两种随机因素模型下美式期权的数值定价

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英文标题：
《Numerical pricing of American options under two stochastic factor models
  with jumps using a meshless local Petrov-Galerkin method》
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作者：
Jamal Amani Rad and Kourosh Parand
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  The most recent update of financial option models is American options under stochastic volatility models with jumps in returns (SVJ) and stochastic volatility models with jumps in returns and volatility (SVCJ). To evaluate these options, mesh-based methods are applied in a number of papers but it is well-known that these methods depend strongly on the mesh properties which is the major disadvantage of them. Therefore, we propose the use of the meshless methods to solve the aforementioned options models, especially in this work we select and analyze one scheme of them, named local radial point interpolation (LRPI) based on Wendland\'s compactly supported radial basis functions (WCS-RBFs) with C6, C4 and C2 smoothness degrees. The LRPI method which is a special type of meshless local Petrov-Galerkin method (MLPG), offers several advantages over the mesh-based methods, nevertheless it has never been applied to option pricing, at least to the very best of our knowledge. These schemes are the truly meshless methods, because, a traditional non-overlapping continuous mesh is not required, neither for the construction of the shape functions, nor for the integration of the local sub-domains. In this work, the American option which is a free boundary problem, is reduced to a problem with fixed boundary using a Richardson extrapolation technique. Then the implicit-explicit (IMEX) time stepping scheme is employed for the time derivative which allows us to smooth the discontinuities of the options\' payoffs. Stability analysis of the method is analyzed and performed. In fact, according to an analysis carried out in the present paper, the proposed method is unconditionally stable. Numerical experiments are presented showing that the proposed approaches are extremely accurate and fast.
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中文摘要：
金融期权模型的最新更新是收益跳跃随机波动率模型下的美式期权（SVJ）和收益和波动跳跃随机波动率模型下的美式期权（SVJ）。为了评估这些选项，许多论文中都采用了基于网格的方法，但众所周知，这些方法强烈依赖于网格特性，这是它们的主要缺点。因此，我们建议使用无网格方法来解决上述期权模型，特别是在本工作中，我们选择并分析了其中一种方案，即基于Wendland紧支撑径向基函数（WCS RBF）的局部径向点插值（LRPI），该径向基函数具有C6、C4和C2平滑度。LRPI方法是无网格局部Petrov-Galerkin方法（MLPG）的一种特殊类型，与基于网格的方法相比，LRPI方法具有许多优点，但至少据我们所知，它从未应用于期权定价。这些格式是真正的无网格方法，因为无论是形状函数的构造，还是局部子域的集成，都不需要传统的非重叠连续网格。在这项工作中，美式期权是一个自由边界问题，利用Richardson外推技术将其简化为一个具有固定边界的问题。然后，时间导数采用隐式-显式（IMEX）时间步进格式，可以平滑期权收益的不连续性。对该方法进行了稳定性分析。事实上，根据本文的分析，所提出的方法是无条件稳定的。数值实验表明，所提出的方法是非常准确和快速的。
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分类信息：

一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Computational Engineering, Finance, and Science        计算工程、金融和科学
分类描述：Covers applications of computer science to the mathematical modeling of complex systems in the fields of science, engineering, and finance. Papers here are interdisciplinary and applications-oriented, focusing on techniques and tools that enable challenging computational simulations to be performed, for which the use of supercomputers or distributed computing platforms is often required. Includes material in ACM Subject Classes J.2, J.3, and J.4 (economics).
涵盖了计算机科学在科学、工程和金融领域复杂系统的数学建模中的应用。这里的论文是跨学科和面向应用的，集中在技术和工具，使挑战性的计算模拟能够执行，其中往往需要使用超级计算机或分布式计算平台。包括ACM学科课程J.2、J.3和J.4（经济学）中的材料。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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关键词：美式期权 Applications disadvantage Quantitative Construction

