（t+ξ，x+zX）#≤√赫兹√h2ξdξE“ZξdzX+X！vt型x（t+ξ，x+zX）#≤√hZt+htdsEZdy1{| y-x个|≤√h | X |}| X |+| X |！vt型x（s，y）!=√hZt+htdsZdyE{| y-x个|≤√h | X |}| X |+| X |！！vt型x（s，y）我们从[6]的命题3.2（基于Berry Esseen估计）中了解到∈ （1，3），存在一个正常数Ck（不依赖于X），因此，对于所有y∈ R、 n个≥ 1和j∈ {1，2，…，n}，E|X |+| X |！nB（n）jh-y≤√h | X | o≤Ck公司√jE（| X |）1+E | X | 3+k1+| y | k。因此，对于j=1，n- 1，EDv（jh，B（n）jh）≤Ck，X√j√hZjh+hjhdsZdy1+| y | kvt型x（s，y）≤ Ck，Xh√Zjh+hjhds√sZdy1+| y | kvt型x（s，y）, （2） 其中，对于最后一个不等式，我们使用了不等式jh≥ （j+1）h/2.3二阶时间导数的估计在本节中，我们定义了我们在[6]中使用的规律性结果。我们首先建立一些基本的L-估计。然后，我们得到了差值U=U的二阶时间导数的二次估计-U.对于相关加权Sobolevspace的定义，我们将使用符号νj（dx）=dx（1+x）j/2，j>1.3.1一些基本L-估计建议3.1。假设函数是连续的且满足∈ L（νj），ν′∈ L（νj）和二阶导数Д′是R上的氡测度，其中rr |Д′（dz）|（1+z）j/2<∞.LetuИ（t，x）=e-rtE（Д（Xxt）），t≥ 0，x∈ R、 然后，对于所有T>0，存在一个常数CT>0，因此t型∈ （0，T）]，u^1t（t，.）L（νj）≤CTt。我们将很容易从下面的引理中推导出这个命题。引理3.1。

如果ρ是R上的Radon测度，q是R上的非负可积函数，则有| |ρ* q | | L（νj）≤ 2j/2ZR |ρ（dz）|（1+z）j/2Z∞-∞q（x）（1+x）j/2dx。对于R上的任何可测函数f，y∈ R、 | | f（。- y） | | L（νj）≤ 2j/2（1+y）j/2 | | f | | L（νj）。证明：我们有| |ρ* q | | L（νj）≤Z∞-∞dx（1+x）j/2ZR |ρ（dz）| q（x- z） =ZR |ρ（dz）|（1+z）j/2Z∞-∞q（x）- z） （1+z）j/2（1+x）j/2dx=ZR |ρ（dz）|（1+z）j/2Z∞-∞q（x）（1+z）j/2（1+x+z））j/2dx。请注意，Z≤ 2（（x+z）+x），因此我们推导出1+z1+（x+z）≤1+2（x+z）+2x1+（x+z）≤ 2（1+x）。因此| |ρ* q | | L（νj）≤ 2j/2ZR |ρ（dz）|（1+z）j/2Z∞-∞q（x）（1+x）j/2dx。类似地，对于任何可测函数f和y∈ R、 | | f（。- y） | | L（νj）=Z | f（x- y） | dx（1+x）j/2=Z | f（x）| dx（1+（x+y））j/2=Z | f（x）| 1+x1+（x+y）！j/2dx（1+x）j/2≤Z | f（x）| 1+2（x+y）+2y1+（x+y）！j/2dx（1+x）j/2≤ 2j/2（1+y）j/2 | | f | | L（νj）。命题3.1的证明：We haveuД（t，x）=e-rtZ公司∞-∞^1（x+y）扩展-（y）- ut）2σt！dyσ√2πt=e-rtpt公司* ν（x），其中pt（x）=σ√2πtexp-（x+ut）2σt=σ√tnx+utσ√t！。这里，n表示标准密度函数。另一方面，我们知道，uа满足方程式u^1t=（A- r） uИ，（3）以便u^1t（t，）=e-rt（A- r） pt公司* ^1=e-rtpt公司* [（A- r） ^1]。根据我们的假设，（A- r） ^1是一种氡测量值，满足Zr |（a- r） Д（dz）|（1+z）j/2<∞.所以，使用引理3.1，u^1t（t，.）L（νj）≤ CjZ公司∞-∞pt（x）（1+| x | j）dx=CjZ∞-∞σ√tnx+utσ√t！（1+| x | j）dx=CjZ∞-∞n（y）（1+| yσ√t型- ut | j）dy≤ Cj公司1+tj.另一方面，通过区分（3），我们有u^1t=（A- r）u^1t=e-rt（（A- r） pt）* （A）- r） ^1。因此，使用引理3.1和pt的定义，u^1t（t，.）L（νj）≤ CjZ公司∞-∞|（A）- r） pt（x）|（1+| x | j）dx≤Cjt公司1+tj.3.2二次估计调用符号：U（t，x）=supτ∈T0，tEe-rτ~n（Xxτ）, u^1（t，x）=e-rtE（Д（Xxt）），t≥ 0，x∈ R、 带Д（x）=（K- ex）+。现在，我们介绍差异▄U=U- u^1（对应于早期行使溢价）。