基于无网格局部Petrov-Galerkin方法的跳跃双随机因素模型下美式期权的数值定价Jamal Amani Rad，Kourosh Parand*伊朗德黑兰埃文Shahid Beheshti大学数学科学系计算机科学系邮政信箱198396-3113最近更新的金融期权模型是收益跳跃随机波动模型（SVJ）和收益和波动跳跃随机波动模型（SVJ）下的美式期权。为了评估这些选项，基于网格的方法被应用于许多pa中，但众所周知，这些方法强烈依赖于网格特性，这是它们的主要缺点。因此，我们建议使用无网格方法来解决上述期权模型，特别是在这项工作中，我们选择并分析了其中一种方案，即基于Wendland的C、C和C光滑度紧支撑径向基函数（WCS RBF）的局部径向点插值（LRPI）。LRPI方法是无网格局部Petrov-Galerkin方法（MLPG）的一种特殊类型，与基于网格的方法相比，它有几个优点，但据我们所知，它从未应用于期权定价。这些格式是真正的无网格方法，因为无论是形状函数的构造，还是局部子域的集成，都不需要传统的非重叠连续网格。在这项工作中，美式期权是一个自由边界问题，使用Richardson外推技术将其简化为具有固定边界的表m。然后，时间导数采用隐式-显式（IMEX）时间步进格式来平滑期权支付的不连续性。分析并执行了该方法的稳定性分析。

事实上，根据本文的分析，所提出的方法是无条件稳定的。数值实验表明，所提出的方法是非常精确和快速的。关键词：期权定价、随机波动性、欧式期权、美式期权、默顿跳变差、SV模型、SVJ模型、SVJ模型、SVJ模型、无网格弱形式、LRPI、MLPG、Wendland函数、Richardson外推、稳定性分析。AMS主题类别：91G80；91G60；35R35.1。简介在数值方法领域，有限元法（FEM）和其他基于网格的方法，如有限差分法（FDM）和有限体积法（FVM）是稳健且成熟的。因此，由于它们适用于多种类型的期权，因此在金融领域中得到了广泛的应用，参见[1、2、3、4]。在FEM中，计算域被划分为有限元素，这些元素被连接在一起，称为网格。虽然FEM和与clos e ly相关的FVM是工程和科学领域计算机建模的成熟数值技术，但它们并非没有缺点。众所周知，这些方法强烈依赖于网格属性。然而，要使用这些方案计算具有不规则几何体的pr问题，网格生成是一项比求解PDE更耗时和昂贵的任务【5】。为了克服与FEM和FVM相关的困难，边界元法（BEM）[6]似乎是一种有吸引力的替代方法。在B EM中，只需对域边界进行离散化*相应的authorEmail地址：j。amanirad@gmail.com;j_amanirad@sbu.ac.ir（Jamal Am ani R ad），k_parand@sbu.ac.ir（KouroshParand）预印本提交至。2018年6月9日【7、8、9、10】。这将问题维数减少了一个，从而大大减少了啮合时间。

边界元法仍然使用元素来实现插值和积分[7、8、9、10]。这些困难可以通过无网格方法（MLM）来克服，在过去十年中，无网格方法引起了人们极大的兴趣。传销也称为无网格方法。这些方法的主要优点是，通过形状函数的线性组合来近似未知曲面，而无需重新设置域的网格。在这种方法中，我们使用一组分散在问题域内的节点以及域边界上的节点集来表示（无t离散化）问题域及其边界【11】。这些s散射节点集被称为场节点，它们不形成网格，这意味着它不需要关于节点之间关系的任何先验信息来插值或逼近场变量s的未知函数【12】。在过去的几十年中，无网格方法得到了显著的发展，一些工作致力于其分类。可根据不同的标准进行分类，例如配方程序、形状函数或域表示[13]。公式化程序主要基于弱表示（见[14、15、16、17、18]）和基于协同技术的强表示（见[19、20、21、2]），尽管这两种方法可以结合使用[23]。配点方法是真正的无网格方法，因为配点技术直接基于一组节点，无需任何背景网格进行数值积分。配点法的一个限制是数值实现的准确性和稳定性较差。然而，该方法基于点配置，对配置点的选择非常敏感，请参见【24，25】。