我们有以下的L-估计，对于▄U=U的二次导数- u^1。定理3.1。修复T>0和j>1。存在一个常数C>0，因此，对于所有ξ∈ （0，T），ZTξ（T- ξ)Ut（t，.）L（νj）dt≤ C1+| lnξ|β, 带β=3/2，如果d≤ r、 1，如果d>r。该估计与[6]的定理2.4密切相关，这是Friedmanand Kinderehrer得出的结果的变体（见第八章引理4.1和[5]）。而不是通过考虑差异U=U- uν，我们可以推导出一个对数上界，而不是ξ的幂，这将通过考虑u得出（见[6]的定理2.4]）。为了证明定理3.1，我们需要一些关于导数的初步估计UX和Ut型x、 引理3.2。修复T>0和j>1。对于任何ε∈ （0，1/4），存在常数C>0，因此，对于所有t∈ （0，T）]，Ux（t，.）L（νj）≤ C√t和Ux（t，.）L（νj）≤ Ctε。证明：我们知道▄U解方程-Ut+（A- r） U=▄h，初始条件▄U（0，）=0，其中函数h由h（t，x）=（A）给出- r） Д（x）1{x≤~b（t）}，t>0，x∈ R、 我们有以下身份（这可以被视为一种早期锻炼的premiumformula）。~U（t，）=-中兴通讯-r（t-s） pt公司-s*小时ds，其中pt（x）=σ√2πtexp-（x+ut）2σt=σ√tnx+utσ√t！，n表示标准正态密度函数。直接检查一下Ux（t，）=-中兴通讯-r（t-s） pt公司-s*小时x（s，.）ds，以及在点z处Dirac测度的符号δzf，小时x（t，x）=（A- r） Д′（x）1{x≤~b（t）}- （A）- r） Д（x）δ▄b（t）（x）=-κ（t，x）+γ（t）δИb（t）（x），（4）带κ（t，x）=-（A）- r） Д′（x）1{x≤b（t）}和γ（t）=-（A）- r） ^1（￠b（t））。注意，κ在（0，∞) ×R和γ是一个连续的、非负的、有界的函数（0+∞).

在这个阶段，很明显| | pt-s*小时x（s，.）||∞≤ C类/√t型- s，所以Ux（t，.）L（νj）≤ C√t、 另一方面，我们有Ux（t，.）L（νj）≤中兴通讯-r（t-s）p′t-s* κ（s，.）L（νj）ds+| |ζ（t，.）||L（νj），带ζ（t，.）=中兴通讯-r（t-s） γ（s）p′t-s* δИb（s）ds=中兴通讯-r（t-s） γ（s）p′t-s（。-b（s））ds。我们有，使用引理3.1，p′t-s* κ（s，.）L（νj）=Zp′t-s（y）κ（s。- y） dy公司L（νj）≤Z | p′t-s（y）| | |κ（s。- y） | | L（νj）dy≤ 2j/4 | |κ（s，.）||L（νj）Z | p′t-s（y）|（1+y）j/4年。注意，由于κ有界且j>1，sups>0 | |κ（s，.）||L（νj）<∞ , 因此，对于某些常数C>0（可能因行而异）p′t-s* κ（s，.）L（νj）≤ CZ | p′t-s（y）|（1+y）j/4dy=CZσ（t- s）n′y+u（t- s） σ√t型- s（1+y）j/4dy=CZσ√t型- s | n′（z）|（1+(-u（t- s） +σ√t型- s z）j/4dz≤C√t型- s1+（t-s） 日本/2.因此，如果0<t<t，中兴通讯-r（t-s）p′t-s* κ（s，.）L（νj）ds≤ CZtds公司√t型- s=2C√t、 我们现在估计| |ζ（t，.）||L（νj）。利用γ的不变性，我们得到了|ζ（t，x）|=中兴通讯-r（t-s） γ（s）p′t-s（x-b（s））ds≤ CZtσ（t- s）n′x-b（s）+u（t- s） σ√t型- sDs回想一下，n′（x）=-xn（x）。