另一方面，弱形式用于通过数值积分过程导出一组代数方程，该过程使用可在问题域中全局或局部构造的正交域集，如无单元伽辽金法（EFG）[26]、再生核粒子法（RKPM）[27]和分区统一法（PUM）[28]。上述方法均基于全局弱形式，仅在场或边界变量插值过程中是无网格的，并且必须使用背景单元对问题域进行积分。背景单元的集成要求使得这些方法并非真正的无网格。为了消除全局积分背景单元，Atluri及其同事开发了基于局部弱形式和径向基函数（RBFs）近似的无网格局部PetrovGalerkin方法（MLPG）。这种方法也称为局部ra拨号点插值（LRPI）方法。MLPG方法是一种真正的无网格方法，因为无论是形状函数的构造，还是局部子域的积分，都不需要传统的非重叠连续网格。试验和测试功能空间可以不同，也可以相同。处理不同的边界值问题有很大的灵活性。Atluri和他的合著者已经解决了广泛的问题【23，30】。在这类MLPG方法中，采用Heaviside阶跃函数作为测试函数。特别是LRPI无网格方法将问题的维数减少了一个，具有delta函数性质的形状函数，并可精确地表达形状函数的导数。因此，它可以轻松地施加基本边界和初始（或最终）条件。

关于无人工编码局部方法的一些工作，可以提到Sladek兄弟的工作【31、32、33、34、35】。该方法现已成功地推广到工程中的许多问题。关于这些问题的示例，请参见[11，36]和其中的其他参考文献。对无网格方法感兴趣的读者请参见[14,15,16]。过去几年，金融市场的增长一直是一个不断扩大的经济领域。在全球范围内，股票市场上交易的金融资产价值已达到天文数字。期权等金融衍生工具的交易在世界各地都是一项持续不断的业务。确保价格在任何时候都是正确的对交易者来说是非常重要的。期权是指赋予买方以事先约定的价格购买（看涨期权）或出售（看跌期权）标的资产（如股票）的权利的金融合同。称为履约或行权价格或在一定时间之前称为到期日。这些期权中的大部分可分为两类：只能在一个给定到期日或到期日（t=t）行使的欧式期权和可以在到期日（t=t）之前的任何时间执行的美式期权≤ T）。美国期权提供了使用期权的自由，而且通常比欧洲期权的价格要贵一点。期权的估值导致了数学模型ls，这通常是很难解决的问题。著名的usBlack-Scho-les公式给出了不支付股息的股票的欧洲看涨期权和看跌期权的明确定价公式，se e【37】。1973年，菲舍尔·布莱克（Fischer Black）和迈罗·斯科尔斯（Myro n Scholeshas）的著作出版，成为期权定价革命的起点。

他们的IDEA是基于资产价格遵循几何布朗运动的假设开发一个模型。对于欧式期权，Black-Scholes方程产生了一个微分方程的边值问题。美国期权定价由抛物线偏微分变分不等式（PDVI）控制。这就产生了一个自由边界问题，参见[39，40]。最近，通过非常实证的研究，很明显，在标的资产价格的标准Black-Scholes模型中，假设行为类似于具有恒定波动性和漂移的正常行使差异，与具有不同行使价格和成熟度的期权的实际市场价格不一致，如波动微笑或倾斜和重尾【41，42】。在过去十年中，许多工作都在对经典Black-Scholesmodel进行修改，以满足金融市场中的这些现象，如随机波动率（SV）模型、跳跃模型（如Merton和Kou分别在两个不同的著作中提出的Merton和Kou模型[43]和[44]），它们的随机波动率和收益跳跃的组合，即Bates[45]引入的带跳跃（SVJ）的随机波动率模型，以及Du ffe等人引入的带跳跃（SVJ）的随机波动率模型。在本研究中，我们重点研究了SVJ和SVCJ模型。本文选取默顿模型作为模型的跳项。

在默顿模型中，资产回报遵循标准维纳过程，该过程由具有非马尔分布跳跃的复合泊松过程驱动【42】。我们刚刚提到，所提到的模型当然也会导致短期或长期到期范围内的波动率轻微或倾斜【3】。上述定价美式期权的SVJ和SVJ模型由一个可表述为自由边界问题的随机积分微分变分不等式控制。特别是，这些模型包含微分项和非局部积分项。因此，不可能有解析解。因此，要解决这些问题，我们需要一种强大的计算方法。为此，已经提出了SVJ和SVJ模型下期权定价的几种数值方法（参见，例如，[3，47，48，49]），但据我们所知，弱形式无网格方法从未用于该模型的期权定价。本文的目的是将基于Wendland紧支撑径向基函数（WCS-RB Fs）的LRPI扩展为C、C和C光滑[50]，以评估SVJ和SVCJ模型下的美式n期权。我们再次强调，据我们所知，mes-hle-ssmethod的局部弱形式尚未在数学金融中使用。因此，将这种数值技术扩展到期权估价似乎很有意思，这是在本文中完成的。此外，本文将有限空间域R+×R+截断为[0，Smax]×[0，ymax]inSVJ和SVCJ模型，Smax和ymax值足够大，以避免无法接受的较大运行错误。本文所考虑的期权收益是非光滑函数，特别是在执行价格下，期权的收益是不连续的。

因此，为了尽可能减少准确性损失，试验函数的点集中在接近执行价格的空间区域。因此，我们采用了Clarke和Parrott提出的变量变化[51]。就时间离散化而言，我们使用隐式-显式（IMEX）时间步进格式，该格式是无条件稳定的，允许我们消除期权支付的不连续性。注意，在SVJ和SVJ模型中，积分部分是非局部积分，而其他部分是微分算子，都是局部的。毫无疑问，由于积分部分是非局部算子，因此可以使用θ加权离散格式获得稠密线性方程组。因此，要获得稀疏线性方程组，最好使用IMEX格式，该格式以避免密度矩阵而著称。到目前为止，据所知，现有文献中使用theIMEX方案对期权定价的已发表作品包括[3，47]。这种方法仅具有一阶精度，但通过使用减半时间步长执行Richardson外推程序可获得二阶时间离散。本文用矩阵法对该方法进行了稳定性分析。最后，为了解决美国期权中出现的自由边界问题，通过Richardson对Be rmudan期权价格的外推来计算。本质上，Richardson外推将自由边界问题和线性互补问题简化为固定边界问题，而固定边界问题更容易解决。数值实验表明，从计算的角度来看，该方法是有效的。

特别是，SVJ或VCJ模型中的欧式和美式期权的价格都可以计算出10阶误差（最大范数和均方根相对差）-3在十分之一秒内。此外，百慕大近似法被证明是用于处理早期机遇练习的最有效算法。我们注意到，这份手稿的主要贡献在于表明，就我们所知，MLPG从未应用于金融主题中的问题，能够准确快速地近似出欧洲和美国的期权价格。总之，我们在本文中的重点是为SVJ和SVJ模型下的期权定价提供一种准确、计算快速、稳定、收敛且简单的方法。我们应该注意到，这项工作的关键思想是找到一种结合使用以下数值到ols的新技术：变量的空间变化、Black-Scholes算子的时间离散化、Richardson外推程序、LRPI离散化、Wendland紧支撑径向基函数、空间变量变换、，将美式期权的价格与百慕大期权的价格进行近似，并使用部分旋转的LU因子分解方法。严格地说，这些单独考虑的工具并不是新的，而是继承了一个事实，即在期权定价中从未提出过将所有这些技术结合在一起的方法，因此提出的技术是新的、准确的和非常快速的。本文的组织结构如下：第2节详细描述了美国期权的SVJ和SVCJ模型。第3节介绍了MLPG方法，本节介绍了这种数值技术在所考虑的期权定价问题中的应用。